| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.4. Aplicaciones de ecuaciones de primer orden | 9.4.5 Aplicaciones a curvas |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.4.5
En los ejercicios 1 a 8, encuentre una ecuación diferencial de primer orden para la familia de curvas dada.
9. Muestre que la familia de circunferencias
(x − x0)2 + y2 = 1, −∞ < x0 < ∞,
se puede obtener uniendo las curvas integrales de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Más específicamente, encuentre ecuaciones diferenciales para las familias de semicircunferencias
10. Suponga que f y g son diferenciables para todo x. Encuentra una ecuación diferencial para la familia de funciones y = f + cg (c = constante).
En los ejercicios 11 a 13, encuentre una ecuación diferencial de primer orden para la familia de curvas dada.
11. Rectas que pasan por un punto dado (x0, y0).
12. Circunferencias que pasan por los puntos (−1, 0) y (1, 0).
13. Circunferencias que pasan por los puntos (0, 0) y (0, 2)
14. Usa el método del Ejemplo 9.4.5.6(a) para encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos dados tangentes a la parábola y = x2. Además, encuentre los puntos de tangencia.
(a) (5, 9) (b) (6, 11) (c) (−6, 20) (d) (−3, 5)
15. (a) Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
x2 + y2 = 1 (A)
en un punto (x0, y0) en la circunferencia es
si x0 ≠ ±1. (B)
(b) Demuestre que si y′ es la pendiente de una recta tangente no vertical a la circunferencia (A) y (x, y) es un punto en la recta tangente entonces
(y′)2(x2 − 1) − 2xyy′ + y2 − 1 = 0. (C)
(c) Demuestre que el segmento de la recta tangente (B) en el que (x − x0)/y0 > 0 es una curva integral de la ecuación diferencial
(D)
mientras que el segmento en el que (x − x0)/y0 < 0 es una curva integral de la ecuación diferencial
(E)
AYUDA: Use la fórmula cuadrática para resolver (C) para y′. Luego sustituya (B) por y y elija el signo ± en la fórmula cuadrática para que la expresión resultante de y′ se reduzca a la pendiente conocida y′ = −x0/y0.
(d) Demuestre que las semicircunferencias superior e inferior de (A) también son curvas integrales de (D) y (E).
(e) Encuentre las ecuaciones de dos rectas a través de (5, 5) tangentes a la circunferencia (A), y encuentre los puntos de tangencia
16. (a) Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la parábola
x = y2 (A)
en un punto (x0, y0) ≠ (0, 0) de la parábola es
(B)
(b) Demuestre que si y′ es la pendiente de una recta tangente no vertical a la parábola (A) y (x, y) es un punto en la recta tangente entonces
4x2(y′)2 − 4xyy′ + x = 0. (C)
(c) Demuestre que el segmento de la recta tangente definida en (a) en la que x > x0 es una curva integral de la ecuación diferencial
(D)
mientras que el segmento en el que x < x0 es una curva integral de la ecuación diferencial
(E)
AYUDA: Use la fórmula cuadrática para resolver (C) para y′. Luego sustituya (B) por y y elija el signo ± en la fórmula cuadrática para que la expresión resultante para y′ se reduzca a la pendiente conocida 
(d) Demuestre que las mitades superior e inferior de la parábola (A), dadas por y = √x y y = −√x para x > 0, también son curvas integrales de (D) y (E).
17. Usa los resultados del ejercicio 16 para encontrar las ecuaciones de dos rectas tangentes a la parábola x = y2 y que pasan por el punto dado. Halla también los puntos de tangencia.
(a) (−5, 2) (b) (−4, 0) (c) (7, 4) (d) (5, −3)
18. Encuentre una curva y = y(x) a través de (1, 2) tal que la tangente a la curva en cualquier punto (x0, y(x0)) interseca el eje x en xI = x0/2.
19. Encuentre todas las curvas y = y(x) tales que la tangente a la curva en cualquier punto (x0, y(x0)) interseca el eje x en xI = x03.
20. Encuentre todas las curvas y = y(x) tales que la tangente a la curva en cualquier punto pase por un punto dado (x1, y1).
21. Encuentre una curva y = y(x) a través de (1, −1) tal que la tangente a la curva en cualquier punto (x0, y(x0)) interseca el eje y en yI = x03.
22. Encuentre todas las curvas y = y(x) tales que la tangente a la curva en cualquier punto (x0, y(x0)) interseca el eje yyI en yI = x0.
23. Encuentre una curva y = y(x) a través de (0, 2) tal que la normal a la curva en cualquier punto (x0, y(x0)) interseca el eje x en xI = x0 + 1.
24. Encuentre una curva y = y(x) a través de (2, 1) tal que la normal a la curva en cualquier punto (x0, y(x0)) interseca el eje y en yI = 2y(x0).
En los ejercicios 25 a 29, encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada.
30. Encuentre una curva a través de (−1, 3) ortogonal a cada parábola de la forma
y = 1 + cx2
que interseca. ¿Cuál de estas parábolas corta la curva deseada?
31. Demuestre que las trayectorias ortogonales de
x2 + 2axy + y2 = c
satisface
32. Si las rectas L y L1 se intersecan en (x0, y0) y α es el ángulo más pequeño a través del cual L debe rotarse en sentido antihorario alrededor de (x0, y0) para que coincida con L1, decimos que α es el ángulo desde L a L1; por lo tanto, 0 ≤ α < π. Si L y L1 son tangentes a las curvas C y C1, respectivamente, que se cortan en (x0, y0), decimos que C1 corta a I en el ángulo α. Usa la identidad
para mostrar que si C y C1 son curvas integrales que se cortan
y′ = f (x, y) y 
respectivamente, entonces C1 corta a C en el ángulo α.
33. Usa el resultado del Ejercicio 32 para encontrar una familia de curvas que intersequen cada recta no vertical a través del origen en el ángulo α = π/4.
34. Usa el resultado del Ejercicio 32 para encontrar una familia de curvas que intersequen cada circunferencia con centro en el origen en un ángulo dado α ≠ π/2.