| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.4. Aplicaciones de ecuaciones de primer orden | 9.4.2 Enfriamiento y mezclas |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.4.2

1. Se mueve un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 70°F a un congelador donde la temperatura es de 12°F. Después de 30 segundos, el termómetro marca 40°F. ¿Qué lee después de 2 minutos?

2. Un fluido inicialmente a 100 °C se coloca afuera en un día en que la temperatura es −10 °C, y la temperatura del fluido desciende 20 °C en un minuto. Encuentre la temperatura T(t) del fluido para t > 0.

3. A las 12:00 PM se coloca un termómetro que marca 10°F en una habitación donde la temperatura es de 70°F. Indica 56°F cuando se coloca afuera, donde la temperatura es de 5°F, a las 12:03. ¿Qué se lee a las 12:05 PM?

4. Un termómetro que inicialmente lee 212°F se coloca en una habitación donde la temperatura es de 70°F. Después de 2 minutos, el termómetro marca 125°F.
(a) ¿Qué lee el termómetro después de 4 minutos?
(b) ¿Cuándo marcará el termómetro 72°F?
(c) ¿Cuándo marcará el termómetro 69°F?

5. Un objeto con temperatura inicial de 150°C se coloca afuera, donde la temperatura es de 35°C. Sus temperaturas a las 12:15 y 12:20 son 120°C y 90°C, respectivamente.
(a) ¿A qué hora se colocó el objeto afuera?
(b) ¿Cuándo será su temperatura de 40°C?

6. Se coloca un objeto en una habitación donde la temperatura es de 20°C. La temperatura del objeto desciende 5°C en 4 minutos y 7°C en 8 minutos. ¿Cuál era la temperatura del objeto cuando se colocó inicialmente en la habitación?

7. Se coloca afuera una taza de agua hirviendo a la 1:00 p. m. Un minuto después, la temperatura del agua es de 152°F. Después de otro minuto su temperatura es de 112°F. ¿Cuál es la temperatura exterior?

8. Un tanque contiene inicialmente 40 galones de agua pura. Se agrega al tanque una solución con 1 gramo de sal por galón de agua a 3 gal/min y la solución resultante se escurre a la misma velocidad. Encuentre la cantidad Q(t) de sal en el tanque en el tiempo t > 0.

9. Un tanque inicialmente contiene una solución de 10 libras de sal en 60 galones de agua. Se agrega agua con 1/2 libra de sal por galón al tanque a 6 gal/min y la solución resultante sale a la misma velocidad. Encuentre la cantidad Q(t) de sal en el tanque en el tiempo t > 0.

10. Un tanque contiene inicialmente 100 litros de una solución salina con una concentración de 0,1 g/litro. Se agrega al tanque una solución con una concentración de sal de 0.3 g/litro a 5 litros/min y la mezcla resultante se drena a la misma velocidad. Encuentre la concentración K(t) de sal en el tanque en función de t.

11. Un tanque de 200 galones inicialmente contiene 100 galones de agua con 20 libras de sal. Una solución salina con 1/4 de libra de sal por galón se agrega al tanque a 4 gal/min y la mezcla resultante se drena a 2 gal/min. Encuentra la cantidad de sal en el tanque cuando está a punto de rebosar.

12. Suponga que se agrega agua a un tanque a 10 gal/min, pero se filtra a razón de 1/5 gal/min por cada galón en el tanque. ¿Cuál es la capacidad mínima que puede tener el tanque si el proceso debe continuar indefinidamente?

13. Una reacción química en un laboratorio con volumen V (en pie³) produce q₁ pie³/min de un gas nocivo como subproducto. El gas es peligroso en concentraciones superiores a c, pero inofensivo en concentraciones ≤ c. Los ventiladores de entrada en un extremo del laboratorio aspiran aire fresco a razón de q₂ pie³/min y los ventiladores de extracción en el otro extremo expulsan la mezcla de gas y aire del laboratorio a la misma tasa.

Suponiendo que el gas siempre se distribuye uniformemente en la habitación y que su concentración inicial c₀ está en un nivel seguro, encuentre el valor mínimo de q₂ requerido para mantener condiciones seguras en el laboratorio todo el tiempo.

14. Un tanque de 1200 galones inicialmente contiene 40 libras de sal disueltas en 600 galones de agua. Comenzando en t₀ = 0, se agrega al tanque agua que contiene 1/2 libra de sal por galón a razón de 6 gal/min y la mezcla resultante se drena del tanque a 4 gal/min. Encuentre la cantidad Q(t) de sal en el tanque en cualquier momento t > 0 antes del desbordamiento.

15. El tanque T₁ contiene inicialmente 50 galones de agua pura. Comenzando en t₀ = 0, se vierte agua que contiene 1 libra de sal por galón en T₁ a razón de 2 gal/min. La mezcla se drena de T₁ a la misma velocidad a un segundo tanque T₂, que inicialmente contiene 50 galones de agua pura. También comenzando en t₀ = 0, una mezcla de otra fuente que contiene 2 libras de sal por galón se vierte en T₂ a razón de 2 gal/min. La mezcla se drena de T₂ a razón de 4 gal/min.
(a) Encuentre una ecuación diferencial para la cantidad Q(t) de sal en el tanque T₂ en el tiempo t > 0.
(b) Resuelva la ecuación derivada en (a) para determinar Q(t).
(c) Encuentre lím_t→∞ Q(t).

16. Suponga que un objeto con temperatura inicial T₀ se coloca en un recipiente sellado, que a su vez se coloca en un medio con temperatura T_m. Sea S₀ la temperatura inicial del recipiente. Suponga que la temperatura del objeto no afecta la temperatura del recipiente, que a su vez no afecta la temperatura del medio. (Estas suposiciones son razonables, por ejemplo, si el objeto es una taza de café, el recipiente es una casa y el medio es la atmósfera).
(a) Suponiendo que el recipiente y el medio tienen distintas constantes de disminución de la temperatura k y k_m respectivamente, utilice la ley de enfriamiento de Newton para encontrar las temperaturas S(t) y T(t) del recipiente y el objeto en el tiempo t.
(b) Suponiendo que el recipiente y el medio tienen la misma constante de decaimiento de temperatura k, use la ley de enfriamiento de Newton para encontrar las temperaturas S(t) y T(t) del recipiente y el objeto en el tiempo t.
(c) Encuentre lim_t→∞ S(t) y lim_t→∞ T(t) .

17. En nuestros ejemplos y ejercicios anteriores relacionados con la ley de enfriamiento de Newton, asumimos que la temperatura del medio permanece constante. Este modelo es adecuado si el calor perdido o ganado por el objeto es insignificante comparado con el calor requerido para causar un cambio apreciable en la temperatura del medio. Si esto no es así, debemos usar un modelo que tenga en cuenta el calor intercambiado entre el objeto y el medio. Sean T = T(t) y T_m = T_m(t) las temperaturas del objeto y del medio, respectivamente, y sean T₀ y T_m0 sus valores iniciales. Nuevamente, asumimos que T y Tm están relacionados por la ley de enfriamiento de Newton,

T′ = −k(T − T_m).         (A)

También suponemos que el cambio de calor del objeto cuando su temperatura cambia de T₀ a T es a(T − T₀) y que el cambio de calor del medio cuando su temperatura cambia de T_m0 a T_m es a_m(T_m − T_m0), donde a y a_m son constantes positivas que dependen de las masas y las propiedades térmicas del objeto y el medio, respectivamente. Si suponemos que el calor total del sistema formado por el objeto y el medio permanece constante (es decir, se conserva la energía), entonces

a(T − T₀) + a_m(T_m − T_m0) = 0.         (B)

(a) La ecuación (A) implica dos funciones desconocidas T y T_m. Use (A) y (B) para deducir una ecuación diferencial que involucre solo a T.

(b) Encuentre T(t) y T_m(t) para t > 0.
(c) Encuentre lim_t→∞ T(t) y lim_t→∞ T_m(t).

18. Los mecanismos de control permiten que el fluido fluya hacia un tanque a una tasa proporcional al volumen V del fluido en el tanque, y que salga a una tasa proporcional a V². Suponga que V(0) = V₀ y las constantes de proporcionalidad son a y b, respectivamente. Encuentre V(t) para t > 0 y encuentre lim_t→∞ V(t).

19. Tanques idénticos T₁ y T₂ inicialmente contienen W galones cada uno de agua pura. Comenzando en t₀ = 0, una solución salina con concentración c constante se bombea a T₁ a r gal/min y se drena de T₁ a T₂ a la misma velocidad. La mezcla resultante en T₂ también se drena a la misma velocidad. Encuentre las concentraciones c₁(t) y c₂(t) en los tanques T₁ y T₂ para t > 0.

20. Una secuencia infinita de tanques idénticos T₁, T₂, . . . , T_n, . . . , contienen inicialmente W galones cada uno de agua pura. Están enganchados entre sí para que el líquido drene de T_n a T_{n + 1} (n = 1, 2, · · ·). Se hace circular una solución salina a través de los tanques de modo que entre y salga de cada tanque a razón constante de r gal/min. La solución tiene una concentración de c libras de sal por galón cuando entra a T₁.
(a) Encuentre la concentración cn(t) en el tanque T_n para t > 0.
(b) Encuentre lim_t→∞ c_n(t) para cada n.

21. Los tanques T₁ y T₂ tienen capacidades W₁ y W₂ litros, respectivamente. Inicialmente ambos están llenos de soluciones colorantes con concentraciones c₁ y c₂ gramos por litro. Comenzando en t₀ = 0, la solución de T₁ se bombea a T₂ a una velocidad de r litros por minuto, y la solución de T₂ se bombea a T₁ a la misma velocidad.
(a) Encuentre las concentraciones c₁(t) y c₂(t) del colorante en T₁ y T₂ para t > 0.
(b) Encuentre lim_t→∞ c₁(t) y lim_t→∞ c₂(t).

22. L Considere el problema de mezcla del Ejemplo 9.4.2.3, pero sin suponer que la mezcla se agita instantáneamente, de modo que la sal siempre se distribuye uniformemente por toda la mezcla. Supongamos en cambio que la distribución se aproxima a la uniformidad cuando t → ∞. En este caso la formula diferencial para Q es de la forma

donde lími_t→∞ a(t) = 1.
(a) Suponiendo que Q(0) = Q₀, ¿puede adivinar el valor de lím_t→∞ Q(t)?.
(b) Use métodos numéricos para confirmar su conjetura en estos casos:

(i) a(t) = t/(1 + t)     (ii) a(t) = 1 − e^−t²     (iii) a(t) = 1 − sen(e^−t).

23. L Considere el problema de mezcla del Ejemplo 9.4.2.4 en un tanque con capacidad infinita, pero sin suponer que la mezcla se agita instantáneamente para que la sal siempre se distribuya uniformemente por toda la mezcla. Supongamos en cambio que la distribución se aproxima a la uniformidad cuando t → ∞. En este caso la ecuación diferencial para Q es de la forma

donde lími_t→∞ a(t) = 1.

(a) Sea K(t) la concentración de sal en el tiempo t. Suponiendo que Q(0) = Q₀, ¿puede adivinar el valor de limt→∞ K(t)?
(b) Use métodos numéricos para confirmar su conjetura en estos casos:

(i) a(t) = t/(1 + t)     (ii) a(t) = 1 − e^−t²     (iii) a(t) = 1 + sen(e^−t).