| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.13. Problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden | 9.13.1. Problemas de valores en la frontera de dos puntos |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.13.1

1. Verifique que B₁ y B₂ sean operadores lineales; es decir, si c₁ y c₂ son constantes entonces

B_i(c₁y₁ + c₂y₂) = c₁B_i(y₁) + c₂B_i(y₂),   i = 1, 2.

      En los Ejercicios 2 – 7 resuelve el problema del valores en la frontera.

  (vea el Ejemplo 9.13.1.5)

8. Enuncie una condición sobre F tal que el problema de valores en la frontera

y′′ = F(x),  y(0) = 0, y(1) − y′(1) = 0

tiene una solución, y encontrar todas las soluciones.

9. (a) Establezca una condición en a y b tal que el problema de valores en la frontera

y′′ + y = F(x),  y(a) = 0, y(b) = 0         (A)

tiene una solución única para cada F continua, y encuentre la solución por el método usado para demostrar el Teorema 9.13.1.3

(b) En el caso de que a y b no satisfagan la condición dada para (a), establezca una condición necesaria y suficiente en F tal que (A) tenga una solución, y encuentre todas las soluciones por el método usado para demostrar el Teorema 9.13.1.4.

10. Siga las instrucciones del ejercicio 9 para el problema de valores en la frontera

y′′ + y = F(x),  y(a) = 0, y′(b) = 0.

11. Siga las instrucciones del ejercicio 9 para el problema de valores en la frontera

y′′ + y = F(x),  y′(a) = 0, y′(b) = 0.

      En los ejercicios 12 a 15, encuentre una fórmula para la solución del problema de frontera por el método usado para demostrar el Teorema 9.13.1.3. Suponga que a < b.

      En los Ejercicios 16 – 19 encuentre todos los valores de ω tales que el problema de frontera tenga una solución única y encuentre la solución por el método usado para demostrar el Teorema 9.13.1.3. Para otros valores de ω, encuentre condiciones en F tales que el problema tenga una solución, y encuentre todas las soluciones por el método usado para probar el Teorema 9.13.1.4.

20. Sea {z₁, z₂} un conjunto fundamental de soluciones de L_y = 0. Dado que el problema homogéneo de valores en la frontera

L_y = 0,  B₁(y) = 0, B₂(y) = 0

tiene una solución no trivial, exprésela explícitamente en términos de z₁ y z₂.

21. Si el problema de valores en la frontera tiene una solución para cada F continua, encuentre la función de Green para el problema y utilícela para escribir una fórmula explícita para la solución. De lo contrario, si el problema de valores en la frontera no tiene una solución para cada F continua, encuentre una condición necesaria y suficiente en F para que el problema tenga una solución y encuentre todas las soluciones. Suponga que a < b.

22. Encuentra la función de Green para el problema de valores en la frontera

y′′ = F(x),  y(0) − 2y′(0) = 0,  y(1) + 2y′(1) = 0.         (A)

Luego usa la función de Green para resolver (A) con (a) F(x) = 1, (b) F(x) = x, y (c) F(x) = x².

23. Encuentra la función de Green para el problema de valores en la frontera

x²y′′ + xy′ + (x² − 1/4)y = F(x),  y(π/2) = 0, y(π) = 0,         (A)

dado que

  y 

son soluciones de la ecuación complementaria. Luego usa la función de Green para resolver (A) con (a) F(x) = x^3/2 y (b) F(x) = x^5/2.

24. Encuentra la función de Green para el problema de valores en la frontera

x²y′′ − 2xy′ + 2y = F(x),  y(1) = 0, y(2) = 0,         (A)

dado que {x, x²} es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Luego usa la función de Green para resolver (A) con (a) F(x) = 2x³ y (b) F(x) = 6x⁴.

25. Halla la función de Green para el problema de valores en la frontera

x²y′′ + xy′ − y = F(x),  y(1) − 2y′(1) = 0, y′(2) = 0,         (A)

dado que {x, 1/x} es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Luego usa la función de Green para resolver (A) con (a) F(x) = 1, (b) F(x) = x² y (c) F(x) = x³.

      En los ejercicios 26 a 30, encuentre las condiciones necesarias y suficientes en α, β, ρ y δ para que el problema de valores en la frontera tenga una solución única para cada F continua, y encuentre la función de Green.

31. Encuentre las condiciones necesarias y suficientes en α, β, ρ y δ para que el problema de valores en la frontera

y′′ − y = F(x),  αy(a) + βy′(a) = 0, ρy(b) + δy′(b) = 0          (A)

tenga una solución única para cada F continua, y encontrar la función de Green para (A). Suponga que a < b.

32. Demuestre que los supuestos del Teorema 9.13.1.3 implican que la única solución de

L_y = F,  B₁(y) = k₁, B₂(y) = f₂

es