| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.9 Ecuaciones lineales de orden superior | 9.9.1 Introducción teórica a las ecuaciones lineales de orden superior |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.9.1
1. Verifica que la función dada es la solución del problema de valor inicial.
2. Resuelva el problema de valor inicial
SUGERENCIA: Vea el Ejemplo 9.9.1.1.
3. Resuelva el problema de valor inicial
y(4) + y′′′ − 7y′′ − y′ + 6y = 0, y(0) = 5, y′(0) = −6, y′′(0) = 10, y′′′(0) − 36.
SUGERENCIA: Vea el Ejemplo 9.9.1.2.
4. Encuentre las soluciones y1, y2, . . . , yn de la ecuación y(n) = 0 que satisfacen las condiciones iniciales
5. (a) Verifique que la función
satisface
x3y′′′ − x2y′′ − 2xy′ + 6y = 0 (A)
si c1, c2 y c3 son constantes.
(b) Use (a) para encontrar las soluciones y1, y2 e y3 de (A) tales que
(c) Use (b) para encontrar la solución de (A) tal que
y(1) = k0, y′(1) = k1, y′′(1) = k2.
6. Verifique que las funciones dadas son soluciones de la ecuación dada y demuestre que forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación en cualquier intervalo en el que la ecuación es normal.
7. Encuentre el Wronskiano W de un conjunto de tres soluciones de
y′′′ + 2xy′′ + exy′ − y = 0,
dado que W(0) = 2.
8. Encuentre el Wronskiano W de un conjunto de cuatro soluciones de
y(4) + (tanx)y′′′ + x2y′′ + 2xy = 0,
dado que W(π/4) = K.
9. (a) Evalúe el wronskiano W{ex, xex, x2ex}. Evalúe W(0).
(b) Verifique que y1, y2 e y3 satisfacen
y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0. (A)
(c) Use W(0) de (a) y la fórmula de Abel para calcular W(x).
(d) ¿Cuál es la solución general de (A)?
10. Calcule el Wronskiano del conjunto de funciones dado.
11. Suponga que Ly = 0 es normal en (a, b) y x0 está en (a, b). Use el Teorema 9.9.1.1 para mostrar que y ≡ 0 es la única solución del problema de valor inicial
Ly = 0, y(x0) = 0, y′(x0) = 0, . . ., y(n − 1)(x0) = 0,
en (a, b).
12. Demuestre: si y1, y2, . . . , yn son soluciones de Ly = 0 y las funciones
forman un conjunto fundamental de soluciones de Ly = 0, entonces también lo hacen y1, y2, . . . , yn.
13. Demostrar: Si
y = c1y1 + c2y2 + · · · + ckyk + yp
es una solución de una ecuación lineal Ly = F para cada elección de las constantes c1, c2 ,…, ck, entonces Lyi = 0 para 1 ≤ i ≤ k.
14. Suponga que Ly = 0 es normal en (a, b) y sea x0 en (a, b). Para 1 ≤ i ≤ n, sea yi la solución del problema de valor inicial
donde x0 es un punto arbitrario en (a, b). Muestre que cualquier solución de Ly = 0 en (a, b), se puede escribir como
y = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn,
con cj = y(j − 1)(x0).
15. Suponga que {y1, y2, . . ., yn} es un conjunto fundamental de soluciones de
P0(x)y(n) + P1(x)y(n − 1) + · · · + Pn(x)y = 0
en (a, b), y sea
16. Demuestre que {y1, y2, . . ., yn} depende linealmente de (a, b) si y sólo si al menos una de las funciones y1, y2, . . ., yn se puede escribir como una combinación lineal de los otros en (a, b).
Tome lo siguiente como una pista en los ejercicios 17 a 19:
Por la definición de determinante,
donde la suma es sobre todas las permutaciones (i1, i2, . . ., in) de (1, 2, . . ., n) y la elección de + o − en cada término depende únicamente de la permutación asociada con ese término.
17. Demostrar: si
entonces
A(u1 + v1, u2 + v2, . . ., un + vn) = A(u1, u2, . . ., un) + A(v1, v2, . . ., vn).
18. Sea
donde fij (1 ≤ i, j ≤ n) es diferenciable. Muestre que
F′ = F1 + F2 + · · · + Fn,
donde Fi es el determinante obtenido al diferenciar la i-ésima fila de F.
19. Utilice el ejercicio 18 para demostrar que si W es el Wronskiano de las funciones derivables n veces y1, y2, . . . , yn, entonces
20. Use los ejercicios 17 y 19 para demostrar que si W es el Wronskiano de las soluciones {y1, y2, . . . , yn} de la ecuación normal
P0(x)y(n) + P1(x)y(n − 1) + · · · + Pn(x)y = 0, (A)
entonces W′ = −P1W/P0. Derive la fórmula de Abel (ecuación (9.9.1.15)) a partir de esto. AYUDA: Use (A) para escribir y(n) en términos de y, y′, . . ., y(n − 1).
21. Demuestre el Teorema 9.9.1.6.
22. Demuestre el Teorema 9.9.1.7.
23. Muestre que si el Wronskiano de las n-veces funciones continuamente diferenciables {y1, y2, . . . , yn} no tiene ceros en (a, b), entonces la ecuación diferencial obtenida al expandir el determinante
en cofactores de su primera columna es normal y tiene {y1, y2, . . . , yn} como un conjunto fundamental de soluciones en (a, b).
24. Use el método sugerido por el ejercicio 23 para encontrar una ecuación lineal homogénea tal que el conjunto dado de funciones sea un conjunto fundamental de soluciones en intervalos en los que el Wronskiano del conjunto no tiene ceros.
