| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.9. Ecuaciones lineales de orden superior | 9.9.3  Coeficientes indeterminados para ecuaciones de orden superior |

Ejercicios propuestos para la sección 9.9.3

        En los ejercicios 1 a 59 encuentre una solución particular.

        En los ejercicios 60 a 68 encuentre la solución general.

        En los ejercicios 69 a 74, resuelva el problema con valores iniciales y represente gráficamente la solución.

75. Demuestre: Una función y es una solución de la ecuación no homogénea de coeficientes constantes

       (A)

si y sólo si y = ue^αx, donde u satisface la ecuación diferencial

     (B)

y

p(r) = a₀rⁿ + a₁r^{n − 1} + · · · + a_n

es el polinomio característico de la ecuación complementaria

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^{(n − 1)} + · · · + a_ny = 0.

76. Demuestre:

(a) La ecuación

       (A)

tiene una solución particular de la forma

u_p = x^m (u₀ + u₁x + · · · + u_kx^k) cosωx + (v₀ + v₁x + · · · + v_kx^k) senωx.

(b) Si λ + iω es un cero de p con multiplicidad m ≥ 1, entonces (A) se puede escribir como

a(u′′ + ω²u) = (p₀ + p₁x + · · · + p_kx^k) cosωx + (q₀ + q₁x + · · · + q_kx^k) senωx,

que tiene una solución particular de la forma

up = U(x) cosωx + V(x) senωx,

donde

U(x) = u₀x + u₁x² + · · · + u_kx^{k + 1},  V(x) = v₀x + v₁x² + · · · + v_kx^{k + 1}

y