| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.6 Aplicaciones de ecuaciones lineales de segundo orden | 9.6.4 Movimiento bajo una fuerza central |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.6.3

1. Encuentra la ecuación de la curva

        (A)

en términos de (X, Y ) = (r cos(θ − φ), r sen(θ − φ)), que son coordenadas rectangulares con respecto a los ejes que se muestran en la Figura 9.6.4.5. Usa tus resultados para verificar que (A) es la ecuación de una elipse si 0 < e < 1, una parábola si e = 1 o una hipérbola si e > 1. Si e < 1, deja tu respuesta en la forma

y demuestre que el área de la elipse es

Luego use el Teorema 9.6.4.1 para demostrar que el tiempo requerido para que el objeto atraviese la órbita completa es

(Esta es la tercera ley de Kepler; T se denomina período de la órbita).

Figura 9.6.4.5

2. Suponga que un objeto con masa m se mueve en el plano xy bajo la fuerza central

donde k es una constante positiva. Como mostramos, la órbita del objeto está dada por

Determine ρ, e y φ en términos de las condiciones iniciales

r(0) = r₀, r′(0) = r₀′   y   θ(0) = θ₀, θ′(0) = θ₀′ .

Suponga que los vectores de posición inicial y velocidad no son colineales.

3. Supongamos que deseamos poner un satélite con masa m en una órbita elíptica alrededor de la Tierra. Suponga que la única fuerza que actúa sobre el objeto es la gravedad de la Tierra, dada por

donde R es el radio de la Tierra, g es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra y r y θ son coordenadas polares en el plano de la órbita, con el origen en el centro de la Tierra.

(a) Encuentre la excentricidad requerida para que las distancias del afelio y del perihelio sean iguales a Rγ₁ y Rγ₂, respectivamente, donde 1 < γ₁ < γ₂.

(b) Encuentre las condiciones iniciales

r(0) = r₀, r′(0) = r₀′   y   θ(0) = θ₀, θ′(0) = θ′₀

requerido para hacer que el punto inicial sea el perigeo, y el movimiento a lo largo de la órbita en la dirección de aumentar θ. SUGERENCIA: Use los resultados del Ejercicio 2.

4. Un objeto con masa m se mueve en una órbita espiral r = cθ² bajo una fuerza central

F(r, θ) = f (r)(cosθ i + senθ j).

Encuentra f.

5. Un objeto con masa m se mueve en la órbita r = r₀e^γθ bajo una fuerza central

F(r, θ) = f (r)(cosθ i + senθ j).

Encuentra f.

6. Suponga que un objeto con masa m se mueve bajo la fuerza central

con

r(0) = r₀, r′(0) = r₀′   y   θ(0) = θ₀, θ′(0) = θ₀′ ,

donde h = r₀²θ₀′ ≠ 0.

(a) Plantee un problema de valor inicial de segundo orden para u = 1/r en función de θ.
(b) Determine r = r(θ) si (i) h² < k; (ii) h² = k; (iii) h² > k.