| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.5 Ecuaciones lineales de segundo orden | 9.5.5 El método de coeficientes indeterminados II |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.5.5

      En los ejercicios 1 al 17 encuentre una solución particular.

        En los Ejercicios 18 a 21 encuentre una solución particular y grafíquela.

      En los Ejercicios 22 a 26 resuelve el problema de valor inicial.

      En los ejercicios 27 a 32, use el principio de superposición para encontrar una solución particular. Donde se indica, resuelve el problema de valor inicial.

      En los Ejercicios 33 a 35 resuelve el problema de valor inicial y grafica la solución.

36. (a) Verifique que si

y_p = A(x) cosωx + B(x) senωx

donde A y B son dos veces diferenciables, entonces

y_p′ = (A′ + ωB) cosωx + (B′ − ωA) senωx

y

y_p′′ = (A′′ + 2ωB′ − ω²A) cosωx + (B′′ − 2ωA′ − ω²B) senωx.

(b) Utilice los resultados de (a) para verificar que

(c) Use los resultados de (a) para verificar que

y_p′′ + ω²y_p = (A′′ + 2ωB′) cosωx + (B′′ − 2ωA′) senωx.

(d) Demuestre el Teorema 9.5.5.2.  ♦

37. Sean a, b, c y ω constantes, con a ≠ 0 y ω > 0, y sea

P(x) = p₀ + p₁x + · · · + p_kx^k   y   Q(x) = q₀ + q₁x + · · · + q_kx^k,

donde al menos uno de los coeficientes p_k, q_k es distinto de cero, por lo que k es el mayor de los grados de P y Q.

(a) Demuestre que si cosωx y senωx no son soluciones de la ecuación complementaria

ay′′ + by′ + cy = 0,

entonces hay polinomios

A(x) = A₀ + A₁x + · · · + A_kx^k   y   B(x) = B₀ + B₁x + · · · + B_kx^k         (A)

tal que

donde los pares (A_k, B_k), (A_k−1, B_k−1), . . . , (A₀, B₀) se pueden calcular sucesivamente resolviendo los sistemas

y, si 1 ≤ r ≤ k,

donde los términos indicados por “· · · ” dependen de los coeficientes previamente calculados con subíndices mayores que k − r. Concluya de esto y del Ejercicio 36(b) que

yp = A(x) cosωx + B(x) senωx          (B)

es una solución particular de

ay′′ + by′ + cy = P(x) cosωx + Q(x) sen ωx.

(b) Concluya del ejercicio 36(c) que la ecuación

a(y′′ + ω²y) = P(x) cosωx + Q(x) senωx          (C)

no tiene solución de la forma (B) con A y B como en (A). Luego demuestra que hay polinomios

A(x) = A₀x + A₁x² + · · · + A_kx^k+1   y   B(x) = B₀x + B₁x² + · · · + B_kx^k+1

tal que

donde los pares de coeficientes (A_k, B_k), (A_k−1, B_k−1), . . . , (A₀, B₀) se pueden calcular sucesivamente de la siguiente manera:

y, si k ≥ 1,

para 1 ≤ j ≤ k. Concluya que (B) con esta elección de los polinomios A y B es una solución particular de (C). 

38. Demuestre que el Teorema 9.5.5.1 implica el siguiente teorema:

◊ Suponga que ω es un número positivo y que P y Q son polinomios. Sea k el mayor de los grados de P y Q. Entonces la ecuación

ay′′ + by′ + cy = e^λx (P(x) cosωx + Q(x) senωx)

tiene una solución particular

y_p = e^λx (A(x) cosωx + B(x) senωx),         (A)

donde

A(x) = A₀ + A₁x + · · · + A_kx^k   y   B(x) = B₀ + B₁x + · · · + B_kx^k,

siempre que e^λx cosωx y e^λx senωx no sean soluciones de la ecuación complementaria. La ecuacion

a[y′′ − 2λy′ + (λ² + ω²)y] = e^λx (P(x) cosωx + Q(x) senωx)

(para la cual e^λx cosωx y e^λx senωx son soluciones de la ecuación complementaria) tiene una solución particular de la forma (A), donde

A(x) = A₀x + A₁x2 + · · · + A_kx^k+1   y   B(x) = B₀x + B₁x² + · · · + B_kx^k+1.  ♦

39. Este ejercicio presenta un método para evaluar la integral

donde ω ≠ 0 y

P(x) = p₀ + p₁x + · · · + p_kx^k,   Q(x) = q₀ + q₁x + · · · + q_kx^k.

(a) Demuestre que y = e^λxu, donde

u′ + λu = P(x) cosωx + Q(x) senωx.         (A)

(b) Demuestre que (A) tiene una solución particular de la forma

u_p = A(x) cosωx + B(x) senωx,

donde

A(x) = A₀ + A₁x + · · · + A_kx^k,  B(x) = B₀ + B₁x + · · · + B_kx^k,

y los pares de coeficientes (A_k, B_k), (A_k−1, B_k−1), . . . , (A₀, B₀) se pueden calcular sucesivamente como las soluciones de pares de ecuaciones obtenidas al igualar los coeficientes de x^r cosωx  y  x^r senωx para r = k, k − 1, . . . , 0.

(c) Concluir que

donde c es una constante de integración.

40. Use el método del Ejercicio 39 para evaluar la integral.