| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.10. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales | 9.10.5 Sistemas homogéneos con coeficientes constantes II |
Ejercicios propuestos para la sección 9.10.5
En los ejercicios 1 a 12 encuentre la solución general.
En los Ejercicios 13 a 23 resuelve el problema de valor inicial.
Las matrices de coeficientes de los ejercicios 24 a 32 tienen valores propios de multiplicidad 3. Encuentra la solución general.
33. Bajo los supuestos del Teorema 9.10.5.1, suponga que u y 
son vectores tales que
y sea
Demuestre que 
es un múltiplo escalar de y1 = xeλ1t.
34. Bajo los supuestos del Teorema 9.10.5.2, sea
Complete la prueba del teorema 9.10.5.2 mostrando que y3 es una solución de y′ = Ay y que {y1, y2, y3} es linealmente independiente.
35. Supongamos que la matriz
tiene un valor propio repetido λ1 y el espacio propio asociado es unidimensional. Sea x un vector propio λ1 de A. Demuestre que si (A − λ1I)u1 = x y (A − λ1I)u2 = x, entonces u2 − u1 es paralelo a x. Concluya de esto que todos los vectores u tales que (A − λ1I)u = x definen los mismos semiplanos positivo y negativo con respecto a la recta L que pasa por el origen paralelo a x.
En los ejercicios 36 a 45 trazar las trayectorias del sistema dado.
