Funciones exponenciales y logarítmicas

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1.5. Funciones exponenciales y logarítmicas: Objetivos de aprendizaje

1.5.1. Identifica la forma de una función exponencial.
1.5.2. Explica la diferencia entre las gráficas de xᵇ y bˣ.
1.5.3. Reconocer la importancia del número e.
1.5.4. Identifica la forma de una función logarítmica.
1.5.5. Explicar la relación entre funciones exponenciales y logarítmicas.
1.5.6. Describe cómo calcular un logaritmo en una base diferente.
1.5.7. Identifique las funciones hiperbólicas, sus gráficos e identidades básicas.

EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPÍTULO 1.5

EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 1.5

MISCELÁNEA DEL CAPÍTULO 1

En esta sección examinamos las funciones exponenciales y logarítmicas. Utilizamos las propiedades de estas funciones para resolver ecuaciones que implican términos exponenciales o logarítmicos, y estudiamos el significado y la importancia del número e. También definimos funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, que implican combinaciones de funciones exponenciales y logarítmicas. (Tenga en cuenta que presentamos definiciones alternativas de funciones exponenciales y logarítmicas en el capítulo Aplicaciones de la integral, y demostramos que las funciones tienen las mismas propiedades con cualquier definición).

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales surgen en muchas aplicaciones. Un ejemplo común es el crecimiento de una población.

Por ejemplo, si una población comienza con P₀ individuos y luego crece a una tasa anual del 2%, su población después de 1 año es

Su población después de 2 años es

En general, su población después de t años es

que es una función exponencial Más generalmente, cualquier función de la forma f (x) = bˣ, donde b > 0, b ≠ 1, es una función exponencial con base b y exponente x. Las funciones exponenciales tienen bases constantes y exponentes variables. Tenga en cuenta que una función de la forma f (x) = xᵇ para alguna constante b no es una función exponencial sino una función de potencia.

Para ver la diferencia entre una función exponencial y una función de potencia, comparamos las funciones y = x² e y = 2ˣ. En la Tabla 1.5_1, vemos que tanto 2ˣ como x² se aproximan al infinito cuando x → ∞. Eventualmente, sin embargo, 2ˣ se vuelve más grande que x² y crece más rápidamente cuando x → ∞. En la dirección opuesta, cuando x → −∞, x² → ∞, mientras que 2ˣ → 0. La recta y = 0 es una asíntota horizontal para y = 2ˣ.

*$x$*	$−3$	$−2$	$−1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$
$2^{x}$	$1 / 8$	$1 / 4$	$1 / 2$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$

(Tabla1.5_1 Valores de x² y 2ˣ)

En la Figura 1.5_1, graficamos y =x² e y = 2ˣ para mostrar cómo difieren las gráficas.

(Figura 1.5_1 Tanto 2ˣ como x² se aproximan al infinito cuando x → ∞, pero 2ˣ crece más rápidamente que x². Cuando x → −∞, x² → ∞, mientras que 2ˣ → 0.)

Evaluación de funciones exponenciales

Recordemos las propiedades de los exponentes: si x es un entero positivo, entonces definimos bˣ = b⋅b ⋯ b (con x factores de b). Si x es un entero negativo, entonces x = −y para algún entero positivo y, y definimos bˣ = b⁻ʸ = 1/bʸ. Además, bº se define como 1. Si x es un número racional, entonces x = p/q, donde p y q son enteros y

Por ejemplo,Sin embargo, ¿cómo se define bˣ si x es un número irracional? Por ejemplo,Esta es una pregunta demasiado compleja para que podamos responderla en este momento; sin embargo, podemos hacer una aproximación. En la Tabla 1.5_2, enumeramos algunos números racionales que se aproximan a √2 , y también se presentan los valores de 2ˣ para cada número racional x. Afirmamos que si elegimos números racionales x cada vez más cerca de √2, los valores de 2ˣ se acercan cada vez más a algún número L. Definimos que el número L es

$x$	$1.4$	$1.41$	$1.414$	$1.4142$	$1.41421$	$1.414213$
2ˣ	$2.639$	$2.65737$	$2.66475$	$2.665119$	$2.665138$	$2.665143$

(Tabla 1.5_2 Valores de 2ˣ para una lista de números racionales que se aproximan a 2^√2)

Ejemplo ilustrativo 1.5_1 Crecimiento bacterial

Suponga que se sabe que una población particular de bacterias duplica su tamaño cada 4 horas. Si un cultivo comienza con 1000 bacterias, el número de bacterias después de 4 horas es n(4) = 1000⋅2. El número de bacterias después de 8 horas es n(8) = n(4) ⋅2 = 1000⋅2². En general, el número de bacterias después de 4m horas es n(4m) = 1000⋅2 ͫ . Dejando t = 4 ͫ , vemos que el número de bacterias después de t horas esEncuentre la cantidad de bacterias después de 6 horas, 10 horas y 24 horas.

Solución:
El número de bacterias después de 6 horas viene dado porEl número de bacterias después de 10 horas viene dado porEl número de bacterias después de 24 horas viene dado por n(24) = 1000⋅2⁶ = 64,000 bacterias. ◊

EJERCICIO DE CONTROL 1.5_1

Dada la función exponencialevalúe f (4) y f (10).

Graficar funciones exponenciales

Para cualquier base b > 0, b ≠ 1, la función exponencial f (x) = bˣ se define para todos los números reales x y bˣ > 0. Por lo tanto, el dominio de f (x) = bˣ es (−∞, ∞) y el rango es (0, ∞). Para graficar bˣ, notamos que para b > 1, bˣ aumenta en (−∞, ∞) y bˣ → ∞ cuando x → ∞, mientras que bˣ → 0 cuando x → −∞. Por otro lado, si 0 < b < 1, f (x) = bˣ está disminuyendo en (−∞, ∞) y bˣ → 0 cuando x → ∞ mientras que bˣ → ∞ cuando x → −∞ (Figura 1.5_2).

**Figura 1.5_2** Si b > 1, entonces bˣ aumenta en (−∞, ∞). Si 0 < b < 1, entonces bˣ está disminuyendo en (−∞, ∞).

Tenga en cuenta que las funciones exponenciales satisfacen las leyes generales de los exponentes. Para recordarle estas leyes, las declaramos como reglas.