Vectores en tres dimensiones

(Cálculo vectorial)

Escribir ecuaciones en ℝ³

Ahora que podemos representar puntos en el espacio y encontrar la distancia entre ellos, podemos aprender a escribir ecuaciones de objetos geométricos como rectas, planos y superficies curvas en R³. Primero, comenzamos con una ecuación simple. Compare las gráficas de la ecuación x = 0 en R, R² y R³ (Figura 10.2_9). A partir de estos gráficos, podemos ver que la misma ecuación puede describir un punto, una recta o un plano.

Figura 10.2_9 (a) En R, la ecuación x = 0 describe un solo punto. (b) En R², la ecuación x = 0 describe una recta, el eje y.
(c) En R³, la ecuación x = 0 describe un plano, el plano yz.

En el espacio, la ecuación x = 0 describe todos los puntos (0,  y,  z). Esta ecuación define el plano yz. Del mismo modo, el plano xy contiene todos los puntos de la forma (x,  y, 0). La ecuación z = 0 define el plano xy y la ecuación y = 0 describe el plano xz (Figura 10.2_10).

Figura 10.2_10 (a) En el espacio, la ecuación z = 0 describe el plano xy. (b) Todos los puntos en el plano xz satisfacen la ecuación y = 0.

       Comprender las ecuaciones de los planos de coordenadas nos permite escribir una ecuación para cualquier plano que sea paralelo a uno de los planos de coordenadas. Cuando un plano es paralelo al plano xy, por ejemplo, la coordenada z de cada punto en el plano tiene el mismo valor constante. Solo las coordenadas x e y de los puntos en ese plano varían de un punto a otro.

REGLA: ECUACIONES DE PLANOS PARALELOS PARA COORDINAR PLANOS

1) El plano en el espacio que es paralelo al plano xy y contiene el punto (a, b, c) puede representarse mediante la ecuación

z = c.

2) El plano en el espacio que es paralelo al plano xz y contiene el punto (a, b, c) puede representarse mediante la ecuación

y = b.

3) El plano en el espacio que es paralelo al plano yz y contiene el punto (a, b, c)) puede representarse mediante la ecuación

x = a.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.2_3. Escribir ecuaciones de planos paralelos a planos coordinados

a) Escribe una ecuación del plano que pasa por el punto (3, 11, 7) que es paralela al plano yz.

b) Encuentre una ecuación del plano que pasa por los puntos (6, −2, 9), (0, −2, 4) y (1, −2, −3).

Solución:

a) Cuando un plano es paralelo al plano yz, solo las coordenadas y y z pueden variar. La coordenada x tiene el mismo valor constante para todos los puntos en este plano, por lo que este plano puede ser representado por la ecuación x = 3.

b) Cada uno de los puntos (6, −2, 9), (0, −2, 4) y (1, −2, −3) tiene la misma coordenada y. Este plano puede ser representado por la ecuación y = −2.

Ejercicio de control 10.2_3

Escribe una ecuación del plano que pasa por el punto (1, −6, −4) que es paralelo al plano xy.

       Como hemos visto, en R² la ecuación x = 5 describe la recta vertical que pasa por el punto (5, 0). Esta recta es paralela al eje y. En una extensión natural, la ecuación x = 5 en R³ describe el plano que pasa por el punto (5, 0, 0), que es paralelo al plano yz. Otra extensión natural de una ecuación familiar se encuentra en la ecuación de una esfera.

DEFINICIÓN. La esfera

Una esfera es el conjunto de todos los puntos en el espacio equidistantes de un punto fijo, el centro de la esfera (Figura 10.2_10), así como el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes del centro representa una circunferencia. En una esfera, como en una circunferencia, la distancia desde el centro hasta un punto de la esfera se llama radio.

Figura 10.2_11 Cada punto (x, y, z) en la superficie de una esfera está a r unidades del centro (a, b, c).

La ecuación de una circunferencia se deduce usando la fórmula de la distancia en dos dimensiones. Del mismo modo, la ecuación de una esfera se basa en la fórmula tridimensional de la distancia.

REGLA: ECUACIÓN DE UNA ESFERA

La esfera con centro (a, b, c) y radio r puede representarse mediante la ecuación

(xa)² + (yb)² + (z − c)²  = r².

 Esta ecuación se conoce como la ecuación estándar de una esfera.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.2_4. Hallar la ecuación de una esfera

Encuentre la ecuación estándar de la esfera con centro (10, 7, 4) y punto (−1, 3, −2), como se muestra en la figura 10.2_11.

Figura 10.2_12 La esfera centrada en (10, 7, 4) que contiene el punto (−1, 3, −2).

Solución:

Usa la fórmula de la distancia para encontrar el radio r de la esfera:

La ecuación estándar de la esfera es

Ejercicio de control 10.2_4

Encuentra la ecuación estándar de la esfera con centro (−2, 4, −5) que contiene el punto (4, 4, −1).

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.2_5. Hallar la ecuación de una esfera

Supongamos que P = (− 5, 2, 3) y Q = (3, 4, −1), y supongamos además que el segmento de recta PQ forma el diámetro de una esfera (Figura 10.2_13). Encuentra la ecuación de la esfera.

Figura 10.2_13 Segmento de recta PQ.

Solución:

Como PQ es un diámetro de la esfera, sabemos que el centro de la esfera es el punto medio de PQ. Luego,

Además, sabemos que el radio de la esfera es la mitad de la longitud del diámetro. Esto da

Entonces, la ecuación estándar de la esfera es (x + 1)² + (y − 3)² + (z − 1)² = 21.

Ejercicio de control 10.2_5

Encuentre la ecuación de la esfera con diámetro PQ, donde P = (2, −1, −3) y Q = (− 2, 5, −1).

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.2_6. Gráfica de ecuaciones en tres dimensiones

Describe el conjunto de puntos en el espacio tridimensional que satisface (x − 2)² + (y − 1)²  = 4, y representa gráficamente el conjunto.

Solución:

Las coordenadas x e y  forman una circunferencia en el plano xy de radio 2, centrado en (2, 1). Como no hay restricción en la coordenada z, el resultado tridimensional es un cilindro circular de radio 2 centrado en la recta con x = 2  e  y = 1. El cilindro se extiende indefinidamente en la dirección z (Figura 10.2_14).

Figura 10.2_14 El conjunto de puntos que satisfacen (x − 2)² + (y − 1)²  = 4. Este es un cilindro de radio 2 centrado en la recta con x = 2 e y = 1.

Ejercicio de control 10.2_6

Describe el conjunto de puntos que satisface (y + 2) (z − 3) = 0 y representa gráficamente el conjunto.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.2_7. Gráfica de ecuaciones en tres dimensiones

Describa el conjunto de puntos que satisface (x − 4) (z − 2) = 0, y grafique el conjunto.

Solución:

Debemos tener x − 4 = 0  o  z − 2 = 0, por lo que el conjunto de puntos forma los dos planos x = 4  y  z = 2 (Figura 10.2_15).

Figura 10.2_15 El conjunto de puntos que satisfacen (x − 4) (z − 2) = 0 forma los dos planos x = 4 y z = 2.

Ejercicio de control 10.2_7

Describe el conjunto de puntos en el espacio tridimensional que satisface x² + (z − 2)² = 16 y haz una gráfica de la superficie.

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