Vectores en tres dimensiones

(Cálculo vectorial)

Ejercicios propuestos del Capítulo 10.2

61. Considere una caja rectangular con uno de los vértices en el origen, como se muestra en la siguiente figura. Si el punto A(2, 3, 5) es el vértice opuesto al origen, entonces encuentre

  1. las coordenadas de los otros seis vértices de la caja y
  2. la longitud de la diagonal de la caja determinada por los vértices O y A.

62. Encuentra las coordenadas del punto P y determina su distancia al origen.

       Para los siguientes ejercicios, describe y representa gráficamente el conjunto de puntos que satisface la ecuación dada.

63. (y − 5) (z − 6) = 0
64. (z − 2) (z − 5) = 0

65. (y − 1)² + (z − 1)² = 1

66. (x − 2)² + (z − 5)² = 4

67. Escribe la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 1, 1) que es paralelo al plano xy.

68. Escribe la ecuación del plano que pasa por el punto (1, −3, 2) que es paralelo al plano xz.

69. Encuentre una ecuación del plano que pasa por los puntos (1, −3, −2), (0, 3 , −2) y (1, 0, −2).

70. Encuentre una ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 9, 2), (1, 3, 6) y (1, −7, 8).

      Para los siguientes ejercicios, encuentre la ecuación de la esfera en forma estándar que satisfaga las condiciones dadas.

71. Centro C(−1, 7, 4) y radio 4

72. Centro C(−4, 7, 2) y radio 6

73. Diámetro PQ, donde P(−1, 5, 7)  y  Q(−5, 2, 9)

74. Diámetro PQ, donde P(−16, −3, 9)  y  Q(−2, 3, 5)

      Para los siguientes ejercicios, encuentre el centro y el radio de la esfera cuya ecuación en forma general está dada.

75. x² + y² + z²−4z + 3 = 0
76. x² + y² + z² − 6x + 8y − 10z + 25 = 0

  1. en forma de componente y
  2. utilizando vectores unitarios estándar.

77. P(3, 0, 2)  y  Q(−1, −1, 4)

78. P(0, 10, 5)  y  Q(1, 1, −3)

79. P(−2, 5, −8)  y  M(1, −7, 4 ), donde M es el punto medio del segmento de recta PQ

80. Q(0, 7, −6)  y  M (−1, 3, 2), donde M es el punto medio del segmento de línea PQ

      Para los siguientes ejercicios, use los vectores a y b dados para encontrar y expresar los vectores a + b,  4a  y  −5a + 3b en forma de componentes.

83.  a = ⟨−1, −2, 4⟩,  b = ⟨−5, 6, −7⟩
84.  a = ⟨3, −2, 4⟩,  b = ⟨−5, 6, −9⟩

85.  a = −kb = −i
86.  a = i + j + kb = 2i − 3j + 2k

      Para los siguientes ejercicios, se dan los vectores u  y  v. Encuentre las magnitudes de los vectores uv  y  −2u.

87.  u = 2i + 3j + 4kv = −i + 5jk

88.  u = i + jv = jk

89.  u = ⟨2cost, −2sent, 3⟩,  v = ⟨0, 0, 3⟩, donde t es un número real.
90.  u = ⟨0, 1, senht⟩,  v = ⟨1, 1, 0⟩, donde t es un número real.

       Para los siguientes ejercicios, encuentre el vector unitario en la dirección del vector dado a y expréselo usando vectores unitarios estándar.

91.  a = 3i − 4j
92.  a = ⟨4, −3, 6⟩

95.  a = uv + w,  donde u = i jkv = 2i j + k,  y  w = −i + j + 3k

96.  a = 2u + vw,  donde u = ikv = 2j,  y  w = ij

       Para los siguientes ejercicios, encuentre el vector u con una magnitud especificada y que satisfaga las condiciones dadas.

99.  v = ⟨7, −1, 3⟩, ∥u∥ = 10, u y v tienen la misma dirección

100.  v = ⟨2, 4, 1⟩, ∥u∥ = 15, u y v tienen la misma dirección

101.  v = ⟨2sent, 2cost, 1⟩, ∥u∥ = 2, u y v tienen direcciones opuestas para cualquier t, donde t es un número real

102.  v = ⟨3senht, 0, 3⟩, ∥u∥ = 5, u y v tienen direcciones opuestas para cualquier t, donde t es un número real

103.  Determine un vector de magnitud 5 en la dirección del vector AB, donde A(2, 1, 5) y B(3, 4, −7).

104.  Encuentre un vector de magnitud 2 que apunte en la dirección opuesta al vector AB, donde A(−1, −1, 1) y B(0, 1, 1). Exprese la respuesta en forma de componentes.

105.  Considere los puntos A(2, α, 0), B(0, 1, β) y C(1, 1, β), donde α y β son números reales negativos. Encuentre α y β tales que ∥OAOB + OC∥ = ∥OB∥ = 4.

106.  Considere los puntos A(α, 0, 0), B(0, β, 0) y C(α, β, β), donde α y β son números reales positivos. Encuentre α y β tales que ∥OA + OB∥ = √2 y ∥OC∥ = √3.

107.  Sea P(x, y, z) un punto situado a la misma distancia de los puntos A (1, −1, 0) y B(−1, 2, 1). Demuestre que el punto P se encuentra en el plano de la ecuación −2x + 3y + z = 2.

108.  Sea P(x, y, z) un punto situado a la misma distancia del origen y del punto A(4, 1, 2). Demuestre que las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación 8x + 2y + 4z = 21.

109.  Los puntos A, B y C son colineales (en este orden) si se satisface la relación ∥AB∥ + ∥BC∥ = ∥AC∥. Muestre que A(5, 3, −1), B(−5, −3, 1) y C(−15, −9, 3) son puntos colineales.

110.  Muestre que los puntos A(1, 0, 1), B(0, 1, 1) y C(1, 1, 1) no son colineales.

111. [T]  Una fuerza F de 50N actúa sobre una partícula en la dirección del vector OP, donde P(3, 4, 0).

  1. Exprese la fuerza como un vector en forma de componentes.
  2. Encuentre el ángulo entre la fuerza F y la dirección positiva del eje x. Expresa la respuesta en grados redondeados al número entero más cercano.

112. [T]  Una fuerza F de 40N actúa sobre una caja en la dirección del vector OP, donde P(1, 0, 2).

  1. Exprese la fuerza como un vector utilizando vectores unitarios estándar.
  2. Encuentre el ángulo entre la fuerza F y la dirección positiva del eje x.

 

113.  Si F es una fuerza que mueve un objeto desde el punto P₁(x₁, y₁, z₁) a otro punto P₂(x₂, y₂, z₂), entonces el vector de desplazamiento se define como D = (x₂ − x₁)i + (y₂ − y₁)j + (z₂ − z₁)k. Un contenedor de metal se eleva 10 m verticalmente mediante una fuerza constante F. Exprese el vector de desplazamiento D utilizando vectores unitarios estándar.

114.  Una caja se jala 4 yd horizontalmente en la dirección x mediante una fuerza constante F. Encuentre el vector de desplazamiento en forma de componente.

115.  La suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto se llama fuerza resultante o neta. Se dice que un objeto está en equilibrio estático si la fuerza resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero. Sean F₁ = ⟨10, 6, 3⟩,  F₂ = ⟨0, 4, 9⟩  y  F₃ = ⟨10, −3, −9⟩ tres fuerzas que actúan sobre una caja. Encuentre la fuerza F₄ que actúa sobre la caja de manera que la caja esté en equilibrio estático. Exprese la respuesta en forma de componentes.

116. [T]  Sea Fk = ⟨1, k, k²⟩, k = 1, …, n, n: fuerzas que actúan sobre una partícula, con n ≥ 2.

a. Encuentre la fuerza neta

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Exprese la respuesta usando vectores unitarios estándar.

b. Use un sistema de álgebra computarizado (CAS) para encontrar n tal que ∥F∥ < 100.

117.  La fuerza de gravedad F que actúa sobre un objeto está dada por F = mg, donde m es la masa del objeto (expresada en kilogramos) y g es la aceleración resultante de la gravedad, con ∥g∥ = 9,8 N/kg. Una bola de discoteca de 2 kg cuelga de una cadena del techo de una habitación.

  1. Encuentre la fuerza de gravedad F que actúa sobre la bola de discoteca y calcule su magnitud.
  2. Encuentre la fuerza de tensión T en la cadena y su magnitud.
    Exprese las respuestas usando vectores unitarios estándar.
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118.  Un candelabro colgante de 5 kg está diseñado de manera que el cuenco de alabastro esté sujeto por cuatro cadenas de igual longitud, como se muestra en la siguiente figura.

  1. Encuentre la magnitud de la fuerza de gravedad que actúa sobre el candelabro.
  2. Encuentre las magnitudes de las fuerzas de tensión para cada una de las cuatro cadenas (suponga que las cadenas son esencialmente verticales).

119. [T]  Un bloque de cemento de 30 kg está suspendido por tres cables de igual longitud que están anclados en los puntos P(−2, 0, 0), Q(1, √3, 0)  y  R(1 , −√3, 0). La carga está ubicada en S(0, 0, −2√3), como se muestra en la siguiente figura. Sean F₁, F₂  y  F₃ las fuerzas de tensión resultantes de la carga en los cables RS, QS  y  PS, respectivamente.

  1. Encuentre la fuerza gravitacional F que actúa sobre el bloque de cemento que contrarresta la suma F₁ + F₂ + F₃ de las fuerzas de tensión en los cables.
  2. Encuentre las fuerzas F₁, F₂  y  F₃. Exprese la respuesta en forma de componentes.

120.  Dos jugadoras de fútbol están practicando para un próximo juego. Uno de ellos corre 10 m desde el punto A al punto B. Luego gira a la izquierda a 90° y corre 10 m hasta llegar al punto C. Luego patea la pelota con una velocidad de 10 m/seg en un ángulo ascendente de 45° a su compañera de equipo, que está ubicada en el punto A. Escribe la velocidad de la pelota en forma de componentes.

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121.  Sea r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ el vector de posición de una partícula en el tiempo t ∈ [0, T], donde x, y y z son funciones suaves en [0, T]. La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t está definida por el vector v(t) = ⟨x′(t), y′(t), z′(t)⟩, con componentes que son las derivadas con respecto a t, de las funciones x, y y z, respectivamente. La magnitud ∥v(t)∥ del vector de velocidad instantánea se llama velocidad de la partícula en el tiempo t. El vector a(t) = ⟨x″(t), y″(t), z″(t)⟩, con componentes que son las segundas derivadas con respecto a t, de las funciones x, y y z , respectivamente, da la aceleración de la partícula en el tiempo t. Considere r(t) = ⟨cost, sent, 2t⟩ el vector de posición de una partícula en el tiempo t ∈ [0, 30], donde las componentes de r se expresan en centímetros y el tiempo en segundos.

  1. Encuentre la velocidad, rapidez y aceleración instantáneas de la partícula después del primer segundo. Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.
  2. Utilice un CAS para visualizar la ruta de la partícula, es decir, el conjunto de todos los puntos de coordenadas (costo, sent, 2t), donde t ∈ [0, 30].

122. [T]  Sea r(t) = ⟨t, 2t², 4t²⟩ el vector de posición de una partícula en el tiempo t (en segundos), donde t ∈ [0, 10] (aquí las componentes de r se expresan en centímetros).

  1. Encuentre la velocidad, rapidez y aceleración instantáneas de la partícula después de los primeros dos segundos. Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.
  2. Utilice un CAS para visualizar la trayectoria de la partícula definida por los puntos (t, 2t², 4t²), donde t ∈ [0, 60].

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