| 7. Sucesiones, series infinitas y series de potencias | Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.7 |
Series de potencias
(Figura 7.7.1 Si gana la lotería, ¿obtiene más dinero aceptando un pago global o aceptando pagos fijos en el tiempo?
Contenido del capítulo:
7.7 Series de potencias y funciones
7.8 Propiedades de las series de potencias
7.9 Series de Taylor y Maclaurin
7.10 Trabajar con series de Taylor
Al ganar la lotería, a veces una persona tiene la opción de recibir las ganancias en un pago global o recibir pagos más pequeños en intervalos de tiempo fijos. Por ejemplo, podría tener la opción de recibir 20 millones de dólares hoy o recibir 1,5 millones de dólares cada año durante los próximos 20 años. ¿Cuál es la mejor oferta? Ciertamente 1,5 millones de dólares en 20 años equivalen a 30 millones de dólares. Sin embargo, recibir los 20 millones de dólares hoy le permitiría invertir el dinero.
Alternativamente, ¿qué pasaría si se le garantizara recibir 1 millón de dólares cada año de forma indefinida (extendiéndolo a sus herederos) o recibir 20 millones de dólares hoy? ¿Cuál sería el mejor trato? Para responder estas preguntas, necesita saber cómo utilizar series infinitas para calcular el valor de los pagos periódicos a lo largo del tiempo en términos de dólares actuales (consulte el Ejemplo 7.8.4).
Una serie infinita de la forma 
se conoce como serie de potencias. Dado que los términos contienen la variable x, las series de potencias se pueden utilizar para definir funciones. Se pueden usar para representar funciones dadas, pero también son importantes porque nos permiten escribir funciones que no pueden expresarse de otra manera que no sea como “polinomios infinitos”. Además, las series de potencias se pueden diferenciar e integrar fácilmente, lo que resulta útil para resolver ecuaciones diferenciales e integrar funciones complicadas. Una serie infinita también se puede truncar, lo que da como resultado un polinomio finito que podemos usar para aproximar valores funcionales. Las series de potencia tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluidos la física, la química, la biología y la economía. Como veremos en este capítulo, representar funciones usando series de potencias nos permite resolver problemas matemáticos que no se pueden resolver con otras técnicas.
7.7 Series de potencias y funciones
Objetivos de aprendizaje:
7.7.1 Identificar una serie de potencias y proporcionar ejemplos de ellas.
7.7.2 Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de una serie de potencias.
7.7.3 Usar una serie de potencias para representar una función.
Una serie de potencias es un tipo de serie con términos que involucran una variable. Más específicamente, si la variable es x, entonces todos los términos de la serie involucran potencias de x. Como resultado, una serie de potencias puede considerarse como un polinomio infinito. Las series de potencias se utilizan para representar funciones comunes y también para definir nuevas funciones. En esta sección definimos series de potencias y mostramos cómo determinar cuándo una serie de potencias converge y cuándo diverge. También mostramos cómo representar ciertas funciones usando series de potencias.
Forma de una serie de potencias
Una serie de la forma
donde x es una variable y los coeficientes cn son constantes, se conoce como serie de potencias. La serie
es un ejemplo de una serie de potencias. Dado que esta serie es una serie geométrica con razón r = x, sabemos que converge si |x| < 1 y diverge si |x| ≥ 1.
Definición 7.7.1
Una serie de la forma
(7.7.1)
Es una serie de potencias centrada en x = 0. Una serie de la forma
(7.7.2)
es una serie de potencias centrada en x = a. ♦
Para que esta definición sea precisa, estipulamos que x0 = 1 y (x − a)0 = 1 incluso cuando x = 0 y x = a, respectivamente. Las series
y
son ambas series de potencias centradas en x = 0. La serie
es una serie de potencias centrada en x = 2.
Convergencia de una serie de potencias
Dado que los términos de una serie de potencias implican una variable x, la serie puede converger para ciertos valores de x y divergir para otros valores de x. Para una serie de potencias centrada en x = a, el valor de la serie en x = a viene dado por c0. Por tanto, una serie de potencias siempre converge en su centro. Algunas series de potencias convergen sólo en ese valor de x. Sin embargo, la mayoría de las series de potencias convergen para más de un valor de x. En ese caso, la serie de potencias converge para todos los números reales x o converge para todos los x en un intervalo finito. Por ejemplo, la serie geométrica 
converge para todo x en el intervalo (−1, 1), pero diverge para todo x fuera de ese intervalo. Ahora resumimos estas tres posibilidades para una serie de potencias general.
Teorema 7.7.1 Convergencia de una serie de potencias
Considere la serie de potencias 
. La serie satisface exactamente una de las siguientes propiedades:
- La serie converge en x = a y diverge para todos los x ≠ a.
- La serie converge para todos los números reales x.
- Existe un número real R > 0 tal que la serie converge si |x − a| < R y diverge si |x − a| > R. En los valores x donde |x − a| = R, la serie puede converger o divergir. ♦
Prueba:
Supongamos que la serie de potencias está centrada en a = 0. (Para una serie centrada en un valor de a distinto de cero, el resultado se obtiene tomando y = x − a y considerando la serie 
) Primero debemos probar el siguiente hecho:
Si existe un número real d ≠ 0 tal que 
converge, entonces la serie converge absolutamente para todo x tal que |x| < |d|.
Dado que converge, el n-ésimo término cndn → 0 cuando n → ∞. Por lo tanto, existe un número entero N tal que |cndn| ≤ 1 para todos los n ≥ N. Escribiendo
concluimos que, para todo n ≥ N,
La serie
es una serie geométrica que converge si ∣x/d∣ < 1. Por lo tanto, mediante la prueba de comparación, concluimos que
también converge para |x| < |d|. Como podemos sumar un número finito de términos a una serie convergente, concluimos que 
converge para |x| < |d|.
Con este resultado, ahora podemos demostrar el teorema. Considere la serie
y sea S el conjunto de números reales para los cuales la serie converge. Supongamos que el conjunto S ={0}. Entonces la serie cae en el caso i. Supongamos que el conjunto S es el conjunto de todos los números reales. Entonces la serie cae en el caso ii. Supongamos que S ≠ {0} y S no es el conjunto de los números reales. Entonces existe un número real x* ≠ 0 tal que la serie no converge. Por lo tanto, la serie no puede converger para ningún x tal que |x| > |x*|. Por lo tanto, el conjunto S debe ser un conjunto acotado, lo que significa que debe tener un límite superior mínimo. (Este hecho se deriva de la propiedad del límite superior mínimo para los números reales, que está más allá del alcance de este texto y se trata en cursos de análisis real). Llame a ese límite superior más pequeño R. Dado que S ≠ {0}, el número R > 0. Por lo tanto, la serie converge para todo x tal que |x| < R, y la serie cae en el caso iii. ♦
Si una serie 
cae en el caso iii. de Convergencia de una Serie de Potencias, entonces la serie converge para todo x tal que |x − a| < R para algún R > 0, y diverge para todo x tal que |x − a| > R. La serie puede converger o divergir en los valores x donde |x − a| = R. El conjunto de valores x para los cuales la serie converge se conoce como intervalo de convergencia. Dado que la serie diverge para todos los valores x donde |x − a| > R, la longitud del intervalo de convergencia es 2R y, por lo tanto, el radio del intervalo es R. El valor de R se llama radio de convergencia. Por ejemplo, dado que la serie converge para todos los valores x en el intervalo (−1, 1) y diverge para todos los valores x tales que |x| ≥ 1, el intervalo de convergencia de esta serie es (−1,1). Como la longitud del intervalo es 2, el radio de convergencia es 1.
Definición 7.7.2
Considere la serie de potencias . El conjunto de números reales x donde converge la serie es el intervalo de convergencia. Si existe un número real R > 0 tal que la serie converge para |x − a| < R y diverge para |x − a| > R, entonces R es el radio de convergencia. Si la serie converge sólo en x = a, decimos que el radio de convergencia es R = 0. Si la serie converge para todos los números reales x, decimos que el radio de convergencia es R = ∞ (Figura 7.7.2).
(Figura 7.7.2 para una serie el gráfico (a) muestra un radio de convergencia en R = 0, el gráfico (b) muestra un radio de convergencia en R = ∞ y el gráfico (c) muestra un radio de convergencia en R. Para el gráfico (c), observamos que las series pueden converger o no en los puntos finales x = a + R y x = a − R.)
Ejemplo ilustrativo 7.7.1 Encontrar el intervalo y el radio de convergencia
Para cada una de las siguientes series, encuentre el intervalo y el radio de convergencia.
Solución:
a. Para verificar la convergencia, aplicamos la prueba de razón. Tenemos:
para todos los valores de x. Por lo tanto, la serie converge para todos los números reales x. El intervalo de convergencia es (−∞,∞) y el radio de convergencia es R = ∞.
b. Aplique la prueba de la razón. Para x ≠ 0, observamos que:
\( \rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)! x^{n+1}}{n! x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} |(n+1) x| = |x| \lim_{n \to \infty} (n+1) = \infty \).
Por lo tanto, la serie diverge para todo x ≠ 0. Como la serie está centrada en x = 0, debe converger allí, así que la serie converge solo para x = 0. El intervalo de convergencia es el único valor x = 0 y el radio de convergencia es R = 0.
c. Para aplicar la prueba de la razón, consideremos:
\begin{align*} \rho &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(x-2)^{n+1}}{(n+2)3^{n+1}}}{\frac{(x-2)^n}{(n+1)3^n}} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-2)^{n+1}}{(n+2)3^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)3^n}{(x-2)^n} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-2)(n+1)}{3(n+2)} \right| \\ &= \frac{|x-2|}{3} \end{align*} La razón $\rho < 1$ si $|x-2| < 3$. Dado que $|x-2| < 3$ implica que $-3 < x-2 < 3$, la serie converge absolutamente si $-1 < x < 5$. La razón $\rho > 1$ si $|x-2| > 3$. Por lo tanto, la serie diverge si $x < -1$ o $x > 5$. La prueba de la razón no es concluyente si $\rho = 1$. La razón $\rho = 1$ si y solo si $x = -1$ o $x = 5$. Necesitamos probar estos valores de $x$ por separado. Para $x = -1$, la serie está dada por \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \cdots. \] Dado que esta es la serie armónica alternante, converge. Por lo tanto, la serie converge en $x = -1$. Para $x = 5$, la serie está dada por \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \] Esta es la serie armónica, la cual es divergente. Por lo tanto, la serie de potencias diverge en $x = 5$. Concluimos que el intervalo de convergencia es $[-1, 5)$ y el radio de convergencia es \[ R = 3. \]♦
Ejercicio de control 7.7.1
Encuentre el intervalo y el radio de convergencia para la serie \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{\sqrt{n}} \). ♦
Representación de Funciones como Series de Potencias
Poder representar una función mediante un “polinomio infinito” es una herramienta poderosa. Las funciones polinómicas son las funciones más fáciles de analizar, ya que solo involucran las operaciones aritméticas básicas de suma, resta, multiplicación y división. Si podemos representar una función compleja mediante un polinomio infinito, podemos usar la representación polinómica para diferenciarla o integrarla. Además, podemos usar una versión truncada de la expresión polinómica para aproximar valores de la función. Entonces, la pregunta es, ¿cuándo podemos representar una función mediante una serie de potencias?
Consideremos nuevamente la serie geométrica
\[1+x+x^{2}+x^{3}+\cdot\cdot\cdot=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\]Tengamos presente que la serie geométrica
\( a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \)
converge si y solo si \( |r| < 1 \). En ese caso, converge a \( \frac{a}{1-r} \). Por lo tanto, si \( |x| < 1 \), la serie del Ejemplo 7.7.3 converge a \( \frac{1}{1-x} \) y escribimos
\( 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x} \quad \text{para} \quad |x| < 1. \)
Como resultado, podemos representar la función \( f(x) = \frac{1}{1-x} \) mediante la serie de potencias
\( 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad \text{cuando} \quad |x| < 1. \)
Ahora mostramos gráficamente cómo esta serie proporciona una representación de la función \( f(x) = \frac{1}{1-x} \) comparando el gráfico de \( f \) con los gráficos de varias de las sumas parciales de esta serie infinita.
Ejemplo ilustrativo 7.7.2 Gráfica de una Función y Sumas Parciales de su Serie de Potencias
Dibuje la gráfica de \( f(x) = \frac{1}{1-x} \) y los gráficos de las sumas parciales correspondientes \( S_N(x) = \sum_{n=0}^N x^n \) para \( N = 2, 4, 6 \) en el intervalo \( (-1, 1) \). Comente sobre la aproximación \( S_N \) a medida que \( N \) aumenta.
Solución:
A partir del gráfico en la Figura 7.7.1, se observa que a medida que \( N \) aumenta, \( S_N \) se convierte en una mejor aproximación para \( f(x) = \frac{1}{1-x} \) para \( x \) en el intervalo \( (-1, 1) \).
(Figura 7.7.1 El gráfico muestra una función y tres aproximaciones de la misma por sumas parciales de una serie de potencias.) ♦
Ejercicio de control 7.7.2
Dibuje un gráfico de \( f(x) = \frac{1}{1-x^2} \) y las sumas parciales correspondientes \( S_N(x) = \sum_{n=0}^N x^{2n} \) para \( N = 2, 4, 6 \) en el intervalo \( (-1, 1) \).
♦
A continuación, consideramos funciones que involucran una expresión similar a la suma de una serie geométrica y mostramos cómo representar estas funciones utilizando series de potencias.
Ejemplo ilustrativo 7.7.3 Representación de una Función con una Serie de Potencias
Usa una serie de potencias para representar cada una de las siguientes funciones ff. Encuentra el intervalo de convergencia.
a. \( f(x) = \frac{1}{1+x^3} \)
b. \( f(x) = \frac{x^2}{4 – x^2} \)
Solución:
a. Deberías reconocer esta función \( f \) como la suma de una serie geométrica, porque \[ \frac{1}{1+x^3} = \frac{1}{1 – (-x^3)}. \]
Usando el hecho de que, para \( |r| < 1 \), la suma de la serie geométrica \[ \sum_{n=0}^\infty ar^n = a + ar + ar^2 + \dots = \frac{a}{1 - r}, \] vemos que, para \( |{-x^3}| < 1 \), \[ \frac{1}{1+x^3} = \frac{1}{1 - (-x^3)} = \sum_{n=0}^\infty (-x^3)^n = 1 - x^3 + x^6 - x^9 + \dots. \]
Dado que esta serie converge si y solo si \( |{-x^3}| < 1 \), el intervalo de convergencia es \( (-1, 1) \), y tenemos \[ \frac{1}{1+x^3} = 1 - x^3 + x^6 - x^9 + \dots \quad \text{para } |x| < 1. \]
b. Esta función no está en la forma exacta de una suma de una serie geométrica. Sin embargo, con un poco de manipulación algebraica, podemos relacionar \( f \) con una serie geométrica. Factorizando 4 de los dos términos en el denominador, obtenemos \[ \frac{x^2}{4 – x^2} = \frac{x^2}{4(1 – \frac{x^2}{4})} = \frac{x^2}{4(1 – (x^2)^2)}. \]
Por lo tanto, tenemos \[ \frac{x^2}{4 – x^2} = \frac{x^2}{4(1 – (x^2)^2)} = \frac{x^2}{4} \cdot \frac{1}{1 – (x^2)^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^2}{4}(x^2)^{2n}. \]
La serie converge siempre que \( |(x^2)^2| < 1 \) (nota que cuando \( |(x^2)^2| = 1 \), la serie no converge). Resolviendo esta desigualdad, concluimos que el intervalo de convergencia es \( (-2, 2) \) y \[ \frac{x^2}{4 - x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+2}}{4^{n+1}} = \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{4^2} + \frac{x^6}{4^3} + \dots \] para \( |x| < 2 \).
♦
Ejercicio de control 7.7.3
Representa la función \( f(x) = \frac{x^3}{2 – x} \) usando una serie de potencias y encuentra el intervalo de convergencia.
♦
En las secciones restantes de este capítulo, mostraremos formas de derivar representaciones de series de potencias para muchas otras funciones y cómo podemos utilizar estas representaciones para evaluar, diferenciar e integrar diversas funciones.