Series de potencias

Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.7

En los siguientes ejercicios, indica si cada afirmación es verdadera o proporciona un ejemplo para mostrar que es falsa:

1. Si \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\) converge, entonces \(a_n x^n \to 0\) cuando \(n \to \infty\). 2. \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\) converge en \(x = 0\) para cualquier número real \(a_n\). 3. Dada cualquier secuencia \(a_n\), siempre existe algún \(R > 0\), posiblemente muy pequeño, tal que \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\) converge en \((-R, R)\). 4. Si \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\) tiene un radio de convergencia \(R > 0\) y si \(|b_n| \leq |a_n|\) para todo \(n\), entonces el radio de convergencia de \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n\) es mayor o igual a \(R\).

5. Supongamos que \( \sum_{n=0}^\infty a_n (x – 3)^n \) converge en \( x = 6 \). ¿En cuál de los siguientes puntos podría divergir la serie? Usa el hecho de que si \( \sum a_n (x – c)^n \) converge en \( x \), entonces converge en cualquier punto más cercano a \( c \) que \( x \).

\( x = 1 \)
\( x = 2 \)
\( x = 3 \)
\( x = 0 \)
\( x = 5.99 \)
\( x = 0.000001 \)

6. Supongamos que \( \sum_{n=0}^\infty a_n (x + 1)^n \) converge en \( x = -2 \). ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Usa el hecho de que si \( \sum a_n (x – c)^n \) converge en \( x \), entonces converge en cualquier punto más cercano a \( c \) que \( x \).

\( x = 2 \)
\( x = -1 \)
\( x = -3 \)
\( x = 0 \)
\( x = 0.99 \)
\( x = 0.000001 \)

En los siguientes ejercicios, supón que \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to 1\) a medida que \(n \to \infty\). Encuentra el radio de convergencia para cada serie:

7. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n 2^n x^n\) 8. \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n x^n}{2^n}\) 9. \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n \pi^n x^n}{e^n}\) 10. \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n (-1)^n x^n}{10^n}\) 11. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (-1)^n x^{2n}\) 12. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (-4)^n x^{2n}\)

En los siguientes ejercicios, encuentra el radio de convergencia \( R \) y el intervalo de convergencia para \( \sum a_n x^n \) con los coeficientes dados \( a_n \):

13. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n}\) 14. \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{\sqrt{n}}\) 15. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^n}{2^n}\) 16. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^n}{e^n}\) 17. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 x^n}{2^n}\) 18. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^e x^k}{e^k}\) 19. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\pi^k x^k}{k^\pi}\) 20. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 21. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^n x^n}{n!}\) 22. \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n}}{\ln(2n)}\)

En los siguientes ejercicios, encuentra el radio de convergencia de cada serie:

23. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k!)^2 x^k}{(2k)!}\) 24. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)! x^n}{n^{2n}}\) 25. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)} x^k\) 26. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2k}{(2k)!} x^k\) 27. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\binom{2n}{n}}\) donde \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) 28. \(\sum_{n=1}^{\infty} \text{sen}^2(n) x^n\)

En los siguientes ejercicios, usa la prueba del cociente para determinar el radio de convergencia de cada serie:

29. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^3}{(3n)!} x^n\) 30. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3n} (n!)^3}{(3n)!} x^n\) 31. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n\) 32. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{n^{2n}} x^n\)

En los siguientes ejercicios, dado que \( \frac{1}{1 – x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \) con convergencia en \( (-1, 1) \), encuentra la serie de potencias para cada función con el centro dado \( a \) y determina su intervalo de convergencia:

33. \(f(x) = \frac{1}{x}; \quad a=1 \quad \text{(Sugerencia: } \frac{1}{x} = \frac{1}{1-(1-x)} \text{)}\) 34. \(f(x) = \frac{1}{1-x^2}; \quad a=0\) 35. \(f(x) = \frac{x}{1-x^2}; \quad a=0\) 36. \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}; \quad a=0\) 37. \(f(x) = \frac{x^2}{1+x^2}; \quad a=0\) 38. \(f(x) = \frac{1}{2-x}; \quad a=1\) 39. \(f(x) = \frac{1}{1-2x}; \quad a=0\) 40. \(f(x) = \frac{1}{1-4x^2}; \quad a=0\) 41. \(f(x) = \frac{x^2}{1-4x^2}; \quad a=0\) 42. \(f(x) = \frac{x^2}{5-4x+x^2}; \quad a=2\)

Utilice el siguiente ejercicio para encontrar el radio de convergencia de la serie dada en los ejercicios posteriores:

43. Explica por qué, si \( |a_n|^{1/n} \to r > 0 \), entonces \( |a_n x^n|^{1/n} \to |x|r < 1 \) siempre que \( |x| < \frac{1}{r} \) y, por lo tanto, el radio de convergencia de \( \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \) es \( R = \frac{1}{r} \).

44. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^n}\) 45. \(\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{k-1}{2k+3}\right)^k x^k\) 46. \(\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2k^2 – 1}{k^2 + 3}\right)^k x^k\) 47. \(\sum_{n=1}^{\infty} (n^{1/n} – 1)^n x^n\)

48. Supón que \( p(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) tal que \( a_n = 0 \) si \( n \) es par. Explica por qué \( p(x) = -p(-x) \).

49. Supón que \( p(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) tal que \( a_n = 0 \) si \( n \) es impar. Explica por qué \( p(x) = p(-x) \).

50. Supón que \( p(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) converge en \( (-1, 1] \). Encuentra el intervalo de convergencia de \( p(Ax) \).

51. Supón que \( p(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) converge en \( (-1, 1] \). Encuentra el intervalo de convergencia de \( p(2x – 1) \).

En los siguientes ejercicios, supón que \( p(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) satisface \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 \), donde \( a_n \geq 0 \) para cada \( n \). Indica si cada serie converge en el intervalo completo \( (-1, 1) \) o si no hay suficiente información para llegar a una conclusión. Usa la prueba de comparación cuando sea apropiado:

52. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}\) 53. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}x^{2n}\) 54. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_{2n}x^{n}\) (Sugerencia: \(x=\pm\sqrt{x^{2}}\)) 55. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n^2}x^{n^2}\) (Pista: Sea \(b_k = a_k\) si \(k = n^2\) para algún \(n\), de lo contrario \(b_k = 0\).) 56. Suponga que \(p(x)\) es un polinomio de grado \(N\). Encuentre el radio y el intervalo de convergencia de \[\sum_{n=1}^{\infty}p(n)x^{n}.\] 57. [T] Trace las gráficas de \(\frac{1}{1-x}\) y de las sumas parciales \(S_N = \sum_{n=0}^{N} x^n\) para \(N = 10, 20, 30\) en el intervalo \([-0.99, 0.99]\). Comente sobre la aproximación de \(\frac{1}{1-x}\) por \(S_N\) cerca de \(x = -1\) y cerca de \(x = 1\) a medida que \(N\) aumenta. 58. [T] Trace las gráficas de \(-\ln(1-x)\) y de las sumas parciales \[S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^{n}}{n}\] para \(N = 10, 50, 100\) en el intervalo \([-0.99, 0.99]\). Comente sobre el comportamiento de las sumas cerca de \(x = -1\) y cerca de \(x = 1\) a medida que \(N\) aumenta. 59. [T] Trace las gráficas de las sumas parciales \[S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{x^{n}}{n^{2}}\] para \(N = 10, 50, 100\) en el intervalo \([-0.99, 0.99]\). Comente sobre el comportamiento de las sumas cerca de \(x = -1\) y cerca de \(x = 1\) a medida que \(N\) aumenta. 60. [T] Trace las gráficas de las sumas parciales \[S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\sin(nx)x^{n}\] para \(N = 10, 50, 100\) en el intervalo \([-0.99, 0.99]\). Comente sobre el comportamiento cerca de \(x = -1\) y cerca de \(x = 1\) a medida que \(N\) aumenta. 61. [T] Trace las gráficas de las sumas parciales \[S_{N}=\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\] para \(N = 3, 5, 10\) en el intervalo \([-2\pi, 2\pi]\). Comente sobre cómo estas gráficas se aproximan a \(\sin x\) a medida que \(N\) aumenta. 62. [T] Trace las gráficas de las sumas parciales \[S_{N}=\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\] para \(N = 3, 5, 10\) en el intervalo \([-2\pi, 2\pi]\). Comente sobre cómo estas gráficas se aproximan a \(\cos x\) a medida que \(N\) aumenta.

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