Álgebra lineal con aplicaciones

(1. Sistema de ecuaciones lineales)

Ejercicios propuestos del Capítulo 1.2

 

1.  ¿Cuáles de las siguientes matrices están en forma escalonada reducida? ¿Cuáles están en forma escalonada por filas?

2. Lleve cada una de las siguientes matrices a la forma escalonada reducida.

3. La matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales se ha llevado a lo siguiente mediante operaciones de fila. En cada caso resuelve el sistema.

 

4. Encuentre todas las soluciones (si las hay) para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

 

5. Encuentre todas las soluciones (si las hay) para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

 

6. Exprese la última ecuación de cada sistema como una suma de múltiplos de las dos primeras ecuaciones. [Sugerencia: etiquete las ecuaciones, use el algoritmo gaussiano].

 

7. Encuentre todas las soluciones para los siguientes sistemas.

 

8. En cada uno de los siguientes sistemas, encuentre (si es posible) condiciones en a y b tales que el sistema no tenga solución, una solución e infinitas soluciones.

 

9. En cada uno de los siguientes, encuentre (si es posible) condiciones en a, b y c tales que el sistema no tenga solución, una solución o infinitas soluciones.

 

10. Encuentre el rango de cada una de las matrices del ejercicio propuesto 1.2.1.

 

11. Encuentre el rango de cada una de las siguientes matrices.

 

12. Considere un sistema de ecuaciones lineales con matriz A aumentada y matriz de coeficientes C. En cada caso, pruebe el enunciado o dé un ejemplo mostrando que es falso.

a. Si hay más de una solución, A tiene una fila de ceros.
b. Si A tiene una fila de ceros, hay más de una solución.
c. Si no hay solución, la forma escalonada reducida de C tiene una fila de ceros.
d. Si la forma escalonada de fila de C tiene una fila de ceros, no hay solución.

e. No hay ningún sistema que sea inconsistente para cada elección de constantes.
f. Si el sistema es consistente para alguna elección de constantes, es consistente para cada elección de constantes.

Ahora suponga que la matriz aumentada A tiene 3 filas y 5 columnas.

g. Si el sistema es consistente, hay más de una solución.
h. El rango de A es como máximo 3.
i. Si el rango A = 3, el sistema es consistente.
j. Si el rango C = 3, el sistema es consistente.

 

13. Encuentra una secuencia de operaciones de fila que llevan dea

 

14. En cada caso, demuestre que la forma escalonada reducida es la dada.

 

15. Muestre que el sistemasiempre tiene una solución distinta de x = 0, y = 0, z = 0.

 

16. Encuentre la circunferencia x² + y² + ax + by + c = 0 que pasa por los siguientes puntos.

a. (−2, 1), (5, 0) y (4, 1)
b. (1, 1), (5, −3) y (−3, −3)

 

17. Se pueden alquilar tres Nissan, dos Ford y cuatro Chevrolet por $106 por día. A las mismas tarifas, dos Nissan, cuatro Ford y tres Chevrolet cuestan $107 por día, mientras que cuatro Nissan, tres Ford y dos Chevrolet cuestan $102 por día. Encuentre las tarifas de alquiler para los tres tipos de automóviles.

 

18. Una escuela tiene tres clubes y cada estudiante debe pertenecer exactamente a un club. Un año, los estudiantes cambiaron la membresía del club de la siguiente manera:

Club A. 4/10 permanecen en A, 1/10 cambian a B, 5/10 cambian a C.
Club B. 7/10 permanecen en B, 2/10 cambian a A, 1/10 cambian a C.
Club C. 6/10 permanecen en C, 2/10 cambian a A, 2/10 cambian a B.

      Si la fracción de la población estudiantil de cada club no cambia, calcule cada una de estas fracciones.

 

19. Dados los puntos (p₁, q₁), (p₂, q₂) y (p₃, q₃) en el plano con p₁, p₂ y p₃ distintos, demuestre que se encuentran en alguna curva con la ecuación y = a + bx + cx². [Sugerencia: resuelve para a, b y c.]

 

20. Se han perdido las puntuaciones de tres jugadores en un torneo. La única información disponible es el total de las puntuaciones de los jugadores 1 y 2, el total de los jugadores 2 y 3 y el total de los jugadores 3 y 1.

a. Demuestre que se pueden redescubrir las puntuaciones individuales.
b. ¿Es esto posible con cuatro jugadores (conociendo las puntuaciones totales de los jugadores 1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, y 4 y 1)?

 

21. Un niño encuentra $1.05 en monedas de diez centavos, cinco centavos, y de 1 centavo. Si hay 17 monedas en total, ¿cuántas monedas de cada tipo puede tener?

 

22. Si un sistema consistente tiene más variables que ecuaciones, demuestre que tiene infinitas soluciones. [Sugerencia: utilice el Teorema 1.2.2.]