Álgebra lineal con aplicaciones

(1. Sistema de ecuaciones lineales)

Rango

Se puede demostrar que la forma escalonada reducida por fila de una matriz A está determinada únicamente por A. Es decir, no importa qué serie de operaciones de fila se usen para llevar A a una matriz escalonada reducida por fila, el resultado siempre será la misma matriz (Se proporciona una prueba al final de la Sección 2.5.) Por el contrario, esto no es cierto para las matrices escalonadas por filas: diferentes series de operaciones de fila pueden llevar la misma matriz A a diferentes matrices escalonadas por filas. De hecho, la matriz

se puede transformar (mediante una operación de fila) a la matriz escalonada

y luego por otra operación de fila a la matriz escalonada (reducida)

Sin embargo, es cierto que el número r de los primeros 1 debe ser el mismo en cada una de estas matrices escalonadas (esto se demostrará en el Capítulo 5). Por lo tanto, el número r depende solo de A y no de la forma en que A se lleva a la forma escalonada.

Definición 1.2.2 Rango de una matriz

El rango de una matriz A es el número de 1s iniciales en cualquier matriz escalonada por fila a la que A puede ser transformada por operaciones de fila.

Ejemplo ilustrativo 1.2_5

Calcule el rango de

Solución:
La reducción de A a la forma escalonada es

Debido a que esta matriz escalonada tiene dos 1s iniciales, el rango A = 2. ◊

Suponga que el rango A = r, donde A es una matriz con m filas y n columnas. Entonces r ≤ m porque los primeros 1 se encuentran en diferentes filas, y r ≤ n porque los primeros 1 se encuentran en diferentes columnas. Además, el rango tiene una aplicación útil para las ecuaciones. Recuerde que un sistema de ecuaciones lineales se llama consistente si tiene al menos una solución.

Teorema 1.2.2

Suponga que un sistema de m ecuaciones en n variables es consistente y que el rango de la matriz aumentada es r. 1. El conjunto de soluciones involucra exactamente n – r parámetros. 2. Si r < n, el sistema tiene infinitas soluciones. 3. Si r = n, el sistema tiene solución única.

Prueba. El hecho de que el rango de la matriz aumentada sea r significa que existen exactamente r variables principales y, por lo tanto, exactamente n − r variables no principales. Todas estas variables no principales se asignan como parámetros en el algoritmo gaussiano, por lo que el conjunto de soluciones involucra exactamente n – r parámetros. Por lo tanto, si r < n, hay al menos un parámetro y, por lo tanto, infinitas soluciones. Si r = n, no hay parámetros y, por lo tanto, una solución única. ◊

El Teorema 1.2.2 muestra que, para cualquier sistema de ecuaciones lineales, existen exactamente tres posibilidades:

1. No hay solución. Esto sucede cuando una fila [0  0  ···  0  1] aparece en la forma escalonada. Este es el caso donde el sistema es inconsistente.
2. Solución única. Esto ocurre cuando cada variable es una variable principal.

3. Infinitas soluciones. Esto ocurre cuando el sistema es consistente y hay al menos una variable no principal, por lo que al menos un parámetro está involucrado.

Ejemplo ilustrativo 1.2_6

Suponga que la matriz A del Ejemplo 1.2.5 es la matriz aumentada de un sistema de m = 3 ecuaciones lineales en n = 3 variables. Como rango A = r = 2, el conjunto de soluciones tendrá n − r = 1 parámetros. El lector puede verificar este hecho directamente. ◊

Muchos problemas importantes involucran desigualdades lineales en lugar de ecuaciones lineales. Por ejemplo, una condición en las variables x e y podría tomar la forma de una desigualdad 2x − 5y ≤ 4 en lugar de una igualdad 2x − 5y = 4. Existe una técnica (llamada algoritmo simplex) para encontrar soluciones a un sistema de tales desigualdades que maximizan una función de la forma p = ax + by donde a y b son constantes.