Álgebra lineal con aplicaciones

(1. Sistema de ecuaciones lineales)

Ejercicios propuestos para el Capítulo 1.3

 

1.  Considere los siguientes enunciados sobre un sistema de ecuaciones lineales con matriz aumentada A. En cada caso, pruebe el enunciado o dé un ejemplo en el que sea falso.

a. Si el sistema es homogéneo, toda solución es trivial.
b. Si el sistema tiene una solución no trivial, no puede ser homogéneo.
c. Si existe una solución trivial, el sistema es homogéneo.
d. Si el sistema es consistente, debe ser homogéneo.

       Ahora suponga que el sistema es homogéneo
e. Si existe una solución no trivial, no hay solución trivial
f. Si existe una solución, hay infinitas soluciones.
g. Si existen soluciones no triviales, la forma escalonada de A tiene una fila de ceros.
h. Si la forma escalonada de A tiene una fila de ceros, existen soluciones no triviales.
i. Si se aplica una operación de fila al sistema, el nuevo sistema también es homogéneo.

 

2.  En cada uno de los siguientes sistemas lineales, encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema tiene soluciones no triviales y determine todas las soluciones en cada caso.

 

3.  SeaEn cada caso, escriba v como una combinación lineal de x, y y z, o demuestre que no es una combinación lineal.

 

4.  En cada caso, exprese y como una combinación lineal de a₁, a₂ y a₃, o demuestre que no es una combinación lineal. Aquí:

 

5.  Para cada uno de los siguientes sistemas homogéneos, encuentre un conjunto de soluciones básicas y exprese la solución general como una combinación lineal de estas soluciones básicas.

6.  a. ¿El teorema 1.3.1 implica que el sistematiene soluciones no triviales? Explicar.

b. Demuestre que lo contrario al teorema 1.3.1 no es cierto. Es decir, demostrar que la existencia de soluciones no triviales no implica que haya más variables que ecuaciones.

 

7.  En cada caso, determine cuántas soluciones (y cuántos parámetros) son posibles para un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones lineales en seis variables con matriz aumentada A. Suponga que A tiene entradas distintas de cero. Da todas las posibilidades.

a. Rango A = 2.
b. Rango A = 1.
c. A tiene una fila de ceros.
d. La forma escalonada de A tiene una fila de ceros.

 

8. La gráfica de una ecuación ax + by + cz = 0 es un plano que pasa por el origen (siempre que no todos los coeficientes a, b y c sean cero). Utilice el Teorema 1.3.1 para demostrar que dos planos que pasan por el origen tienen un punto en común que no es el origen (0, 0, 0).

 

9. a. Demuestre que hay una recta que pasa por cualquier par de puntos en el plano. [Sugerencia: cada recta tiene la ecuación ax + by + c = 0, donde a, b y c no son todos cero].
b. Generalice y demuestre que hay un plano ax + by + cz + d = 0 a través de tres puntos cualesquiera en el espacio.

 

10.  La gráfica de

a(x² + y²) + bx + cy + d = 0

es una circunferencia si a ≠ 0. Demuestre que hay una circunferencia que pasa por tres puntos en el plano que no están todos colineales.

 

11. Considere un sistema homogéneo de ecuaciones lineales en n variables y suponga que la matriz aumentada tiene rango r. Demuestre que el sistema tiene soluciones no triviales si y solo si n > r.

 

12. Si un sistema consistente (posiblemente no homogéneo) de ecuaciones lineales tiene más variables que ecuaciones, demuestre que tiene más de una solución.