| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.2.5
En los Ejercicios 1–17 determine qué ecuaciones son exactas y resuélvalas.
En los Ejercicios 18–22 resuelve el problema de valor inicial
23. C/G Resuelva la ecuación exacta
Trace un campo direccional y algunas curvas integrales para esta ecuación en el rectángulo
24. C/G Resuelva la ecuación exacta
Trace un campo direccional y algunas curvas integrales para esta ecuación en el rectángulo
25. C/G Trace un campo direccional y algunas curvas integrales para la ecuación exacta
en el rectángulo {−1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}. (Ver Ejercicio 37(a))
26. C/G Trace un campo direccional y algunas curvas integrales para la ecuación exacta
en el rectángulo {−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2}. (Ver Ejercicio 37(b))
27. L
(a) Resuelva la ecuación exacta
implícitamente.
(b) ¿Para qué elecciones de (x0, y0) implica el Teorema 9.2.3.1 que el problema de valor inicial
tiene una solución única en un intervalo abierto (a, b) que contiene x0?
(c) Trace un campo direccional y algunas curvas integrales para (A) en una región rectangular centrada en el origen. ¿Cuál es el intervalo de validez de la solución de (B)?
28. L
(a) Resuelva la ecuación exacta
(b) ¿Para qué elecciones de (x0, y0) implica el Teorema 9.2.3.1 que el problema de valor inicial
tiene una solución única en un intervalo abierto (a, b) que contiene x0?
(c) Trace un campo direccional y algunas curvas integrales para (A). A partir de la gráfica, determine el intervalo abierto (a, b) de (b), las propiedades de monotonicidad (si las hay) de la solución de (B), y limx→a+ y(x) y limx→b− y(x). SUGERENCIA: Sus respuestas dependerán del cuadrante que contenga (x0, y0).
29. Encuentre todas las funciones M tales que la ecuación sea exacta.
30. Encuentre todas las funciones N tales que la ecuación sea exacta.
31. Suponga que M, N y sus derivadas parciales son continuas en un rectángulo abierto R, y G es una antiderivada de M con respecto a x; es decir,
Demuestre que si My ≠ Nx en R entonces la función
no es independiente de x.
32. Demuestre: si las ecuaciones M1 dx + N1 dy = 0 y M2 dx + N2 dy = 0 son exactas en un rectángulo abierto R, también lo es la ecuación
33. Encuentra condiciones en las constantes A, B, C y D tales que la ecuación
sea exacta.
34. Encuentra condiciones en las constantes A, B, C, D, E y F tales que la ecuación
sea exacta.
35. Suponga que M y N son continuas y tienen derivadas parciales continuas My y Nx que satisfacen la condición de exactitud My = Nx en un rectángulo abierto R. Demuestre que si (x, y) está en R y
entonces Fx = M y Fy = N.
36. Bajo los supuestos del ejercicio 35, demuestre que
37. Usa el método sugerido por el Ejercicio 35, con (x0, y0) = (0, 0), para resolver estas ecuaciones exactas:
38. Resuelva el problema de valor inicial
39. Resuelva el problema de valor inicial
40. Resuelva el problema de valor inicial
41. Reescriba la ecuación separable
h(y)y′ = g(x) (A)
como una ecuación exacta
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. (B)
Demuestre que aplicando el método de esta sección a (B) se obtienen las mismas soluciones que se obtendrían aplicando el método de separación de variables a (A).
42. Suponga que todas las segundas derivadas parciales de M = M(x, y) y N = N(x, y) son continuas y M dx + N dy = 0 y −N dx + M dy = 0 son exactas en un rectángulo abierto R. Demuestre que Mxx + Myy = Nxx + Nyy = 0 en R.
43. Suponga que todas las segundas derivadas parciales de F = F(x, y) son continuas y Fxx + Fyy = 0 en un rectángulo abierto R. (Se dice que una función con estas propiedades es armónica; consulte también el ejercicio 42). Demuestre que −Fy dx + Fx dy = 0 es exacta en R, y por lo tanto hay una función G tal que Gx = −Fy y Gy = Fx en R. (Se dice que una función G con esta propiedad es un conjugado armónico de F).
44. Verifique que las siguientes funciones sean armónicas y encuentre todos sus conjugados armónicos. (Consulte el ejercicio 43).
