| 2. Límites y continuidad | Ejercicios propuestos del Capítulo 2.4 |

2.4 CONTINUIDAD

Objetivos de aprendizaje:

2.4.1 Explique las tres condiciones para la continuidad en un punto.
2.4.2 Describe tres tipos de discontinuidades.
2.4.3 Definir continuidad en un intervalo.
2.4.4 Establezca el teorema de los límites de las funciones compuestas.
2.4.5 Proporcione un ejemplo del teorema del valor intermedio.

• Solución del Ejercicio 1.8 de Leithold  “Continuidad de una función en un número”

     Muchas funciones tienen la propiedad de que sus gráficas pueden trazarse con un lápiz sobre una hoja de papel sin levantar el lápiz de la hoja. Tales funciones se llam   an continuas. Otras funciones tienen puntos en los que se produce una ruptura en el gráfico, pero satisfacen esta propiedad de continuidad en intervalos contenidos en sus dominios. Son continuas en estos intervalos y se dice que tienen una discontinuidad en un punto donde ocurre una ruptura.

Comenzamos nuestra investigación de continuidad explorando lo que significa que una función tenga continuidad en un punto. Intuitivamente, una función es continua en un punto particular si no hay ruptura en su gráfico en ese punto.

Continuidad en un punto

Antes de ver una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, consideremos varias funciones que no cumplen con nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continuo en un punto. Luego creamos una lista de condiciones que evitan tales fallas.

Nuestra primera función de interés se muestra en la figura 2.4_1. Vemos que la gráfica de f (x) tiene un agujero en a. De hecho, el valor f (a) no está definida. Como mínimo, para que f (x) sea continua en a, necesitamos la siguiente condición:

i.  f (a) esté definido.

Figura 2.4_1 La función f (x) no es continua en a porque f (a) no está definida.

Sin embargo, como vemos en la Figura 2.4_2, esta condición por sí sola es insuficiente para garantizar la continuidad en el punto a. Aunque el valor  f (a) está definido, la función tiene una brecha en a. En este ejemplo, la brecha existe porque lim_{x → a} f (x) no existe. Debemos agregar otra condición para la continuidad en a, a saber,

ii.  lim_{x → a} f (x) exista.

Figura 2.4_2 La función f (x) no es continua en a porque lim_{x → a} f (x) no existe.

Sin embargo, como vemos en la Figura 2.4_3, estas dos condiciones por sí mismas no garantizan la continuidad en un punto. La función en esta figura satisface nuestras dos primeras condiciones, pero aún no es continua en a. Debemos agregar una tercera condición a nuestra lista:

iii. lim_{x → a} f (x) = f (a).

Figura 2.4_3 La función f (x) no es continua en a porque lim_{x → a} f (x) .≠ f (a).

Ahora ponemos nuestra lista de condiciones juntas y formamos una definición de continuidad en un punto.

DEFINICIÓN 2.4.1. Continuidad de una función en un punto

Una función f (x) es continua en un punto a si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. \(f(a)\) esté definido

2. \(\lim_{x \to a} f(x)\) exista

3. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

Una función es discontinua en un punto a si no puede ser continua en a. ♦

       El siguiente procedimiento se puede utilizar para analizar la continuidad de una función en un punto utilizando la definición anterior.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS: DETERMINAR LA CONTINUIDAD EN UN PUNTO

1. Verifique si f (a) está definido. Si f (a) no está definido, no necesitamos ir más allá. La función no es continua en a. Si se define f (a), continúe con el paso 2.

2. Calcule lim_{x → a} f (x). En algunos casos, es posible que tengamos que hacer esto calculando primero lim_{x → a−} f (x) y lim_{x → a+} f (x). Si lim_{x → a} f (x) no existe (es decir, no es un número real), entonces la función no es continua en a y el problema está resuelto. Si existe lim_{x → a} f (x), continúe con el paso 3.

3. Compare f (a) y lim_{x → a} f (x). Si lim_{x → a} f (x) ≠ f (a), entonces la función no es continua en a. Si lim_{x → a} f (x) = f (a), entonces la función es continua en a. ♦

       Los siguientes tres ejemplos ilustran cómo aplicar esta definición para determinar si una función es continua en un punto dado. Estos ejemplos muestran situaciones en las que cada una de las condiciones para la continuidad en la definición tiene éxito o falla.

EJEMPLO 2.4_1. Determinación de la continuidad en un punto, condición 1

Usando la definición 2.4.1, determine si la función f (x) = (x² − 4) / (x − 2) es continua en x = 2. Justifica la conclusión.

Solución:
Comencemos tratando de calcular f (2). Podemos ver que f (2) = 0/0, que no está definido. Por lo tanto, f (x) = (x² − 4) / (x − 2) es discontinuo en 2 porque f (2) no está definido. La gráfica de f (x) se muestra en la figura 2.4_4.

Figura 2.4_4 La función f (x) es discontinua en 2 porque f (2) no está definida. ♦

EJEMPLO 2.4_2. Determinación de la continuidad en un punto, condición 2

Usando la definición 2.4_1, determine si la función

es continuo en x = 3. Justifica la conclusión.

Solución:
Comencemos tratando de calcular f (3).

Por lo tanto,  f (3) está definida. A continuación, calculamos lim_{x → 3} f (x). Para hacer esto, debemos calcular lim_{x → 3−} f (x)  y  lim_{x → 3+} f (x):

y

Por lo tanto, lim_{x → 3} f (x) no existe. Por lo tanto, f (x) no es continua en 3. La gráfica de f (x) se muestra en la Figura 2.4_5.

Figura 2.4_5 La función f (x) no es continua en 3 porque lim_{x → 3} f (x) no existe. ♦

EJEMPLO 2.4_3. Determinación de la continuidad en un punto, condición 3

Usando la definición, determine si la función

Es continua en x = 0.

Solución:
Primero, observe que

f (0) = 1.

Ahora,

Por último, compare f (0) y lim_{x → 1} f (x). Observamos que

Como se cumplen las tres condiciones en la definición 2.4.1 de continuidad, f (x) es continua en x = 0. ♦

Ejercicio de control 2.4.1

Usando la definición, determine si la función \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{si } x < 1 \\ 2, & \text{si } x = 1 \\ -x + 4, & \text{si } x > 1 \end{cases}\) es continua en \(x = 1\). Si la función no es continua en 1, indique la condición de continuidad en un punto que no se cumple.♦

       Al aplicar la definición de continuidad y los teoremas previamente establecidos sobre la evaluación de límites, podemos establecer el siguiente teorema.

TEOREMA 2.4.1 Continuidad de polinomios y funciones racionales

Los polinomios y las funciones racionales son continuas en cada punto de sus dominios. ♦

Prueba:

Anteriormente, mostramos que si p(x) y q(x) son polinomios, lim_{x → a} p x) = p(a) para cada polinomio p(x) y

siempre que q(a) ≠ 0.

Por lo tanto, los polinomios y las funciones racionales son continuas en sus dominios. ♦

EJEMPLO 2.4_4. Continuidad de una función racional

¿Para qué valores de x es f (x) = (x + 1)/(x − 5) continua?

Solución:
La función racional f (x) = (x + 1)/(x − 5) es continua para cada valor de x excepto x = 5. ♦

Ejercicio de control 2.4.2

¿Para qué valores de \(x\) es \(f(x) = 3x^4 – 4x^2\) continua? ♦

Tipos de discontinuidades

Como hemos visto en los ejemplos 2.4_1 y 2.4_2, las discontinuidades adquieren varias apariencias diferentes. Clasificamos los tipos de discontinuidades que hemos visto hasta ahora como discontinuidades removibles, discontinuidades infinitas o discontinuidades de salto. Intuitivamente, una discontinuidad removible es una discontinuidad para la cual hay un agujero en el gráfico, una discontinuidad de salto es una discontinuidad no infinita para la cual las secciones de la función no se encuentran, y una discontinuidad infinita es una discontinuidad ubicada en una asíntota vertical. La figura 2.4_6 ilustra las diferencias en estos tipos de discontinuidades. Aunque estos términos proporcionan una forma práctica de describir tres tipos comunes de discontinuidades, tenga en cuenta que no todas las discontinuidades encajan perfectamente en estas categorías.

Figura 2.4_6 Las discontinuidades se clasifican en (a) removibles, (b) saltos o (c) infinitas.

Estas tres discontinuidades se definen formalmente de la siguiente manera:

DEFINICIÓN 2.4.2. Tres tipos de discontinuidad

Si f (x) es discontinua en a, entonces

1.  f tiene una discontinuidad removible en a si existe lim_{x → a} f (x). (Nota: cuando afirmamos que lim_{x → a} f (x) existe, queremos decir que lim_{x → a} f (x) = L, donde L es un número real).

2.  f tiene una discontinuidad de salto en a si lim_{x → a−} f (x) y lim_{x → a+} f (x) existen, pero lim_{x → a−} f (x) ≠ lim_{x → a+} f (x). (Nota: cuando afirmamos que lim_{x → a−} f (x) y lim_{x → a+} f (x) existen, queremos decir que ambos tienen un valor real y que ninguno toma los valores ± ∞.)

3.  f tiene una discontinuidad infinita en a si lim_{x → a−} f (x) = ± ∞ o lim_{x → a+} f (x) = ± ∞. ♦

EJEMPLO 2.4_5. Clasificación de una discontinuidad

En el ejemplo 2.4_1, mostramos que

es discontinuo en x = 2. Clasifique esta discontinuidad como removible, salto o infinita.

Solución:
Para clasificar la discontinuidad en 2 debemos evaluar lim_{x → 2} f (x):

Dado que f es discontinuo en 2 y lim_{x → 2} f (x) existe,  f tiene una discontinuidad removible en x = 2.

EJEMPLO 2.4_6. Clasificación de una discontinuidad

En el ejemplo 2.4_2, mostramos que

es discontinuo en x = 3. Clasifique esta discontinuidad como removible, salto o infinita.

Solución:
Anteriormente, mostramos que f es discontinua en 3 porque el lim_{x → 3} f (x) no existe. Sin embargo, dado que lim_{x → 3−} f (x) = – 5 y lim_{x → 3+} f (x) = 4 existen, concluimos que la función tiene una discontinuidad de salto en 3.

EJEMPLO 2.4_7. Clasificación de una discontinuidad

Determine si f (x) = (x + 2)/(x + 1) es continua en −1. Si la función es discontinua en −1, clasifique la discontinuidad como removible, salto o infinita.

Solución:
El valor de la función f (−1) no está definido. Por lo tanto, la función no es continua en −1. Para determinar el tipo de discontinuidad, debemos determinar el límite en −1. Vemos que

Por lo tanto, la función tiene una discontinuidad infinita en −1. ♦

Ejercicio de control 2.4.3

Para \(f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{si } x \ne 1 \\ 3, & \text{si } x = 1 \end{cases}\), determine si \(f\) es continua en 1. Si \(f\) no es continua en 1, clasifique la discontinuidad como removible, de salto o infinita. ♦

Ejercicios resueltos

Continuidad sobre un intervalo

Ahora que hemos explorado el concepto de continuidad en un punto, extendemos esa idea a la continuidad durante un intervalo. A medida que desarrollamos esta idea para diferentes tipos de intervalos, puede ser útil tener en cuenta la idea intuitiva de que una función es continua durante un intervalo si podemos usar un lápiz para rastrear la función entre dos puntos en el intervalo sin levantar el Lápiz del papel. En preparación para definir la continuidad en un intervalo, comenzamos mirando la definición de lo que significa que una función sea continua desde la derecha en un punto y continua desde la izquierda en un punto.

CONTINUIDAD DESDE LA DERECHA Y DESDE LA IZQUIERDA

• Se dice que una función f (x) es continua desde la derecha en a si lim_{x → a+} f (x) = f (a).
• Se dice que una función f (x) es continua desde la izquierda en a si lim_{x → a−} f (x) = f (a). ♦

        Una función es continua durante un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Una función f (x) es continua durante un intervalo cerrado de la forma [a, b] si es continua en cada punto de (a, b) y es continua desde la derecha en a y es continua desde la izquierda en b. Análogamente, una función f (x) es continua durante un intervalo de la forma (a, b] si es continua sobre (a, b) y es continua desde la izquierda en b. La continuidad sobre otros tipos de intervalos se define en un moda similar.

Requerir que lim_{x → a+} f (x) = f (a) y lim_{x → b−} f (x) = f (b) asegura que podamos rastrear la gráfica de la función desde el punto (a, f (a)) hasta el punto (b, f (b)) sin levantar el lápiz. Si, por ejemplo, lim_{x → a+} f (x) ≠ f (a), tendríamos que levantar nuestro lápiz para saltar de f (a) a la gráfica del resto de la función sobre (a, b].

EJEMPLO 2.4_8. Continuidad en un intervalo

Indique los intervalo(s) durante los cuales la función

Es continua.

Solución:
Ya que

es una función racional, es continua en cada punto de su dominio. El dominio de f (x) es el conjunto (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, + ∞). Por lo tanto, f (x) es continua en cada uno de los intervalos (−∞, −2), (−2, 0) y (0, + ∞). ♦

EJEMPLO 2.4_9. Continuidad sobre un intervalo

Indique los intervalo(s) durante los cuales la función

Es continua.

Solución:

De las leyes límite, sabemos que

para todos los valores de a en (−2, 2). También sabemos que

existe y

existe Por lo tanto, f (x) es continua durante el intervalo [−2, 2]. ♦

Ejercicio de control 2.4.4

Indica el/los intervalo(s) en los que la función \(f(x) = \sqrt{x+3}\) es continua. ♦

       El teorema de la función compuesta nos permite ampliar nuestra capacidad para calcular límites. En particular, este teorema en última instancia nos permite demostrar que las funciones trigonométricas son continuas sobre sus dominios.

TEOREMA 2.4.2 Teorema de la función compuesta

Si \(f(x)\) es continua en \(L\) y \(\lim_{x \to a} g(x) = L\), entonces

\[\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) = f(L).\]

♦

       Antes de pasar al ejemplo 2.4_10, recuerde que anteriormente, en la sección sobre leyes de límites, mostramos lim_{x → 0} cosx = 1 = cos (0). En consecuencia, sabemos que f (x) = cosx es continuo en 0. En el ejemplo 2.4_10 vemos cómo combinar este resultado con el teorema de la función compuesta.

EJEMPLO 2.4_10. Límite de una función de coseno compuesto

Evaluar

Solución:
La función dada es un compuesto de cosx  y  x − π/2. Ya que

y cosx es continuo en 0, podemos aplicar el teorema de la función compuesta. Así,

♦

Ejercicio de control 2.4.5.

Evalúa \(\lim_{x\rightarrow\pi}\sin(x-\pi)\). ♦

       La prueba del siguiente teorema utiliza el teorema de la función compuesta, así como la continuidad de f (x) = senx y g(x) = cosx en el punto 0 para mostrar que las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios.

TEOREMA 2.4.3 Continuidad de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios. ♦

Prueba:

Comenzamos demostrando que cosx es continuo en cada número real. Para hacer esto, debemos mostrar que lim_{x → a} cosx = cosa para todos los valores de a.

La prueba de que senx es continua en cada número real es análoga. Debido a que las funciones trigonométricas restantes pueden expresarse en términos de senx y cosx, su continuidad se deriva de la ley de límite de un cociente. ♦

       Como puede ver, el teorema de la función compuesta es invaluable para demostrar la continuidad de las funciones trigonométricas. A medida que continuamos nuestro estudio del cálculo, revisamos este teorema muchas veces.

El teorema del valor intermedio

Las funciones que son continuas en intervalos de la forma [a, b], donde a y b son números reales, exhiben muchas propiedades útiles. A lo largo de nuestro estudio de cálculo, encontraremos muchos teoremas poderosos sobre tales funciones. El primero de estos teoremas es el teorema del valor intermedio.

TEOREMA 2.4.4 El teorema del valor intermedio

Sea f una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Si z es cualquier número real entre f (a) y f (b), entonces hay un número c en [a, b] que satisface f (c) = z en la Figura 2.4_7.

Figura 2.4.7 Hay un número c ∈ [a, b] que satisface f (c) = z. ♦

EJEMPLO 2.4_11. Aplicación del teorema del valor intermedio

Demuestre que f (x) = x − cosx tiene al menos un cero.

Solución:
Dado que f (x) = x − cosx es continua sobre (−∞, + ∞), a su vez, es continua sobre cualquier intervalo cerrado de la forma [a, b]. Si puede encontrar un intervalo [a, b] tal que f (a) y f (b) tengan signos opuestos, puede usar el Teorema del valor intermedio para concluir que debe haber un número real c en (a, b) que satisfaga f (c) = 0. Tenga en cuenta que

y

Usando el teorema del valor intermedio, podemos ver que debe haber un número real c en [0, π / 2] que satisfaga f (c) = 0. Por lo tanto, f (x) = x − cosx tiene al menos un cero. ♦

EJEMPLO 2.4_12. ¿Cuándo puede aplicar el teorema del valor intermedio?

Si f (x) es continua sobre [0, 2], f (0) > 0 y f (2) > 0, ¿podemos usar el Teorema del valor intermedio para concluir que f (x) no tiene ceros en el intervalo [0 , 2]? Explique.

Solución:
No. El teorema del valor intermedio solo nos permite concluir que podemos encontrar un valor entre f (0) y f (2); no nos permite concluir que no podemos encontrar otros valores. Para ver esto más claramente, considere la función f (x) = (x − 1)². Satisface f (0) = 1 > 0, f (2) = 1 > 0 y f (1) = 0. ♦

EJEMPLO 2.4_13. ¿Cuándo puede aplicar el teorema del valor intermedio?

Para f (x) = 1 / x, f (−1) = – 1 < 0  y  f (1) = 1 > 0. ¿Podemos concluir que f (x) tiene un cero en el intervalo [−1, 1]?

Solución:
No. La función no es continua sobre [−1, 1]. El teorema del valor intermedio no se aplica aquí. ♦

Ejercicio de control 2.4.6

Muestra que \(f(x) = x^3 – x^2 – 3x + 1\) tiene un cero en el intervalo \([0, 1]\). ♦