9.8.5 Ecuaciones de coeficientes constantes con funciones de forzamiento continuas por tramos

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Ejercicios propuestos para el capítulo 9.8.5

En los ejercicios 1 a 20, use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial. Donde indicado por C/G , grafique la solución.

21. Resuelve el problema de valor inicial

donde

22. Resuelva el problema de valor inicial dado y encuentre una fórmula que no involucre funciones escalonadas y represente y en cada intervalo de continuidad de f.

SUGERENCIA: necesitará la fórmula

(Vea la sugerencia en (d).)

(Consulte las sugerencias en (b) y (d).)

23. (a) Sea g continua en (α, β) y diferenciable en (α, t₀) y (t₀, β). Suponga que A = limt→t₀₋ g′(t) y B = limt→t₀₊g′(t) existen. Utilice el Teorema del valor medio para demostrar que

(b) Concluya de (a) que g′(t₀) existe y g′ es continua en t₀ si A = B.

(c) Concluya de (a) que si g es diferenciable en (α, β), entonces g′ no puede tener una discontinuidad de salto en (α, β).

24. (a) Sean las constantes a, b y c, con a ≠ 0. Sea f continua por tramos en un intervalo (α, β), con una discontinuidad de un solo salto en un punto t₀ en (α, β) . Suponga que y e y′ son continuas en (α, β) y y′′ en (α, t₀) y (t₀, β). Supongamos también que

ay′′ + by′ + cy = f(t) (A)

en (α, t₀) y ( t₀, β). Muestre que

(b) Utilice (a) y el ejercicio 23(c) para demostrar que (A) no tiene soluciones en ningún intervalo (α, β) que contenga una discontinuidad de salto de f.

25. Suponga que P₀, P₁ y P₂ son continuas y P₀ no tiene ceros en un intervalo abierto (a, b), y que F tiene una discontinuidad de salto en un punto t₀ en (a, b). Demuestre que la ecuación diferencialno tiene soluciones en (a, b).
AYUDA: Generalice el resultado del ejercicio 24 y utilice el ejercicio 23(c).