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9.12.2  LA ECUACIÓN DE ONDA

En esta sección consideramos problemas con valores iniciales y de frontera de la forma

        (9.12.2.1)

donde a es una constante y f y g son funciones dadas de x.

      La ecuación diferencial parcial u_tt = a²u_xx se llama ecuación de onda. Es necesario especificar tanto f como g porque la ecuación de onda es una ecuación de segundo orden en t para cada x fija.

      Esta ecuación y sus generalizaciones

u_tt = a²(u_xx + u_yy)   y  u_tt = a²(u_xx + u_yy + u_zz)

a dos y tres dimensiones espaciales tienen aplicaciones importantes para la propagación de ondas electromagnéticas, sónicas y de agua.

La cuerda vibrante

Motivamos el estudio de la ecuación de onda al considerar su aplicación a las vibraciones de una cuerda, como la cuerda de un violín, fuertemente estirada en equilibrio a lo largo del eje x en el plano xu y atada a los puntos (0, 0) y (L, 0) (Figura 9.12.2.1).

(Figura 9.12.2.1)

      Si se tira de la cuerda en dirección vertical y se suelta en el instante t = 0, oscilará en el plano xu. Sea u(x, t) el desplazamiento del punto de la cuerda por encima (o por debajo) de la abscisa x en el tiempo t.

      Mostraremos que es razonable suponer que u satisface la ecuación de onda bajo las siguientes suposiciones:

1. La densidad de masa (masa por unidad de longitud) ρ de la cuerda es constante en toda la cuerda.
2. La tensión T inducida al estirar con fuerza la cuerda a lo largo del eje x es tan grande que todas las demás fuerzas, como la gravedad y la resistencia del aire, pueden despreciarse.
3. La tensión en cualquier punto de la cuerda actúa a lo largo de la tangente a la cuerda en ese punto, y la magnitud de su componente horizontal es siempre igual a T, la tensión en la cuerda en equilibrio.
4. La pendiente de la cuerda en cada punto sigue siendo lo suficientemente pequeña para que podamos hacer la aproximación

      (9.12.2.2)

      La Figura 9.12.2.2 muestra un segmento de la cuerda desplazada en un tiempo t > 0. (No crea que la figura es necesariamente inconsistente con el Supuesto 4; exageramos la pendiente para mayor claridad).

Figura 9.12.2.2 Un segmento de la cuerda desplazada

Los vectores T₁ y T₂ son las fuerzas debidas a la tensión, actuando a lo largo de las tangentes al segmento en sus extremos. De la segunda ley de movimiento de Newton, T₁ − T₂ es igual a la masa por la aceleración del centro de masa del segmento. Las componentes horizontal y vertical de T₁ − T₂ son

|T₂| cosθ₂ − |T₁| cosθ₁  y   |T₂| senθ₂ − |T₁| senθ₁,

respectivamente. Como

|T₂| cosθ₂ = |T₁| cosθ₁ = T        (9.12.2.3)

por suposición, la fuerza horizontal neta es cero, por lo que no hay aceleración horizontal. Como la velocidad horizontal inicial es cero, no hay movimiento horizontal.

      Aplicando la segunda ley de movimiento de Newton en la dirección vertical se obtiene

        (9.12.2.4)

donde ∆s es la longitud del segmento y es la abscisa del centro de masa; por eso,

Por cálculo, sabemos que

sin embargo, debido a (9.12.2.2), hacemos la aproximación

entonces (9.12.2.4) se convierte en

Por lo tanto

Teniendo presente (9.12.2.3), dividimos por T para obtener

       (9.12.2.5)

Como tanθ₁ = u_x(x, t)  y  tanθ₂ = u_x(x + ∆x, t), (9.12.2.5) es equivalente a

Haciendo ∆x → 0 se obtiene

Lo que reescribimos como u_tt = a²u_xx, con a² = T / ρ.

La solución formal

Como en la Sección 9.12.1, usamos la separación de variables para obtener una definición adecuada para la solución formal de (9.12.2.1). Comenzamos buscando funciones de la forma v(x, t) = X(x)T(t) que no sean idénticamente cero y satisfagan

v_tt = a²v_xx,  v(0, t) = 0,  v(L, t) = 0

para todo (x, t). Desde

v_tt = XT”  y  v_xx = X”T,

v_tt = a²v_xx si y solo si

XT′′ = a²X′′T,

Lo que reescribimos como

Para que esto sea válido para todo (x, t), los dos lados deben ser iguales a la misma constante; de este modo,

que es equivalente a

X′′ + λX = 0

y

T′′ + a²λT = 0.        (9.12.2.6)

Como v(0, t) = X(0)T(t) = 0  y  v(L, t) = X(L)T(t) = 0 y no queremos que T sea idénticamente cero, X( 0) = 0  y  X(L) = 0. Por lo tanto, λ debe ser un valor propio de

X′′ + λX = 0,  X(0) = 0,  X(L) = 0,         (9.12.2.7)

y X debe ser una función propia λ. Del Teorema 9.11.1.2, los valores propios de (9.12.2.7) son λ_n = n²π²/L², con funciones propias asociadas

Sustituyendo λ = n²π²/L² en (9.12.2.6) se obtiene

T′′ + (n²π²a²/L²)T = 0,

que tiene la solución general

donde α_n y β_n son constantes. Ahora, deja

Entonces

entonces

   y   

Por tanto, v_n satisface (9.12.2.1) con f (x) = α_n sennπx/L  y  g(x) = β_n cosnπx/L. Más generalmente, si α₁, α₂, . . . , α_m  y  β₁, β₂,. . . , β_m son constantes y

entonces u_m satisface (9.12.2.1) con

   y 

Esto motiva la siguiente definición.

Definición 9.12.2.1

Si f  y  g son funciones suaves definidas por tramos en [0, L], entonces la solución formal de (9.12.2.1) es

      (9.12.2.8)

donde

   y 

son las series de senos de Fourier de f y g en [0, L]; es decir,

   y      ♦

       Dado que no hay factores que produzcan convergencia en (9.12.2.8) como las exponenciales negativas en t que aparecen en las soluciones formales de los problemas de valores en la frontera inicial para la ecuación del calor, no es obvio que (9.12.2.8) incluso converja para cualquier valor de x y t, por no hablar de que se puede diferenciar término por término para mostrar que u_tt = a²u_xx. Sin embargo, el siguiente teorema garantiza que la serie converge no solo para 0 ≤ x ≤ L  y  t ≥ 0, sino también para −∞ < x < ∞  y  −∞ < t < ∞.

Teorema 9.12.2.1

Si f y g son suaves por partes en [0, L], entonces u en (9.12.2.1) converge para todo (x, t), y se puede escribir como

      (9.12.2.9)  ♦

Prueba:

Sustituyendo A = nπx/L  y  B = nπat/L  en las identidades

   y 

obtenemos

      (9.12.2.10)

y

      (9.12.2.11)

De (9.12.2.10),

      (9.12.2.12)

Como puede demostrarse que una serie de senos de Fourier puede integrarse término a término entre dos límites cualesquiera, (9.12.2.11) implica que

Esto y (9.12.2.12) implican (9.12.2.9), lo que completa la prueba.  ◊

      Como veremos a continuación, si S_g es diferenciable y S_f  es dos veces diferenciable en (−∞, ∞), entonces (9.12.2.9) satisface utt = a²u_xx para todo (x, t). Necesitamos el siguiente teorema para formular condiciones en f y g tales que S_f   y S_g tengan estas propiedades.

Teorema 9.12.2.2

Supongamos que h es diferenciable en [0, L]; es decir, h′(x) existe para 0 < x < L, y las derivadas unilaterales

   y 

ambas existen.

(a) Sea p la extensión periódica impar de h en (−∞, ∞); es decir,

   y  p(x + 2L) = p(x),  −∞ < x < ∞. 

Entonces p es diferenciable en (−∞, ∞) si y solo si

h(0) = h(L) = 0.        (9.12.2.13)

(b) Sea q la extensión periódica par de h a (−∞, ∞); es decir,

   y  q(x + 2L) = q(x),  −∞ < x < ∞.

Entonces q es diferenciable en (−∞, ∞) si y solo si

h′₊(0) = h′₋(L) = 0.        (9.12.2.14)    ♦

Prueba: A lo largo de esta prueba, k denota un número entero. Como f es diferenciable en el intervalo abierto (0, L), tanto p como q son derivables en todo intervalo abierto ((k − 1)L, kL). Por lo tanto, solo necesitamos determinar si p y q son diferenciables en x = kL para cada k.

(a) De la figura 9.12.2.3, p es discontinua en x = 2kL si h(0) ≠ 0 y discontinua en x = (2k −1)L si h(L) ≠ 0. Por lo tanto, p no es derivable en (−∞, ∞) a menos que h(0) = h(L) = 0. De la figura 9.12.2.4, si h(0) = h(L) = 0, entonces

p′(2kL) = h′₊(0)  y  p′((2k − 1)L) = h′₋(L)

para cada k; por lo tanto, p es diferenciable en (−∞, ∞).

Figura 9.12.2.3 La extensión impar de una función que no satisface (9.12.2.13)

Figura 9.12.2.4 La extensión impar de una función que satisface (9.12.2.13)

(b) De la Figura 9.12.2.5,

q′₋(2kL) = −h′₊(0)  y  q′₊(2kL) = h′₊(0),

entonces q es diferenciable en x = 2kL si y solo si h′₊(0) = 0. Además,

q′₋((2k − 1)L) = h′₋(L)  y  q′₊((2k − 1)L) = −h′₋(L),

entonces q es derivable en x = (2k − 1)L si y solo si h′₋(L) = 0. Por lo tanto q es derivable en (−∞, ∞) si y solo si h′₊(0) = h′₋(L) = 0, como en la Figura 9.12.2.6. Esto completa la demostración.    ◊

Figura 9.12.2.5 La extensión par de una función que no satisface (9.12.2.14)

Figura 9.12.2.6 La extensión par de una función que satisface (9.12.2.14)

Teorema 9.12.2.3

La solución formal de (9.12.2.1) es una solución real si g es diferenciable en [0, L] y

g(0) = g(L) = 0,        (9.12.2.15)

mientras que f es dos veces diferenciable en [0, L] y

f (0) = f (L) = 0        (9.12.2.16)

y

f ′′₊(0) = f ′′₋(L) = 0.        (9.12.2.17)    ♦

Prueba: Primero mostramos que S_g es diferenciable y S_f  es dos veces diferenciable en (−∞, ∞). Luego derivaremos (9.12.2.9) dos veces con respecto a x y t y verificaremos que (9.12.2.9) es una solución real de (9.12.2.1).

      Como f y g son continuas en (0, L), el Teorema 9.11.3.2 implica que S_f (x) = f (x) y S_g(x) = g(x) en [0, L]. Por lo tanto, S_f  y S_g son las extensiones periódicas impares de f y g. Dado que f y g son derivables en [0, L], (9.12.2.15), (9.12.2.16), y el Teorema 9.12.2.2(a) implica que S_f   y S_g son derivables en (−∞, ∞).

      Dado que S′_f (x) = f ′(x) en [0, L] (derivadas unilaterales en los extremos), y S′_f  es par (la derivada de una función impar es par), S′_f   es la función par extensión periódica de f ′. Por suposición, f ′ es diferenciable en [0, L]. Debido a (9.12.2.17), el Teorema 9.12.2.2(b) con h = f ′ y q = S′_f   implica que S′′_f existe en (−∞, ∞).

      Ahora podemos diferenciar (9.12.2.9) dos veces con respecto a x y t:

        (9.12.2.18)

        (9.12.2.19)

y

      (9.12.2.20)

La comparación de (9.12.2.18) y (9.12.2.20) muestra que u_tt(x, t) = a²u_xx(x, t) para todo (x, t).

      De (9.12.2.8), u(0, t) = u(L, t) = 0 para todo t. De (9.12.2.9), u(x, 0) = S_f (x) para todo x, y por lo tanto, en particular,

u(x, 0) = f (x),   0 ≤ x < L.

      De (9.12.2.19), u_t(x, 0) = S_g(x) para todo x, y por lo tanto, en particular,

u_t(x, 0) = g(x),   0 ≤ x < L.

Por tanto, u es una solución real de (9.12.2.1). Esto completa la demostración.    ◊

      La ecuación (9.12.2.9) se denomina solución de d’Alembert de (9.12.2.1). Aunque la solución de d’Alembert fue útil para probar el Teorema 9.12.2.3 y es muy útil en un contexto ligeramente diferente (Ejercicios 63 a 68), (9.12.2.8) es preferible para fines computacionales.

Ejemplo ilustrativo 9.12.2.1

Resolver (9.12.2.1) con

f (x) = x(x³ − 2Lx² + L²)  y  g(x) = x(L − x).

Solución:

Le dejamos a usted verificar que f y g satisfacen los supuestos del Teorema 9.12.2.3.

      Del ejercicio 9.11.3.39,

      Del ejercicio 9.11.3.36,

      De (9.12.2.8),

      El Teorema 9.12.1.1 implica que u_xx y u_tt pueden obtenerse por diferenciación término a término, para todo (x, t), de modo que u_tt = a²u_xx para todo (x, t) (Ejercicio 62). Además, el Teorema 9.11.3.2 implica que S_f (x) = f (x) y S_g(x) = g(x) si 0 ≤ x ≤ L. Por lo tanto u(x, 0) = f (x) y u_t(x , 0) = g(x) si 0 ≤ x ≤ L. Por lo tanto, u es una solución real del problema de valor inicial y de frontera.    ♦

OBSERVACIÓN: Al resolver un problema específico de valor inicial y de frontera (9.12.2.1), es conveniente resolver el problema con g ≡ 0, luego con f ≡ 0, y sumar las soluciones para obtener la solución del problema dado. Debido a esto, f ≡ 0 o g ≡ 0 en todos los problemas específicos de valores inicial y de frontera en los ejercicios.

La cuerda pulsada

Si f y g no satisfacen los supuestos del Teorema 9.12.2.3, entonces (9.12.2.8) no es una solución real de (9.12.2.1), de hecho, se puede demostrar que (9.12.2.1) no puede tener una solución real en este caso. Sin embargo, u está definido para todo (x, t), y podemos ver de (9.12.2.18) y (9.12.2.20) que utt(x, t) = a²u_xx(x, t) para todo (x, t) tal que S′′_f (x ± at) y S′_g(x ± at) existen. Además, u todavía puede proporcionar una aproximación útil a la vibración de la cuerda; un experimento de laboratorio puede confirmar o negar esto.

      Ahora consideraremos el problema del valor inicial y de frontera (9.12.2.1) con

      (9.12.2.21)

y g ≡ 0. Dado que f no es diferenciable en x = L/2, no satisface los supuestos del Teorema Teorema 9.12.2.3, por lo que la solución formal de (9.12.2.1) no puede ser una solución real. No obstante, es instructivo investigar las propiedades de la solución formal.

      La gráfica de f se muestra en la figura 9.12.2.7. Intuitivamente, estamos tirando de la cuerda por la mitad de su longitud en el medio. Tienes razón si crees que se trata de un desplazamiento extraordinariamente grande; sin embargo, podríamos eliminar esta objeción multiplicando la función de la figura 9.12.2.7 por una pequeña constante. Como esto simplemente multiplicaría la solución formal por la misma constante, dejaremos f como la hemos definido. Comentarios similares se aplican a los ejercicios.

Figura 9.12.2.7 Gráfica de (9.12.2.21)

      Del Ejercicio 9.11.3.15, la serie de senos de Fourier de f en [0, L] es

que converge a f para todo x en [0, L], por el Teorema 9.11.3.2. Por lo tanto

        (9.12.2.22)

Esta serie converge absolutamente para todo (x, t) por la prueba de comparación, ya que la serie

converge. Además, (9.12.2.22) satisface las condiciones de contorno

u(0, t) = u(L, t) = 0,  t > 0,

y la condición inicial

u(x, 0) = f (x),  0 ≤ x ≤ L.

Sin embargo, no podemos justificar derivar (12.2.22) término por término ni siquiera una vez, y diferenciarlo formalmente dos veces término por término produce una serie que diverge para todo (x, t). (Verificar.). Por lo tanto, usamos la forma de d’Alembert

        (9.12.2.23)

para que estudies sus derivadas. La figura 9.12.2.8 muestra la gráfica de S_f , que es la extensión periódica impar de f. Puede ver en la gráfica que S_f  es diferenciable en  (y S′_f (x) = ±1) si y solo si x no es un múltiplo impar de L/2.

Figura 9.12.2.8 La extensión periódica impar de (9.12.2.21)

Figura 9.12.2.9 Gráficas de y = Sf (x − at) (punteada) y y = Sf (x + at) (sólida), con f como en (9.12.2.21)

      En la Figura 9.12.2.9, las curvas punteadas y sólidas son las gráficas de y = S_f (x − at) y y = S_f (x + at) respectivamente, para un valor fijo de t. A medida que t aumenta, la curva punteada se mueve hacia la derecha y la curva sólida se mueve hacia la izquierda. Por eso decimos que las funciones u₁(x, t) = S_f (x + at) y u₂(x, t) = S_f (x − at) son ondas viajeras. Tenga en cuenta que u₁ satisface la ecuación de onda en (x, t) si x + at no es un múltiplo impar de L/2 y u₂ satisface la ecuación de onda en (x, t) si x − at no es un múltiplo impar de L/2. Por lo tanto (9.12.2.23) (o, de manera equivalente, (9.12.2.22)) satisface u_tt(x, t) = a²u_xx(x, t) = 0 para todo (x, t) tal que ni x − at ni x + at es un múltiplo impar de L/2.

      Concluimos encontrando una fórmula explícita para u(x, t) bajo el supuesto de que

0 ≤ x ≤ L  y  0 ≤ t ≤ L/2a.        (9.12.2.24)

Para ver cómo se puede usar esta fórmula para calcular u(x, t) para 0 ≤ x ≤ L y t arbitrario, lo remitimos al ejercicio 16.

      De la Figura 9.12.2.10,

y

si (x, t) satisface (9.12.2.24).

Figura 9.12.2.10 La parte de la gráfica de la Figura 9.12.2.9 en [0, L]

Figura 9.12.2.11 La gráfica de (9.12.2.23) en [0, L] para un t fijo en (0, L/2a)

      Por lo tanto, de (9.12.2.23),

si (x, t) satisface (9.12.2.24). La figura 9.12.2.11 es la gráfica de esta función en [0, L] para un t fijo en (0, L/2a).

USO DE TECNOLOGÍA

      Aunque la solución formal

de (9.12.2.1) está definida para todo (x, t), estamos interesados principalmente en su comportamiento para 0 ≤ x ≤ L  y  t ≥ 0. De hecho, es suficiente considerar solo valores de t en el intervalo 0 ≤ t < 2L/a, ya que

u(x, t + 2kL/a) = u(x, t)

para todo (x, t) si k es un número entero. (Verificar.)

      Puede crear una animación del movimiento de la cuerda realizando el siguiente experimento numérico.

      Sean m y k números enteros positivos. Sea

por lo tanto, t₀, t₁, . . , t_k son puntos igualmente espaciados en [0, 2L/a]. Para cada j = 0, 1, 2, . . .k, grafique la suma parcial

en [0, L] en función de x. Escriba su programa de modo que cada gráfico permanezca en el monitor durante un breve período de tiempo y luego se borre y se reemplace por el siguiente. Repita este procedimiento para varios valores de m y k.

       Le sugerimos que realice experimentos de este tipo en los ejercicios marcados con C, sin otras instrucciones específicas. (Estos ejercicios se eligieron arbitrariamente; el experimento vale la pena en todos los ejercicios que tratan problemas específicos de valores inicial y de frontera). En algunos de los ejercicios, las soluciones formales tienen otras formas, definidas en los ejercicios 17, 34 y 49; sin embargo, la idea del experimento es la misma.