| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.10. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales | 9.10.4 Sistemas homogéneos con coeficientes constantes I |
Ejercicio propuestos para el Capítulo 9.10.4
En los Ejercicios 1 a 15 encuentre la solución general.
En los Ejercicios 16 a 27 resuelve el problema de valor inicial.
28. Sea A una matriz constante de n × n. Entonces el Teorema 9.10.2.1 implica que las soluciones de
y′ = Ay (A)
están todos definidos en (−∞, ∞).
(a) Use el Teorema 9.10.2.1 para demostrar que la única solución de (A) que puede igualar el vector cero es y ≡ 0.
(b) Suponga que y1 es una solución de (A) y y2 está definida por y2(t) = y1(t − τ), donde τ es un número real arbitrario. Demuestre que y2 también es una solución de (A).
(c) Suponga que y1 y y2 son soluciones de (A) y hay números reales t1 y t2 tales que y1(t1) = y2(t2). Demuestre que y2(t) = y1(t − τ) para todo t, donde τ = t2 − t1. AYUDA: Demuestre que y1(t − τ) y y2(t) son soluciones del mismo problema de valor inicial para (A) y aplique la afirmación de unicidad del Teorema 9.10.2.1.
En los Ejercicios 29 a 34, describa y grafique las trayectorias del sistema dado.
35. Suponga que los valores propios de la matriz A de 2 × 2 son λ = 0 y µ ≠ 0, con los vectores propios correspondientes x1 y x2. Sea L1 la recta que pasa por el origen paralela a x1.
(a) Demuestre que cada punto en L1 es la trayectoria de una solución constante de y′ = Ay.
(b) Demuestre que las trayectorias de soluciones no constantes de y′ = Ay son semirrectas paralelas a x2 y a ambos lados de L1, y que la dirección del movimiento a lo largo de estas trayectorias se aleja de L1 si µ > 0, o hacia L1 si µ < 0.
Las matrices de los sistemas de los Ejercicios 36 a 41 son singulares. Describir y graficar las trayectorias de soluciones no constantes de los sistemas dados.
42. L Sean P = P(t) y Q = Q(t) las poblaciones de dos especies en el tiempo t, y suponga que cada población crecería exponencialmente si la otra no existiera; es decir, en ausencia de competencia,
P′ = aP y Q′ = bQ, (A)
donde a y b son constantes positivas. Una forma de modelar el efecto de la competencia es suponer que la tasa de crecimiento por individuo de cada población se reduce en una cantidad proporcional a la otra población, por lo que (A) se reemplaza por
donde α y β son constantes positivas. (Dado que la población negativa no tiene sentido, este sistema se mantiene solo mientras P y Q sean positivos). Ahora suponga que P(0) = P0 > 0 y Q(0) = Q0 > 0.
(a) Para varias opciones de a, b, α y β, verifique experimentalmente (graficando las trayectorias de (A) en el plano P–Q) que hay una constante ρ > 0 (dependiendo de a, b, α y β) con las siguientes propiedades:
(i) Si Q0 > ρP0, entonces P decrece monótonamente a cero en un tiempo finito, durante el cual Q permanece positivo.
(ii) Si Q0 < ρP0, entonces Q decrece monótonamente hasta cero en un tiempo finito, durante el cual P permanece positivo.
(b) Concluya de (a) que exactamente una de las especies se extingue en un tiempo finito si Q0 ≠ ρP0. Determine experimentalmente qué sucede si Q0 = ρP0.
(c) Confirme sus resultados experimentales y determine γ expresando los valores propios y los vectores propios asociados de
en términos de a, b, α y β, y aplicando los argumentos geométricos desarrollados al final de esta sección.