| 7. Sucesiones y series infinitas | Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.2 |

7.2 SERIES INFINITAS

Objetivos de aprendizaje:

7.2.1. Explicar el significado de la suma de una serie infinita.
7.2.2. Calcular la suma de una serie geométrica.
7.2.3. Evaluar una serie telescópica.

Hemos visto que una sucesión es un conjunto ordenado de términos. Si suma estos términos juntos, obtendrá una serie. En esta sección definimos una serie infinita y mostramos cómo las series están relacionadas con las sucesiones. También definimos lo que significa que una serie converja o diverja. Presentamos uno de los tipos de series más importantes: las series geométricas. Usaremos series geométricas en el próximo capítulo para escribir ciertas funciones como polinomios con un número infinito de términos. Este proceso es importante porque nos permite evaluar, diferenciar e integrar funciones complicadas mediante el uso de polinomios que son más fáciles de manejar. También discutimos la serie armónica, posiblemente la serie divergente más interesante porque simplemente no converge.

Sumas y series

Una serie infinita es una suma de infinitos términos y está escrita en la forma

Pero ¿qué significa esto? No podemos sumar un número infinito de términos de la misma manera que podemos sumar un número finito de términos. En cambio, el valor de una serie infinita se define en términos del límite de sumas parciales. Una suma parcial de una serie infinita es una suma finita de la forma

Para ver cómo usamos sumas parciales para evaluar series infinitas, considere el siguiente ejemplo. Suponga que el petróleo se está filtrando en un lago de manera que 1000 galones ingresen al lago la primera semana. Durante la segunda semana, 500 galones adicionales de petróleo ingresan al lago. La tercera semana, 250 galones más ingresan al lago. Suponga que este patrón continúa de tal manera que cada semana la mitad del petróleo ingresa al lago como lo hizo la semana anterior. Si esto continúa para siempre, ¿qué podemos decir sobre la cantidad de petróleo en el lago? ¿La cantidad de petróleo continuará aumentando arbitrariamente o es posible que se acerque a una cantidad finita? Para responder a esta pregunta, observamos la cantidad de petróleo en el lago después de k semanas. Dejando que S_k denote la cantidad de petróleo en el lago (medido en miles de galones) después de k semanas, vemos que

Al observar este patrón, vemos que la cantidad de petróleo en el lago (en miles de galones) después de k semanas es

Estamos interesados en lo que sucede cuando k → ∞. Simbólicamente, la cantidad de petróleo en el lago cuando k → ∞ viene dada por la serie infinita

Al mismo tiempo, cuando k → ∞, la cantidad de petróleo en el lago se puede calcular evaluando lim_{k → ∞}S_k. Por lo tanto, el comportamiento de las series infinitas se puede determinar observando el comportamiento de la sucesión de sumas parciales {S_k}. Si la sucesión de sumas parciales {S_k} converge, decimos que la serie infinita converge, y su suma está dada por lim_{k → ∞}S_k. Si la sucesión {S_k} diverge, decimos que la serie infinita diverge. Ahora dirigimos nuestra atención a determinar el límite de esta sucesión {S_k}.

Primero, simplificando algunas de estas sumas parciales, vemos que

Al trazar algunos de estos valores en el plano, observe la Figura 7.2.1, parece que la sucesión {S_k} podría estar aproximándose a 2.

(Figura 7.2.1  La gráfica muestra la sucesión de sumas parciales {S_k}. Parece que la sucesión se aproxima al valor 2.)

Busquemos evidencia más convincente. En la siguiente tabla, mostramos los valores de S_k para varios valores de k.

k	5	10	15	20
Sk	1.9375	1.998	1.999939	1.999998

Estos datos proporcionan más evidencia que sugiere que la sucesión {S_k} converge a 2. Más adelante proporcionaremos un argumento analítico que puede usarse para demostrar que lim_{k → ∞}S_k = 2. Por ahora, confiamos en los datos numéricos y gráficos para convencernos de que la sucesión de sumas parciales realmente converge a 2. Dado que esta sucesión de sumas parciales converge a 2, decimos que la serie infinita converge a 2 y escribimos

Volviendo a la pregunta sobre el petróleo en el lago, dado que esta serie infinita converge a 2, concluimos que la cantidad de petróleo en el lago se acercará arbitrariamente a 2000 galones a medida que la cantidad de tiempo sea lo suficientemente grande.

Esta serie es un ejemplo de una serie geométrica. Abordaremos las series geométricas con mayor detalle más adelante en esta sección. Primero, resumimos lo que significa que una serie infinita converja.

Definición 7.2.1. Serie infinita

Una serie infinita es una expresión de la forma

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \mathit{a}_n = \mathit{a}_1 + \mathit{a}_2 + \mathit{a}_3 + \cdots \]

Para cada entero positivo k, la suma

\[ S_k = \sum_{n=1}^{k} \mathit{a}_n = \mathit{a}_1 + \mathit{a}_2 + \mathit{a}_3 + \cdots + \mathit{a}_k \]

se llama la suma parcial k de la serie infinita. Las sumas parciales forman una secuencia {S_k}. Si la sucesión de sumas parciales converge a un número real S, la serie infinita converge. Si podemos establecer la convergencia de una serie a S, llamamos a S la suma de la serie, y escribimos

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \mathit{a}_n = \mathit{S}. \]

Si la sucesión de sumas parciales diverge, tenemos una serie divergente. ◆

Tenga en cuenta que el índice para una serie no necesita comenzar con n = 1 sino que puede comenzar con cualquier otro valor. Por ejemplo, la serie

también se puede escribir como

A menudo es conveniente que el índice comience en 1, por lo que si por alguna razón comienza en un valor diferente, podemos reindexar haciendo un cambio de variables. Por ejemplo, considere la serie

Al introducir la variable m = n − 1, de modo que n = m + 1, podemos reescribir la serie como

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.2_1. Evaluación de límites de secuencias de sumas parciales

Para cada una de las siguientes series, use la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge.

Solución:
a. La secuencia de sumas parciales {S_k} satisface

Tenga en cuenta que cada término agregado es mayor que 1/2. Como resultado, vemos que

De este patrón podemos ver que S_k > k(1/2) para cada entero k. Por lo tanto, {S_k} no tiene límites y, en consecuencia, diverge. Por lo tanto, la serie infinita.diverge.

b. La secuencia de sumas parciales {S_k} satisface

A partir de este patrón podemos ver que la secuencia de sumas parciales es

Como esta secuencia diverge, la serie infinita

Diverge.

c. La secuencia de sumas parciales {S_k} satisface

A partir de este patrón, podemos ver que la suma parcial enésima está dada por la fórmula explícita

Como k/(k + 1) → 1, concluimos que la secuencia de sumas parciales converge y, por lo tanto, la serie infinita converge a 1. Tenemos

♦

Ejercicio de control 7.2.1

Determine si la serie converge o diverge. ♦

La serie armónica

Una serie útil que se debe conocer es la serie armónica, la cual se define como:

Esta serie es interesante porque diverge, pero diverge muy lentamente. Con esto queremos decir que los términos en la sucesión de sumas parciales {S_k} se aproximan al infinito, pero lo hacen muy lentamente. Mostraremos que la serie diverge, pero primero ilustramos el lento crecimiento de los términos en la sucesión {S_k} en la siguiente tabla.

k	10	100	1000	10,000	100,000	1,000,000
Sk	2.92897	5.18738	7.48547	9.78761	12.09015	14.39273

Incluso después de 1,000,000 de términos, la suma parcial sigue siendo relativamente pequeña. De esta tabla, no está claro que esta serie realmente diverja. Sin embargo, podemos mostrar analíticamente que la sucesión de sumas parciales diverge y, por lo tanto, que la serie diverge.

Para demostrar que la sucesión de sumas parciales diverge, basta con evidenciar que no tiene límite. Comenzamos escribiendo las primeras sumas parciales:

Observe que para los últimos dos términos en S₄,

Por lo tanto, concluimos que

Usando la misma idea para S₈, vemos que

A partir de este patrón, vemos que S₁ = 1, S₂ = 1 + 1/2, S₄ > 1 + 2 (1/2) y S₈ > 1 + 3 (1/2).

De manera más general, se puede demostrar que S_2j > 1 + j(1/2) para todo j > 1. Como 1 + j(1/2) → ∞, concluimos que la sucesión {S_k} no está acotada y, por lo tanto, diverge. En la sección anterior, declaramos que las sucesiones convergentes están acotadas. En consecuencia, dado que {S_k} es no acotada, diverge. Por lo tanto, la serie armónica diverge.

Propiedades algebraicas de las series convergentes

Dado que la suma de una serie infinita convergente se define como un límite de una sucesión, las propiedades algebraicas para las series que se enumeran a continuación se derivan directamente de las propiedades algebraicas para las sucesiones.

Teorema 7.2.1.  Propiedades algebraicas de las series convergentes

Sean $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ y $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ dos series convergentes. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: \begin{align*} \text{i.} & \text{ La serie } \sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) \text{ converge y } \sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n. \\ \text{ii.} & \text{ La serie } \sum_{n=1}^{\infty} (a_n – b_n) \text{ converge y } \sum_{n=1}^{\infty} (a_n – b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n – \sum_{n=1}^{\infty} b_n. \\ \text{iii.} & \text{ Para todo número real } c, \text{ la serie } \sum_{n=1}^{\infty} ca_n \text{ converge y } \sum_{n=1}^{\infty} ca_n = c \cdot \sum_{n=1}^{\infty} a_n. \end{align*}

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.2_2. Uso de propiedades algebraicas de series convergentes

Evaluar

Solución:
Mostramos antes que

y que

Dado que ambas series convergen, podemos aplicar las propiedades algebraicas de las series convergentes para evaluar

Usando la regla de la suma, se escribe

Luego, usando la regla del múltiplo constante y las sumas anteriores, podemos concluir que

Ejercicio de control 7.2.2

Evaluar ♦

Series geométricas

Una serie geométrica es cualquier serie que podamos escribir en la forma

Debido a que la razón de cada término en esta serie al término anterior es r, el número r se llama razón de la serie geométrica. Nos referimos a a como el término inicial porque es el primer término de la serie. Por ejemplo, la serie

es una serie geométrica con término inicial a = 1 y razón r = 1/2.

En general, ¿cuándo converge una serie geométrica? Considere la serie geométrica

cuando a > 0. La sucesión de sumas parciales {S_k} viene dada por

Considere el caso cuando r = 1. En ese caso,

Como a > 0, vemos ak → ∞ cuando k → ∞. Por lo tanto, la sucesión de sumas parciales no está acotada y, por lo tanto, diverge. En consecuencia, la serie infinita diverge para r = 1. Cuando r ≠ 1, para encontrar el límite de {S_k}, se multiplica la la serie geométrica por 1 − r. Al hacer esto último, vemos que

Todos los demás términos se cancelan.

Por lo tanto,

De nuestra discusión en la sección anterior, sabemos que la secuencia geométrica r ^k → 0 si |r | < 1 y que r ^k diverge si |r | > 1 o r = ± 1. Por lo tanto, para |r | < 1, S_k → a / (1 − r) y tenemos

Si |r | ≥ 1, S_k diverge, y por lo tanto

---

Definición 7.2.2. Serie geométrica

Una serie geométrica es una serie de la forma.

\[ \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \]

Si |r | < 1, la serie converge y

\[ \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}, \quad \text{para } |r| < 1. \]

Si |r | ≥ 1, la serie diverge. ♦

Las series geométricas a veces aparecen en formas ligeramente diferentes. Por ejemplo, ocasionalmente el índice comienza en un valor distinto de n = 1 o el exponente implica una expresión lineal para n que no sea n − 1. Mientras podamos reescribir la serie en la forma

estamos tratando con una serie geométrica.

Por ejemplo, considere la serie

Para ver que esta es una serie geométrica, escribimos los primeros términos:

Vemos que el término inicial es a = 4/9 y la razón es r = 2/3. Por lo tanto, la serie se puede escribir como

Como r = 2/3  y  −1 < 2/3 < 1, esta serie converge, y su suma viene dada por

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.2_3. Determinación de la convergencia o divergencia de una serie geométrica

Determine si cada una de las siguientes series geométricas converge o diverge, y si converge, encuentre su suma.

Solución:
a. Escribiendo los primeros términos de la serie, tenemos

El término inicial es a = 9 y la razón r = −3/4. Como |r| = 3/4 < 1, la serie converge a

b. Escribiendo esta serie como

Podemos ver que esta es una serie geométrica donde r = e² > 1. Por lo tanto, la serie diverge. ♦

Ejercicio de control 7.2.3

Determine si la serie converge o diverge. Si converge, halle la suma. ♦

Ahora dirigimos nuestra atención a una buena aplicación de series geométricas. Mostramos cómo se pueden usar para escribir números dados con decimales infinitos periódicos como fracciones de enteros.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.2_4. Escribir decimales periódicos como fracciones de enteros

Usa una serie geométrica para escribir

como una fracción de enteros.

Solución:
Ya que

primero escribimos

Ignorando el primer término, 3, el resto de esta expresión es una serie geométrica con un término inicial a = 26/10² y una razón r = 1/10². Por lo tanto, la suma de esta serie es

Así,

Ejercicio de control 7.2.4

Escribacomo una fracción de enteros. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.2_5. Encontrar el área del copo de nieve de Koch

Definimos una secuencia de figuras {F_n} de forma recursiva de la siguiente manera (Figura 7.2_2). Sea F₀ un triángulo equilátero con lados de longitud 1. Para n ≥ 1, sea F_n la curva creada al eliminar el tercio medio de cada lado de F_{n − 1} y reemplazarlo con un triángulo equilátero que apunta hacia afuera. La figura límite cuando n → ∞ se conoce como copo de nieve de Koch.

a. Encuentre la longitud L_n del perímetro de F_n. Evalúe lim_{n → ∞} L_n para encontrar la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch.
b. Encuentre el área A_n de la figura F_n. Evalúe lim_{n → ∞} A_n para encontrar el área del copo de nieve de Koch.

Solución:
Sea N_n el número de lados de la figura F_n. Como F₀ es un triángulo, N₀ = 3. Sea l_n la longitud de cada lado de F_n. Como F₀ es un triángulo equilátero con lados de longitud l₀ = 1, ahora necesitamos determinar N₁ y l₁. Dado que F₁ se crea eliminando el tercio medio de cada lado y reemplazando ese segmento de línea con dos segmentos de línea, para cada lado de F₀, obtenemos cuatro lados en F₁. Por lo tanto, el número de lados para F₁ es

N₁ = 4⋅3. 

Como la longitud de cada uno de estos nuevos segmentos de línea es 1/3 de la longitud de los segmentos de línea en F₀ , la longitud de los segmentos de línea para F₁ viene dada por

Del mismo modo, para F₂, dado que el tercio medio de cada lado de F₁ se elimina y se reemplaza con dos segmentos de línea, el número de lados en F₂ viene dado por

Como la longitud de cada uno de estos lados es 1/3 de la longitud de los lados de F₁, la longitud de cada lado de la figura F₂ viene dada por

De manera más general, dado que F_n se crea al eliminar 1/3 de cada lado de F_{n − 1} y reemplazar ese segmento de línea con dos segmentos de línea de longitud (1/3) l_{n − 1} en forma de triángulo equilátero, sabemos que

Por lo tanto, el número de lados de la figura F_n es

y la longitud de cada lado es

Por lo tanto, para calcular el perímetro de F_n, multiplicamos el número de lados N_n y la longitud de cada lado l_n. Concluimos que el perímetro de F_n viene dado por

De tal manera que, la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch es

b. Dejemos que T_n denote el área de cada nuevo triángulo creado al formar F_n. Para n = 0, T₀ es el área del triángulo equilátero original. De tal modo que, T₀ = A₀ = √3 / 4. Para n ≥ 1, dado que las longitudes de los lados del nuevo triángulo son 1/3 de la longitud de los lados de F_{n − 1}, tenemos

Por lo tanto, T_n = (1/9)ⁿ⋅√3/4. Como se forma un nuevo triángulo en cada lado de F_{n − 1},

Al escribir los primeros términos A₀, A₁, A₃, vemos que

Más generalmente,

Factorizando 4/9 de cada término dentro de los paréntesis internos, reescribimos nuestra expresión como

La expresión

Es una suma geométrica. Como se mostró anteriormente, esta suma satisface

Sustituyendo esto último en la expresión anterior y simplificando, concluimos que

Por lo tanto, el área del copo de nieve de Koch es

Análisis El copo de nieve de Koch es interesante porque tiene un área finita y un perímetro infinito. Aunque al principio esto puede parecer imposible, recuerde que ha visto ejemplos similares anteriormente en el texto. Por ejemplo, considere la región limitada por la curva y = 1/x² y el eje x en el intervalo [1, ∞). Dado que la integral impropia converge, el área de esta región es finita, aunque el perímetro es infinito. ♦

Serie telescópica

Considere la serie

Al usar fracciones parciales, se obtiene

Por lo tanto, la serie se puede escribir como

Al escribir los primeros términos en la sucesión de sumas parciales {S_k}, vemos que

en general

Notamos que los términos intermedios se cancelan mutuamente, dejando solo el primero y el último término. En cierto sentido, la serie se contrae como un catalejo plegable con tubos que desaparecen entre sí para acortar el telescopio. Por esta razón, llamamos a una serie que tiene esta propiedad una serie telescópica. Para esta serie, dado que S_k = 1 − 1/(k + 1) y 1/(k + 1) → 0 cuando k → ∞, la sucesión de sumas parciales converge a 1 y, por lo tanto, la serie converge a 1.

Definición 7.2.3.  Serie telescópica

Una serie telescópica es una serie en la que la mayoría de los términos se cancelan en cada una de las sumas parciales, dejando solo algunos de los primeros términos y algunos de los últimos términos. ♦

Por ejemplo, cualquier serie de la forma

es una serie telescópica Podemos ver esto escribiendo algunas de las sumas parciales. En particular, vemos que

En general, la suma parcial enésima de esta serie es

Dado que la suma parcial enésima se puede simplificar a la diferencia de estos dos términos, la sucesión de sumas parciales {S_k} convergerá si y solo si la secuencia {b_{k + 1}} converge. Además, si la sucesión b_{k + 1} converge a algún número finito B, entonces la sucesión de sumas parciales converge a b₁ − B, y por lo tanto

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo usar estas ideas para analizar una serie telescópica de esta forma.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.2_6. Evaluación de una serie telescópica

Determinar si la serie telescópica

converge o diverge Si converge, encuentre su suma.

Solución:
Al escribir términos en la secuencia de sumas parciales, podemos ver que

En general,

Dado que 1 / (k + 1) → 0 cuando k → ∞ y cosx es una función continua, cos (1 / (k + 1)) → cos (0) = 1. Por lo tanto, concluimos que S_k → cos (1) −1. La serie telescópica converge y la suma viene dada por

Ejercicio de control 7.2.5

Determine si converge o diverge. Si converge, halle la suma. ♦