| 7. Sucesiones y series infinitas | 7.2 Series infinitas |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.2

       Usando la notación sigma, escribe las siguientes expresiones como series infinitas.

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68. 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯

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70. sen1 + sen1/2 + sen1/3 + sen1/4 + ⋯

       Calcule las primeras cuatro sumas parciales S1,…, S4 para la serie que tiene un término an y comienza con n = 1 de la siguiente manera.

71.  an = n
72.  an = 1/n
73.  an = sen(nπ/2)
74.  an = (−1)n

       En los siguientes ejercicios, calcule el término general an de la serie con la suma parcial Sn dada. Si la secuencia de sumas parciales converge, encuentre su límite S.

75.  Sn = 1 − 1/n, n ≥ 2
76.  Sn = n(n + 1)/2, n ≥ 1
77.  Sn = √n, n ≥ 2
78.  Sn = 2 − (n + 2)/2n, n ≥ 1

       Para cada una de las siguientes series, use la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge.

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Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-75.png  Sugerencia: use una descomposición de fracciones parciales como esa para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-76.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-77.png  Sugerencia: siga el razonamiento para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-78.png

       Suponga que Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-79.png que Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-80.pngque a1 = 2 y b1 = −3. Encuentra la suma de la serie indicada.

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       Indique si la serie dada converge y explique por qué.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-85.png  Sugerencia: vuelva a escribir usando un cambio de índice.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-86.png  Sugerencia: Reescriba la serie usando un cambio de índice.

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      Para an de la siguiente manera, escriba la suma como una serie geométrica de la forma Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-91.png Indique si la serie converge y, si lo hace, encuentre el valor de ∑an.

93.  a1 = −1  y  an/an + 1 = −5  para  n ≥ 1.
94.  a1 = 2  y  an/an + 1 = 1/2  para  n ≥ 1.
95.  a1 = 10  y  an/an + 1 = 10  para  n ≥ 1.
96.  a1 = 1/10  y  an/an + 1 = −10  para  n ≥ 1.

       Usa la identidad Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-92.png para expresar la función como una serie geométrica en el término indicado.

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       Evalúe la siguiente serie telescópica o indique si la serie diverge.

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      Exprese la siguiente serie como una suma telescópica y evalúe su enésima suma parcial.

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Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-102.png   (Sugerencia: factoriza el denominador y usa fracciones parciales).

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Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-104.png  (Sugerencia: mire 1/(n2n).)

      Una serie telescópica general es aquella en la que todos los términos, excepto los primeros, se cancelan después de sumar un número determinado de términos sucesivos.

109.  Sea an = f (n) − 2 f (n + 1) + f (n + 2), en la cual f (n) → 0 cuando n → ∞. Encontrar Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-105.png

110.  Sea an = f (n) −  f (n + 1) −  f (n + 2) + f (n + 3), en la cual f (n) → 0 cuando n → ∞. Encontrar Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-105.png

111. Suponga que an = c0 f (n) + c1 f (n + 1) + c2 f (n + 2) + c3 f (n + 3) + c4 f (n + 4), donde f (n) → 0 cuando n → ∞. Encuentre una condición en los coeficientes c0,…, c4 que hagan de esta una serie telescópica general.

112.  Evalúe Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-106.png.   Sugerencia: Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-107.png.

113.  Evaluar Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-108.png

114.  Encuentra una fórmula para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-109.pngdonde N es un número entero positivo.

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