| 7. Sucesiones y series infinitas | 7.2 Series infinitas |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.2
Usando la notación sigma, escribe las siguientes expresiones como series infinitas.
68. 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
70. sen1 + sen1/2 + sen1/3 + sen1/4 + ⋯
Calcule las primeras cuatro sumas parciales S1,…, S4 para la serie que tiene un término an y comienza con n = 1 de la siguiente manera.
71. an = n
72. an = 1/n
73. an = sen(nπ/2)
74. an = (−1)n
En los siguientes ejercicios, calcule el término general an de la serie con la suma parcial Sn dada. Si la secuencia de sumas parciales converge, encuentre su límite S.
75. Sn = 1 − 1/n, n ≥ 2
76. Sn = n(n + 1)/2, n ≥ 1
77. Sn = √n, n ≥ 2
78. Sn = 2 − (n + 2)/2n, n ≥ 1
Para cada una de las siguientes series, use la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge.
Suponga que
Indique si la serie dada converge y explique por qué.
Para an de la siguiente manera, escriba la suma como una serie geométrica de la forma
93. a1 = −1 y an/an + 1 = −5 para n ≥ 1.
94. a1 = 2 y an/an + 1 = 1/2 para n ≥ 1.
95. a1 = 10 y an/an + 1 = 10 para n ≥ 1.
96. a1 = 1/10 y an/an + 1 = −10 para n ≥ 1.
Usa la identidad
Evalúe la siguiente serie telescópica o indique si la serie diverge.
Exprese la siguiente serie como una suma telescópica y evalúe su enésima suma parcial.
Una serie telescópica general es aquella en la que todos los términos, excepto los primeros, se cancelan después de sumar un número determinado de términos sucesivos.
109. Sea an = f (n) − 2 f (n + 1) + f (n + 2), en la cual f (n) → 0 cuando n → ∞. Encontrar
110. Sea an = f (n) − f (n + 1) − f (n + 2) + f (n + 3), en la cual f (n) → 0 cuando n → ∞. Encontrar
111. Suponga que an = c0 f (n) + c1 f (n + 1) + c2 f (n + 2) + c3 f (n + 3) + c4 f (n + 4), donde f (n) → 0 cuando n → ∞. Encuentre una condición en los coeficientes c0,…, c4 que hagan de esta una serie telescópica general.
112. Evalúe
113. Evaluar
114. Encuentra una fórmula para
PEDRO PABLO MONTOYA: ACÁ ESTÁ MI COMENTARIO.