Secciones cónicas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

La hipérbola

 Una hipérbola también se puede definir en términos de distancias. En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos directrices. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas.

DEFINICIÓN 8.5.3. La hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos donde la diferencia entre sus distancias desde dos puntos fijos (los focos) es constante.

 Una gráfica de una hipérbola típica aparece como sigue.

 La deducción de la ecuación de una hipérbola en forma estándar es prácticamente idéntica a la de una elipse. Hay un pequeño inconveniente en la definición: la diferencia entre dos números es siempre positiva. Sea P un punto de la hipérbola con coordenadas (x, y). Entonces, la definición de la hipérbola da |d(P, F₁) − d(P, F₂)| = constante. Para simplificar la deducción, suponga que P está en la rama derecha de la hipérbola, por lo que las barras de valor absoluto se obvian. Si está en la rama izquierda, entonces la resta se invierte. El vértice de la rama derecha tiene coordenadas (a, 0), entonces

Por tanto, esta ecuación es cierta para cualquier punto de la hipérbola. Volviendo a las coordenadas (x, y) para P:

Sumando el segundo radical de ambos lados y elevando ambos lados al cuadrado, se obtiene:

Ahora aísle el radical del lado derecho y vuelva a cuadrarlo, para obtener:

Aísle las variables del lado izquierdo de la ecuación y las constantes del lado derecho:

Finalmente, divida ambos lados por a² − c². Esto proporciona la ecuación:

Ahora definimos b de modo que b² =a² − c². Esto es posible porque c > a. Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola se convierte en

Finalmente, si el centro de la hipérbola se mueve desde el origen al punto (h, k), tenemos la siguiente forma estándar de la hipérbola:

TEOREMA 8.5.3. Ecuación de una hipérbola en forma estándar

Considere la hipérbola con centro (h, k), un eje mayor horizontal y un eje menor vertical. Entonces la ecuación de esta hipérbola es y los focos están ubicados en (h ± c, k), donde c² = a² + b². Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por y = k ± (b/a)(x − h). Las ecuaciones de las directrices son Si el eje mayor es vertical, entonces la ecuación de la hipérbola se convierte en y los focos están ubicados en (h, k ± c), donde c² = a² + b². Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por y = k ± (a/b)(x − h). Las ecuaciones de las directrices son

Si el eje mayor (eje transversal) es horizontal, entonces la hipérbola se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, la hipérbola se denomina vertical. La ecuación de una hipérbola tiene una forma general si tiene la forma Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, donde A y B tienen signos opuestos. Para convertir la ecuación de forma general a estándar, use el método de completar el cuadrado.

Ejemplo ilustrativo 8.5_3. Encontrar la forma estándar de una hipérbola

Ponga la ecuación 9x² −16y² + 36x + 32y − 124 = 0 en forma estándar y grafique la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas?

Solución:

Primero sume 124 unidades en ambos lados de la ecuación:

9x² −16y² + 36x + 32y = 124.

A continuación, agrupe los términos x y los términos y juntos, luego factorice los factores comunes:

Necesitamos determinar la constante que, cuando se agrega dentro de cada paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, toma la mitad del coeficiente de x y eleva al cuadrado. Esto da (4/2)² = 4. En el segundo conjunto de paréntesis, toma la mitad del coeficiente de y y eleva al cuadrado. Esto da (−2/2)² = 1. Agregue estos números dentro de cada par de paréntesis. Dado que el primer conjunto de paréntesis tiene un 9 al frente, en realidad estamos agregando 36 al lado izquierdo. De manera similar, restamos 16 del segundo par de paréntesis. Por lo tanto, la ecuación se convierte en

A continuación, factorice ambos conjuntos de paréntesis y divídalos por 144:

La ecuación está ahora en forma estándar. Al comparar esto con la ecuación

, se obtiene h = −2, k = 1, a = 4 y b = 3. Ésta es una hipérbola horizontal con centro en (−2, 1) y asíntotas dadas por las ecuaciones y = 1 ± (3/4)(x + 2). La gráfica de esta hipérbola aparece en la siguiente figura.

Ejercicio de control 8.5_3

Ponga la ecuación 4y² − 9x² + 16y + 18x − 29 = 0 en forma estándar y grafique la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas?

 Las hipérbolas también tienen interesantes propiedades reflectantes. Un rayo dirigido hacia un foco de una hipérbola es reflejado por un espejo hiperbólico hacia el otro foco. Este concepto se ilustra en la siguiente figura.

Esta propiedad de la hipérbola tiene importantes aplicaciones. Se utiliza en radiogoniometría (ya que la diferencia de señales de dos torres es constante a lo largo de hipérbolas) y en la construcción de espejos dentro de telescopios (para reflejar la luz procedente del espejo parabólico al ocular). Otro hecho interesante sobre las hipérbolas es que para un cometa que ingresa al sistema solar, si la velocidad es lo suficientemente grande como para escapar de la atracción gravitacional del Sol, entonces el camino que toma el cometa al pasar a través del sistema solar es hiperbólico.