| 8.5 Secciones cónicas |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 8.5

Para los siguientes ejercicios, determina la ecuación de la parábola utilizando la información dada:

255. Foco \( (4, 0) \) y directriz \( x = -4 \)
256. Foco \( (0, -3) \) y directriz \( y = 3 \)
257. Foco \( (0, 0.5) \) y directriz \( y = -0.5 \)
258. Foco \( (2, 3) \) y directriz \( x = -2 \)
259. Foco \( (0, 2) \) y directriz \( y = 4 \)
260. Foco \( (-1, 4) \) y directriz \( x = 5 \)
261. Foco \( (-3, 5) \) y directriz \( y = 1 \)
262. Foco \( \left( \frac{5}{2}, -4 \right) \) y directriz \( x = \frac{7}{2} \)

Para los siguientes ejercicios, determina la ecuación de la elipse utilizando la información dada:

263. Extremos del eje mayor en \( (4, 0), (-4, 0) \) y focos ubicados en \( (2, 0), (-2, 0) \)
264. Extremos del eje mayor en \( (0, 5), (0, -5) \) y focos ubicados en \( (0, 3), (0, -3) \)
265. Extremos del eje menor en \( (0, 2), (0, -2) \) y focos ubicados en \( (3, 0), (-3, 0) \)
266. Extremos del eje mayor en \( (-3, 3), (7, 3) \) y focos ubicados en \( (-2, 3), (6, 3) \)
267. Extremos del eje mayor en \( (-3, 5), (-3, -3) \) y focos ubicados en \( (-3, 3), (-3, -1) \)
268. Extremos del eje mayor en \( (0, 0), (0, 4) \) y focos ubicados en \( (5, 2), (-5, 2) \)
269. Focos ubicados en \( (2, 0), (-2, 0) \) y excentricidad de \( \frac{1}{2} \)
270. Focos ubicados en \( (0, -3), (0, 3) \) y excentricidad de \( \frac{3}{4} \)

Para los siguientes ejercicios, determina la ecuación de la hipérbola utilizando la información dada:

271. Vértices ubicados en \( (5, 0), (-5, 0) \) y focos ubicados en \( (6, 0), (-6, 0) \)
272. Vértices ubicados en \( (0, 2), (0, -2) \) y focos ubicados en \( (0, 3), (0, -3) \)
273. Extremos del eje conjugado ubicados en \( (0, 3), (0, -3) \) y focos ubicados en \( (4, 0), (-4, 0) \)
274. Vértices ubicados en \( (0, 1), (6, 1) \) y foco ubicado en \( (8, 1) \)
275. Vértices ubicados en \( (-2, 0), (-2, -4) \) y foco ubicado en \( (-2, -8) \)
276. Extremos del eje conjugado ubicados en \( (3, 2), (3, 4) \) y foco ubicado en \( (3, 7) \)
277. Focos ubicados en \( (-6, 0), (6, 0) \) y excentricidad de 3
278. \( (0, 10), (0, -10) \) y excentricidad de 2.5

Para los siguientes ejercicios, considere las siguientes ecuaciones polares de cónicas. Determine la excentricidad e identifique la cónica:

279. \( r = \frac{-1}{1 + \cos \theta} \)
280. \( r = \frac{8}{2 – \sin \theta} \)
281. \( r = \frac{5}{2 + \sin \theta} \)
282. \( r = \frac{5}{-1 + 2 \sin \theta} \)
283. \( r = \frac{3}{2 – 6 \sin \theta} \)
284. \( r = \frac{3}{-4 + 3 \sin \theta} \)

Para los siguientes ejercicios, encuentra una ecuación polar de la cónica con foco en el origen y excentricidad y directriz como se indica.

285. Directriz: \( x = 4 \); \( e = \frac{1}{5} \)
286. Directriz: \( x = -4 \); \( e = 5 \)
287. Directriz: \( y = 2 \); \( e = 2 \)
288. Directriz: \( y = -2 \); \( e = \frac{1}{2} \)

Para los siguientes ejercicios, dibuja la gráfica de cada cónica.

289. \( r = \frac{1}{1 + \sin \theta} \)
290. \( r = \frac{1}{1 – \cos \theta} \)
291. \( r = \frac{4}{1 + \cos \theta} \)
292. \( r = \frac{10}{5 + 4 \sin \theta} \)
293. \( r = \frac{15}{3 – 2 \cos \theta} \)
294. \( r = \frac{32}{3 + 5 \sin \theta} \)
295. \( r(2 + \sin \theta) = 4 \)
296. \( r = \frac{3}{2 + 6 \sin \theta} \)
297. \( r = \frac{3}{-4 + 2 \sin \theta} \)
298. \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \)
299. \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \)
300. \( 4x^2 + 9y^2 = 36 \)
301. \( 25x^2 – 4y^2 = 100 \)
302. \( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \)
303. \( x^2 = 12y \)
304. \( y^2 = 20x \)
305. \( 12x = 5y^2 \)

Para las siguientes ecuaciones, determina cuál de las secciones cónicas se describe.

306. \( xy = 4 \)
307. \( x^2 + 4xy – 2y^2 – 6 = 0 \)
308. \( x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2 – 6 = 0 \)
309. \( x^2 – xy + y^2 – 2 = 0 \)
310. \( 34x^2 – 24xy + 41y^2 – 25 = 0 \)
311. \( 52x^2 – 72xy + 73y^2 + 40x + 30y – 75 = 0 \)

312. El espejo en un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica, con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola se da como \( x^2 = 4y \). ¿En qué coordenadas debes colocar la bombilla?
313. Un plato satelital tiene la forma de un paraboloide de revolución. El receptor debe ubicarse en el foco. Si el plato mide 12 pies de ancho en su abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde se debe colocar el receptor?
314. Considera el plato satelital del problema anterior. Si el plato mide 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor?
315. Un reflector tiene la forma de un paraboloide de revolución. Una fuente de luz se encuentra a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la abertura del reflector mide 3 pies de ancho, encuentra la profundidad.
316. Las galerías de los susurros son habitaciones diseñadas con techos elípticos. Una persona de pie en un foco puede susurrar y ser escuchada por una persona de pie en el otro foco porque todas las ondas sonoras que alcanzan el techo se reflejan hacia la otra persona. Si una galería de los susurros tiene una longitud de 120 pies y los focos se ubican a 30 pies del centro, encuentra la altura del techo en el centro.
317. Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en una galería de los susurros. Si esa persona está en un foco y el otro foco está a 80 pies de distancia, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería?

Para los siguientes ejercicios, determine la forma de la ecuación polar de la órbita dada la longitud del eje mayor y la excentricidad para las órbitas de los cometas o planetas. La distancia se da en unidades astronómicas (UA):

318. Cometa Halley: longitud del eje mayor \( = 35.88 \), excentricidad \( = 0.967 \)
319. Cometa Hale-Bopp: longitud del eje mayor \( = 525.91 \), excentricidad \( = 0.995 \)
320. Marte: longitud del eje mayor \( = 3.049 \), excentricidad \( = 0.0934 \)
321. Júpiter: longitud del eje mayor \( = 10.408 \), excentricidad \( = 0.0484 \)