| 3. La derivada | Ejercicios propuestos para el Capítulo 3.3 |

3.3 Reglas de diferenciación

Objetivos de aprendizaje:

3.3.1 Indique las reglas de constante, múltiplo constante y potencia.
3.3.2. Aplica las reglas de suma y diferencia para combinar derivadas.
3.3.3 Use la regla del producto para encontrar la derivada de un producto de funciones.
3.3.4 Use la regla del cociente para encontrar la derivada de un cociente de funciones.
3.3.5. Extienda la regla de potencia a funciones con exponentes negativos.
3.3.6. Combina las reglas de diferenciación para encontrar la derivada de una función polinómica o racional.

    Encontrar derivadas de funciones usando la definición de la derivada puede ser un proceso largo y, para ciertas funciones, bastante desafiante. Por ejemplo, anteriormente encontramos que

mediante el uso de un proceso que implicaba multiplicar una expresión por un conjugado antes de evaluar un límite. El proceso que podríamos usar para evaluar

aplicando la definición de derivada, aunque similar, es más complicado. En esta sección, desarrollamos reglas para encontrar derivadas que nos permitan evitar este proceso. Comenzamos con lo básico.

Las reglas básicas de derivación

Las funciones f (x) = c  y  g(x) = xⁿ donde n es un entero positivo son los bloques de construcción a partir de los cuales se construyen todos los polinomios y funciones racionales. Para encontrar derivadas de polinomios y funciones racionales de manera eficiente sin recurrir a la definición por límites de la derivada, primero debemos desarrollar fórmulas para diferenciar estas funciones básicas.

La regla de la constante

Primero aplicamos la definición de límite de la derivada para encontrar la derivada de la función constante, f (x) = c. Para esta función, tanto f (x) = c como f (x + h) = c, entonces obtenemos el siguiente resultado:

La regla para diferenciar funciones constantes se llama regla de la constante. Establece que la derivada de una función constante es cero; es decir, dado que una función constante es una recta horizontal, la pendiente, o la tasa de cambio, de una función constante es 0. Reformulamos esta regla en el siguiente teorema.

Teorema 3.3.1. Regla de la constante

Sea c una constante.Si f (x) = c, entonces f ′(c) = 0. Alternativamente, podemos expresar esta regla como

\[\frac{d}{dx}(c)=0\] ♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_1. Aplicando la regla de la constante

Encuentre la derivada de f (x) = 8.

Solución:

Esta es solo una aplicación de un paso de la regla:

f ′(x) = 0.

♦

Ejercicio de control 3.3.1

Encuentra la derivada de \(g(x) = -3\). ♦

La regla de la potencia

Anteriormente hemos mostrado que 

En este punto, es posible que vea un patrón que comienza a desarrollarse para derivadas de la forma d/dx (xⁿ).

Continuamos nuestro examen de fórmulas derivadas diferenciando funciones de potencia de la forma f (x) = xⁿ donde n es un número entero positivo. Desarrollamos fórmulas para derivadas de este tipo de función en etapas, comenzando con potencias enteras positivas. Antes de establecer y probar la regla general para derivadas de funciones de esta forma, veamos un caso específico, d/dx (x³). A medida que avanzemos en este proceso de derivación, tenga en cuenta que la técnica utilizada en este caso es esencialmente la misma que la técnica utilizada para probar el caso general.

Ejemplo ilustrativo 3.3_2. Diferenciando x³

Encuentra d/dx (x³)).

Solución:

Aplicamos la definición por límites de la derivada:

Expandimos (x + h)³ y observe que el primer término en la expansión de
(x + h)³ es x³  y el segundo término es 3x²h. Los siguientes términos contienen potencias de h que son de grado dos o mayor:

En el próximo paso cancelamos los términos x³, quedando sólo términos que contienen h:

Sacamos el factor común h:

Después de cancelar el factor común h, observamos que el único término que no contiene h es 3x²:

Por último, evaluamos el límite (deje h ir a 0):

♦

Ejercicio de control 3.3.2

Encuentra \(\frac{d}{dx}(x^4)\). ♦

       Como veremos, el procedimiento para encontrar la derivada de la forma general f (x) = xⁿ es muy similar al usado en el ejemplo ilustrativo anterior. Aunque a menudo no es prudente sacar conclusiones generales de ejemplos específicos, observamos que cuando diferenciamos f (x) = x³, el exponente en x se convierte en el coeficiente de x² en la derivada y el exponente en x en la derivada disminuye en 1. El siguiente teorema establece que la regla para derivar una potencia es válida para todas las potencias enteras positivas de x. Eventualmente extenderemos este resultado a potencias enteras negativas. Más adelante, veremos que esta regla también puede extenderse primero a las potencias racionales de x y luego a los potencias arbitrarios de x. Sin embargo, tenga en cuenta que esta regla no se aplica a las funciones en las que una constante se eleva a un exponente variable, como f (x) = 3ᵡ.

TEOREMA 3.3.2. Regla de la potencia

Sea \(n\) un entero positivo. Si \(f(x) = x^n\), entonces

\[f'(x) = nx^{n-1}.\]

Alternativamente, podemos expresar esta regla como

\[\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}.\]

Donde:

• \(f'(x)\) representa la derivada de la función \(f(x)\) con respecto a \(x\).
• \(\frac{d}{dx}\) es el operador de derivación, que indica “la derivada con respecto a \(x\)”.
• \(x^n\) representa \(x\) elevado a la potencia \(n\).
• \(nx^{n-1}\) es el resultado de la derivación, donde el exponente \(n\) se multiplica por \(x\) elevado a la potencia \(n-1\). ♦

Demostración:

Para f (x) = xⁿ donde n es un entero positivo, tenemosYa queobservamos queLuego, divide ambos lados entre h:Así,Finalmente,

♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_3. Aplicando la Regla de la potencia

Encuentre la derivada de la función f (x) = x¹⁰ aplicando la regla de la potencia.

Solución:
Usando la regla de potencia con n = 10, obtenemos

♦

Ejercicio de control 3.3.3

Encuentra la derivada de \(f(x) = x^7\). ♦

Reglas de la suma, la diferencia y los múltiplos constantes de funciones

Encontramos nuestras siguientes reglas de diferenciación al observar derivadas de sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones. Al igual que cuando trabajamos con funciones, existen reglas que facilitan la búsqueda de derivadas de funciones que sumamos, restamos o multiplicamos por una constante. Estas reglas se resumen en el siguiente teorema.

TEOREMA 3.3.3. Reglas para la derivación de la suma, la diferencia y múltiplos constantes

Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones diferenciables y \(k\) una constante. Entonces, cada una de las siguientes ecuaciones se cumple.

Regla de la Suma. La derivada de la suma de una función \(f\) y una función \(g\) es la misma que la suma de la derivada de \(f\) y la derivada de \(g\).

\[\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx}(f(x)) + \frac{d}{dx}(g(x));\]

es decir,

para \(j(x) = f(x) + g(x)\), \(j'(x) = f'(x) + g'(x)\).

Regla de la Diferencia. La derivada de la diferencia de una función \(f\) y una función \(g\) es la misma que la diferencia de la derivada de \(f\) y la derivada de \(g\):

\[\frac{d}{dx}(f(x) – g(x)) = \frac{d}{dx}(f(x)) – \frac{d}{dx}(g(x));\]

es decir,

para \(j(x) = f(x) – g(x)\), \(j'(x) = f'(x) – g'(x)\).

Regla del Múltiplo Constante. La derivada de una constante \(k\) multiplicada por una función \(f\) es la misma que la constante multiplicada por la derivada:

\[\frac{d}{dx}(kf(x)) = k\frac{d}{dx}(f(x));\]

es decir,

para \(j(x) = kf(x)\), \(j'(x) = kf'(x)\). ♦

Demostración:

Aquí sólo proporcionamos la prueba de la regla de la suma. El resto sigue de manera similar.

Para las funciones diferenciables f (x) y g(x), establecemos j(x) = f (x) + g(x). Usando la definición de la derivada por el límite  tenemosAl sustituir j(x + h) = f (x + h) + g(x + h) y j(x) = f (x) + g(x), obtenemosReorganizando y reagrupando los términos, tenemosAhora aplicamos la ley de suma de límites y la definición de la derivada para obtener♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_4. Aplicando la Regla del Múltiplo Constante

Encuentre la derivada de g(x) = 3x² y compárela con la derivada de f (x) = x².

Solución:
Usamos la regla de la potencia directamente:

Como f (x) = x² tiene derivada f ′(x) = 2x, vemos que la derivada de g(x) es 3 veces la derivada de f (x). Esta relación se ilustra en la figura 3.3_1.

Figura 3.3_1 La derivada de g(x) es 3 veces la derivada de f (x). ♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_5. Aplicación de reglas de derivadas básicas

Halle la derivada de f (x) = 2x⁵ + 7.

Solución:
Comenzamos aplicando la regla para diferenciar la suma de dos funciones, seguida de las reglas para diferenciar múltiplos constantes de funciones y la regla para diferenciar potencias. Para comprender mejor la secuencia en la que se aplican las reglas de diferenciación, utilizamos la notación Leibniz en toda la solución:♦

Ejercicio de control 3.3.4

Encuentra la derivada de \(f(x) = 2x^3 – 6x^2 + 3\). ♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_6. Encontrar la ecuación de una recta tangente

Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = x² − 4x + 6 en x = 1.

Solución:
Para encontrar la ecuación de la recta tangente, necesitamos un punto y la pendiente. Para encontrar el punto, calcule

Esto nos da el punto (1, 3). Como la pendiente de la recta tangente en 1 es f ′(1), primero debemos encontrar f ′(x). Usando las propiedades de la derivada, obtenemos

entonces la pendiente de la recta tangente es f ′(1) = – 2. Usando la fórmula punto-pendiente de la recta, vemos que la ecuación de la recta tangente es

Poniendo la ecuación de la recta en forma pendiente-intersección, obtenemos♦

Ejercicio de control 3.3.5

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x) = 3x^2 – 11\) en \(x = 2\). Usa la forma punto-pendiente. ♦

La regla del producto

Ahora que hemos examinado las reglas básicas, podemos comenzar a ver algunas de las reglas más avanzadas. Primero examinamos la derivada del producto de dos funciones. Aunque puede ser tentador suponer que la derivada del producto es el producto de las derivadas, de manera similar a las reglas de suma y diferencia, la regla del producto no sigue este patrón. Para ver por qué no podemos usar este patrón, considere la función f (x) = x², cuya derivada es f ′(x) = 2x y no d(x)/dx ⋅d(x)/dx = 1⋅1 = 1.

TEOREMA 3.3.4. Regla del producto

Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones diferenciables. Entonces

\[\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = \frac{d}{dx}(f(x)) \cdot g(x) + \frac{d}{dx}(g(x)) \cdot f(x).\]

Es decir, si

\[j(x) = f(x)g(x), \text{ entonces } j'(x) = f'(x)g(x) + g'(x)f(x).\]

Esto significa que la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función. ♦

Demostración:

Comenzamos asumiendo que f (x) y g(x) son funciones diferenciables. En un punto clave de esta prueba, debemos utilizar el hecho de que, dado que g(x) es diferenciable, también es continua. En particular, usamos el hecho de que dado que g(x) es continua, lim_{h → 0} g(x + h) = g(x).

Al aplicar la definición por límite de la derivada a j(x) = f (x) g(x), obtenemosAl sumar y restar f (x) g(x + h) en el numerador, tenemosDespués de separar este cociente y aplicar la ley de suma de límites, la derivada se convierte en

Reorganizando, obtenemosAl utilizar la continuidad de g(x), la definición de las derivadas de f (x) y g(x), y al aplicar las leyes límite, llegamos a la regla del producto, ♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_7. Aplicación de la regla del producto a funciones en un punto

Para j(x) = f (x) g(x), use la regla del producto para encontrar j′(2) si f (2) = 3, f ′ (2) = – 4, g(2) = 1, y g′(2) = 6.

Solución:

Como j(x) = f (x) g(x), j′(x) = f ′ (x) g(x) + g ′(x) f (x), y por lo tanto

♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_8. Aplicación de la regla del producto a binomios

Para j(x) = (x² + 2) (3x³ − 5x), encuentre j′(x) aplicando la regla del producto. Verifique el resultado buscando primero el producto y luego diferenciándolo.

Solución:
Si establecemos f (x) = x² + 2 y g(x) = 3x³ − 5x, entonces f ′(x) = 2x y g′(x) = 9x² − 5. Así,

Simplificando, tenemos

Para verificar, vemos que j(x) = 3x⁵ + x³ − 10x y, en consecuencia, j′(x) = 15x⁴ + 3x² − 10. ♦

Ejercicio de control 3.3.6

Usa la regla del producto para obtener la derivada de \(j(x) = 2x^5(4x^2 + x)\). ♦

La regla del cociente

Una vez desarrollada y practicada la regla del producto, ahora consideramos diferenciar los cocientes de funciones. Como vemos en el siguiente teorema, la derivada del cociente no es el cociente de las derivadas; más bien, es la derivada de la función en el numerador multiplicada por la función en el denominador menos la derivada de la función en el denominador multiplicada por la función en el numerador, todo dividido por el cuadrado de la función en el denominador. Para comprender mejor por qué no podemos simplemente tomar el cociente de las derivadas, tenga en cuenta en el siguiente ejemplo que:

\[\frac{d}{dx}(x^2) = 2x, \text{ no } \frac{\frac{d}{dx}(x^3)}{\frac{d}{dx}(x)} = \frac{3x^2}{1} = 3x^2.\]

TEOREMA 3.3.5. La regla del cociente

Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) funciones diferenciables. Entonces

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{\frac{d}{dx}(f(x)) \cdot g(x) – \frac{d}{dx}(g(x)) \cdot f(x)}{(g(x))^2}.\]

Es decir, si

\[j(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \text{ entonces } j'(x) = \frac{f'(x)g(x) – g'(x)f(x)}{(g(x))^2}.\]

Esto significa que la derivada de un cociente de dos funciones es la derivada del numerador multiplicada por el denominador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador. ♦

       La prueba de la regla del cociente es muy similar a la prueba de la regla del producto, por lo que se omite aquí. En cambio, aplicamos esta nueva regla para encontrar derivadas en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ilustrativo 3.3_9. Aplicando la regla del cociente

Usa la regla del cociente para encontrar la derivada de k(x) = 5x²/(4x + 3).

Solución:
Sea f (x) = 5x² y g(x) = 4x + 3. Por lo tanto, f ′(x) = 10x y g′(x) = 4. Sustituyendo en la regla del cociente, tenemos

Simplificando, obtenemos

♦

Ejercicio de control 3.3.7

Encuentra la derivada de \(h(x) = \frac{3x + 1}{4x – 3}\). ♦

       Ahora es posible usar la regla del cociente para extender la regla de la potencia para encontrar derivadas de funciones de la forma xᵏ donde k es un entero negativo.

TEOREMA 3.3.5. Regla de la potencia extendida

Si \(k\) es un entero negativo, entonces

\[\frac{d}{dx}(x^k) = kx^{k-1}.\]

♦

Prueba:

Si k es un entero negativo, podemos establecer n = −k, de modo que n sea un entero positivo con k = −n. Dado que para cada entero positivo n, x⁻ⁿ = 1/xⁿ, ahora podemos aplicar la regla del cociente estableciendo f (x) = 1 y g(x) = xⁿ. En este caso, f ′(x) = 0 y g′(x) = nxⁿ⁻¹. Así,Simplificando, vemos que

Finalmente, observe que dado que k = −n, al sustituir tenemos♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_10. Usando la regla de la potencia extendida

Encontrar

Solución:
Al aplicar la regla de potencia extendida con k = −4, obtenemos

♦

Ejercicio de control 3.3.8

Encuentra la derivada de \(g(x) = \frac{1}{x^7}\) usando la regla de la potencia extendida. ♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_11. Uso de la regla de la potencia extendida y la regla del múltiplo constante

Usa la regla de la potencia extendida y la regla del múltiplo constante para encontrar la derivada de f(x) = 6/x².

Solución:

Puede parecer tentador usar la regla del cociente para encontrar esta derivada, y ciertamente no sería incorrecto hacerlo. Sin embargo, es mucho más fácil diferenciar esta función reescribiéndola primero como f (x) = 6x⁻².

♦

Ejercicio de control 3.3.9

Encuentra la derivada de \(g(x) = \frac{1}{x^7}\) usando la regla de la potencia extendida. ♦

Combinación de reglas de diferenciación

Como hemos visto en los ejemplos de esta sección, rara vez sucede que se nos pida que apliquemos una sola regla de diferenciación para encontrar la derivada de una función determinada. En este punto, al combinar las reglas de diferenciación, podemos encontrar las derivadas de cualquier función polinómica o racional. Más adelante encontraremos combinaciones más complejas de reglas de diferenciación. Una buena regla general para usar cuando se aplican varias reglas es aplicar las reglas al revés del orden en que evaluaríamos la función.

Ejemplo ilustrativo 3.3_12. Combinación de reglas de diferenciación

Para k(x) = 3h(x) + x²g(x), encuentre k′(x).

Solución:

Encontrar esta derivada requiere la regla de la suma, la regla del múltiplo constante y la regla del producto:

♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_13. Extendiendo la Regla del Producto

Para k(x) = f (x) g(x) h(x), exprese k′(x) en términos de f (x), g(x), h(x) y sus derivadas.

Solución:

Podemos pensar en la función k(x) como el producto de la función f (x) g(x) y la función h(x). Es decir, k(x) = (f (x) g(x)) ⋅h(x). Así,

♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_14. Combinando la regla del cociente y la regla del producto

Parahalle h′(x).

Solución:

♦

Ejercicio de control 3.3.10

Encuentra \(\frac{d}{dx}(3f(x) – 2g(x))\). ♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_15.  Determinar dónde una función tiene una tangente horizontal

Determine los valores de x para los cuales f (x) = x³ − 7x² + 8x + 1 tiene una recta tangente horizontal.

Solución:

Para encontrar los valores de x para los cuales f (x) tiene una recta tangente horizontal, debemos resolver f ′(x) = 0. Ya que

debemos resolver (3x − 2) (x − 4) = 0. Así vemos que la función tiene rectas tangentes horizontales en x = 2/3 y x = 4 como se muestra en la siguiente gráfica.

♦

Ejemplo ilustrativo 3.3_16. Encontrar una velocidad

La posición de un objeto en un eje de coordenadas en el tiempo t viene dada por s(t) = t/(t² + 1). ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto?

Solución:
Como la velocidad inicial es v(0) = s′(0), comience por encontrar s′(t) aplicando la regla del cociente:

Después de evaluar, vemos que v(0) = 1.  ♦

Ejercicio de control 3.3.11

Encuentra los valores de \(x\) para los cuales la gráfica de \(f(x) = 4x^2 – 3x + 2\) tiene una recta tangente paralela a la recta \(y = 2x + 3\). ♦