| 7.6 Pruebas de la razón y de la raíz |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.6

Utilice la prueba de razón para determinar si la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge, donde $a_n$ está dado en los siguientes problemas. Indique si la prueba de razón es inconclusa:

317. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \)

318. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^n}{n!} \)

319. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} \)

320. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{10}}{2^n} \)

321. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^3}{(3n)!} \)

322. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3n} (n!)^3}{(3n)!} \)

323. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{n^{2n}} \)

324. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(2n)^n} \)

325. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n} \)

326. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}} \)

327. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n \, n!)^2}{(2n)^{2n}} \)

Use la prueba de la raíz para determinar si \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) converge, donde \( a_n \) es como sigue:

328. \( a_k = \left( \frac{k – 1}{2k + 3} \right)^k \)

329. \( a_k = \left( \frac{2k^2 – 1}{k^2 + 3} \right)^k \)

330. \( a_n = \frac{(\ln n)^{2n}}{n^n} \)

331. \( a_n = \frac{n}{2^n} \)

332. \( a_n = \frac{n}{e^n} \)

333. \( a_k = \frac{k^e}{e^k} \)

334. \( a_k = \frac{\pi^k}{k^\pi} \)

335. \( a_n = \left( \frac{1}{e} + \frac{1}{n} \right)^n \)

336. \( a_k = \frac{1}{(1 + \ln k)^k} \)

       En este ejercicio, n comienza en 2:

337. \( a_n = \frac{(\ln(1 + \ln n))^n}{(\ln n)^n} \)

En los siguientes ejercicios, utilice ya sea la prueba de la razón o la prueba de la raíz según corresponda para determinar si la serie \( \sum_{k=1}^\infty a_k \) con los términos dados \( a_k \) converge, o indique si la prueba es inconclusa:

338. \( a_k = \frac{k!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)} \)

339. \( a_k = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2k}{(2k)!} \)

340. \( a_k = \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdots (3k-2)}{3^k k!} \)

341. \( a_n = \left( 1 – \frac{1}{n} \right)^{n^2} \)

342. \(a_k = \left(\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{2k}\right)^k\) (Sugerencia: Compare \(a_k^{1/k}\) con \(\int_{k}^{2k} \frac{dt}{t}\).) 343. \(a_k = \left(\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \cdots + \frac{1}{3k}\right)^k\)

344. \( a_n = \left( n^{1/n} – 1 \right)^n \)

Utilice la prueba de la razón para determinar si \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) converge, o indique si la prueba de la razón es inconclusa:

345. \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^{n^2}}{2^{n^3}} \)

346. \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n^2}}{n^n n!} \)

Utilice las pruebas de la raíz y de comparación límite para determinar si \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) converge:

347. \( a_n = \frac{1}{x_n^n} \), donde \( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{1}{x_n} \right) \), \( x_1 = 1 \) (Sugerencia: Encuentre el límite de la sucesión \( \{x_n\} \)).

       En los siguientes ejercicios, utiliza una prueba apropiada para determinar si la serie converge:

348. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^3 + n^2 + n + 1}\) 349. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{n^3 + 3n^2 + 3n + 1}\) 350. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{n^3 + (1.1)^n}\) 351. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)^n}{(n+1)^n}\) 352. \(a_n = \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^n\) (Pista: \(\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2} \approx e\).) 353. \(a_k = \frac{1}{2^{\sin^2 k}}\) 354. \(a_k = 2^{-\sin(1/k)}\) 355. \(a_n = \frac{1}{\binom{n+2}{n}}\) donde \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) 356. \(a_k = \frac{1}{\binom{2k}{k}}\) 357. \(a_k = \frac{2^k}{\binom{3k}{k}}\) 358. \(a_k = \left(\frac{k}{k + \ln k}\right)^k\) (Pista: \(a_k = \left(1 + \frac{\ln k}{k}\right)^{-\frac{k}{\ln k}\ln k} \approx e^{-\ln k}\).) 359. \(a_k = \left(\frac{k}{k + \ln k}\right)^{2k}\) (Pista: \(a_k = \left(1 + \frac{\ln k}{k}\right)^{-\frac{k}{\ln k}\ln k^2}\).)

Las siguientes series convergen según el criterio del cociente. Use sumas por partes, \[ \sum_{k=1}^{n} a_k(b_{k+1} – b_k) = [a_{n+1}b_{n+1} – a_1b_1] – \sum_{k=1}^{n} b_{k+1}(a_{k+1} – a_k), \] para encontrar la suma de las series dadas:

360. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k}\) (Pista: Tome \(a_k = k\) y \(b_k = 2^{1-k}\).) 361. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{c^k}\), donde \(c > 1\) (Pista: Tome \(a_k = k\) y \(b_k = \frac{c^{1-k}}{c-1}\).) 362. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}\) 363. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{2^n}\)

       El término k-ésimo de cada una de las siguientes series tiene un factor x^k. Encuentra el rango de x para el cual la prueba de la razón implica que la serie converge:

364. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2}\) 365. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k^2}\) 366. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{3^k}\) 367. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\) 368. ¿Existe un número \(p\) tal que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^p}\) converge? 369. Sea \(0 < r < 1\). ¿Para qué números reales \(p\) converge la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} n^p r^n\)?

370. Suponga que \( \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=p \). ¿Para qué valores de \( p \) debe converger \( \sum_{n=1}^{\infty}2^{n}a_{n} \)?

371. Suponga que \( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| = p \). ¿Para qué valores de \( r > 0 \) se garantiza que \( \sum_{n=1}^\infty r^n a_n \) converge?

372. Suponga que \( \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq \frac{(n+1)^p}{n} \) para todo \( n = 1, 2, \dots \), donde \( p \) es un número real fijo. ¿Para qué valores de \( p \) se garantiza que \( \sum_{n=1}^\infty n! a_n \) converge?

373. ¿Para qué valores de \( r > 0 \), si existen, converge \( \sum_{n=1}^\infty r^n \sqrt{n} \)? (Sugerencia: \( \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=k^2}^{(k+1)^2 – 1} a_n \).)

374. Suponga que \( \left| \frac{a_{n+2}}{a_n} \right| \leq r < 1 \) para todo \( n \). ¿Se puede concluir que \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) converge?

375. Sea \( a_n = 2 – \lfloor n/2 \rfloor \), donde \( \lfloor x \rfloor \) es el mayor entero menor o igual que \( x \). Determine si \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) converge y justifique su respuesta.

Los siguientes ejercicios avanzados utilizan una prueba de razón generalizada para determinar la convergencia de algunas series que surgen en aplicaciones particulares, cuando las pruebas de este capítulo, incluyendo la prueba de la razón y la prueba de la raíz, no son lo suficientemente potentes para determinar su convergencia. La prueba establece que si \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{2n}}{a_n} < \frac{1}{2} \), entonces \( \sum a_n \) converge, mientras que si \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{2n+1}}{a_n} > \frac{1}{2} \), entonces \( \sum a_n \) diverge:

376. Sea \( a_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2^n (n+1)!} \). Explique por qué la prueba de la razón no puede determinar la convergencia de \( \sum_{n=1}^\infty a_n \). Use el hecho de que \( 1 – \frac{1}{4k} \) es creciente en \( k \) para estimar \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{2n}}{a_n} \).

377. Sea \( a_n = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{2}{2+x} \cdots \frac{n}{n+x} = \frac{(n-1)!}{(1+x)(2+x)\cdots(n+x)} \). Demuestre que \( \frac{a_{2n}}{a_n} \leq \frac{e^{-x/2}}{2} \). ¿Para qué \( x > 0 \) la prueba de razón generalizada implica la convergencia de \( \sum_{n=1}^\infty a_n \)? (Sugerencia: Escriba \( 2 \cdot \frac{a_{2n}}{a_n} \) como un producto de \( n \) factores, cada uno menor que \( \frac{1}{1+\frac{x}{2n}} \).)

378. Sea \( a_n = \frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n} \). Demuestre que \( \frac{a_{2n}}{a_n} \to 0 \) cuando \( n \to \infty \).