7.6 Pruebas de la razón y de la raíz
Objetivos de aprendizaje:
7.6.1. Usar la prueba de razón para determinar la convergencia absoluta de una serie.
7.6.2. Usar la prueba raíz para determinar la convergencia absoluta de una serie.
7.6.3. Describir una estrategia para probar la convergencia de una serie dada.
En esta sección, mostramos las últimas dos pruebas de convergencia de series: la prueba de la razón y la prueba de raíz. Estas pruebas son particularmente buenas porque no requieren que encontremos una serie para comparar. La prueba de la razón será especialmente útil en la discusión de series de potencia en el próximo capítulo.
A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección, discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia usar para una serie dada.
Prueba de la razón
Considere una serie
De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que limn → ∞ an = 0 no es una condición suficiente para que la serie converja. No solo necesitamos un an→ 0, sino que necesitamos un an→ 0 lo suficientemente rápido. Por ejemplo, considere la serie
y la serie
Sabemos que 1/n → 0 y 1/n² → 0. Sin embargo, solo la serie
converge.
Las serie
diverge porque los términos en la secuencia {1/n} no se acercan a cero lo suficientemente rápido cuando n → ∞. Aquí presentamos la prueba de la razón, que proporciona una forma de medir qué tan rápido los términos de una serie se acercan a cero.
TEOREMA 7.6_1. Prueba de la razón
Sea
una serie dada con términos distintos de cero. Y sea
i. Si 0 ≤ ρ < 1, entonces la serie dada converge absolutamente.
ii. Si ρ > 1 o ρ = ∞, entonces la serie dada diverge.
iii. Si ρ = 1, la prueba no proporciona ninguna información. ♦
Comprobación: Sea Comenzamos con la prueba de la parte i. En este caso, Para la parte ii. Para la parte iii. mostramos que la prueba no proporciona ninguna información si ρ = 1 al considerar la serie p |
EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.6_1. Usando la prueba de la razón
Para cada una de las siguientes series, use la prueba de la razón para determinar si la serie converge o diverge.
Solución:
a. De la prueba de razón, podemos ver que
Ya que (n + 1)! = (n + 1) ⋅n !,
Para ρ < 1, la serie converge.
b. Podemos ver que
Para ρ > 1, la serie diverge.
c. Ya que
Observamos que
Para ρ < 1, la serie converge. ◊