Los vectores normales y binormales
Hemos visto que la derivada r ‘(t) de una función vectorial es un vector tangente a la curva definida por r (t), y la unidad de vector tangente T (t) puede calcularse dividiendo r ′ (t) por su magnitud. Al estudiar el movimiento en tres dimensiones, otros dos vectores son útiles para describir el movimiento de una partícula a lo largo de un camino en el espacio: el vector normal de la unidad principal y el vector binormal.
DEFINICIÓN. Vector normal y el vector binormalSea C una curva suave tridimensional representada por r sobre un intervalo abierto I. Si T ′ (t) ≠ 0, entonces el vector normal de la unidad principal en t se define como
El vector binormal en t se define como
donde T (t) es el vector tangente unitario. |
Tenga en cuenta que, por definición, el vector binormal es ortogonal tanto al vector tangente unitario como al vector normal. Además, B (t) es siempre un vector unitario. Esto se puede mostrar usando la fórmula para la magnitud de un producto cruz
donde θ es el ángulo entre T (t) y N (t). Como N (t) es la derivada de un vector unitario, la propiedad (vii) de la derivada de una función con valor vectorial nos dice que T (t) y N (t) son ortogonales entre sí, por lo que θ = π / 2 . Además, ambos son vectores unitarios, por lo que su magnitud es 1. Por lo tanto, ∥T (t) ∥∥N (t) ∥senθ = (1) (1) sen (π / 2) = 1 y B (t) es un vector unitario.
El vector normal unitario principal puede ser difícil de calcular porque el vector tangente unitario implica un cociente, y este cociente a menudo tiene una raíz cuadrada en el denominador. En el caso tridimensional, encontrar el producto cruz del vector tangente unitario y el vector normal unitario puede ser aún más engorroso. Afortunadamente, tenemos fórmulas alternativas para encontrar estos dos vectores, y se presentan en el próximo capítulo “Movimiento en el espacio”.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.10_4. Encontrar el vector normal de la unidad principal y el vector binormal
Para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales, encuentre el vector normal de la unidad principal. Luego, si es posible, encuentre el vector binormal.
Solución:
a. Esta función describe una circunferencia.
Para encontrar el vector normal de la unidad principal, primero debemos encontrar la unidad del vector tangente T (t):
A continuación, usamos la ecuación dada en la definición:
Observe que el vector tangente unitario y el vector normal unitario principal son ortogonales entre sí para todos los valores de t:
Además, el vector normal de la unidad principal apunta hacia el centro del círculo desde cada punto de la circunferencia. Dado que r (t) define una curva en dos dimensiones, no podemos calcular el vector binormal.
b. Esta función se ve así:
Para encontrar el vector normal de la unidad principal, primero encontramos el vector tangente unitario T (t):
A continuación, calculamos T ′ (t) y ∥ T ′ (t) ∥:
Por lo tanto, de acuerdo con la segunda ecuación en la definición:
Una vez más, el vector tangente unitario y el vector normal unitario principal son ortogonales entre sí para todos los valores de t:
Por último, dado que r (t) representa una curva tridimensional, podemos calcular el vector binormal utilizando la tercera ecuación dada en el Teorema 10.10.3:
Para cualquier curva suave en tres dimensiones que esté definida por una función de valor vectorial, ahora tenemos fórmulas para el vector de tangente unitario T, el vector normal unitario N y el vector binormal B. El vector normal unitario y el vector binormal forman un plano que es perpendicular a la curva en cualquier punto de la curva, llamado plano normal. Además, estos tres vectores forman un marco de referencia en un espacio tridimensional llamado marco de referencia de Frenet (también llamado marco TNB) (Figura 10.10_2). El plano determinado por los vectores T y N forma el plano osculador de C en cualquier punto P de la curva.
Supongamos que formamos un círculo en el plano osculador de C en el punto P de la curva. Suponga que el círculo tiene la misma curvatura que la curva en el punto P y deje que el círculo tenga un radio r. Luego, la curvatura del círculo viene dada por 1 / r. Llamamos r el radio de curvatura de la curva, y es igual al recíproco de la curvatura. Si este círculo se encuentra en el lado cóncavo de la curva y es tangente a la curva en el punto P, entonces este círculo se llama círculo osculador de C en P, como se muestra en la siguiente figura.
Para encontrar la ecuación de un círculo osculador en dos dimensiones, necesitamos encontrar solo el centro y el radio del círculo.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.10_5. Encontrar la ecuación de un círculo osculador
Encuentre la ecuación del círculo osculador de la hélice definida por la función y = x³ − 3x + 1 en x = 1.
Solución:
La figura 10.10_4 muestra la gráfica de y = x³ − 3x + 1.
Primero, calculemos la curvatura en x = 1:
Esto da κ = 6. Por lo tanto, el radio del círculo osculador está dado por R = 1/κ = 1/6. Luego, calculamos las coordenadas del centro del círculo. Cuando x = 1, la pendiente de la recta tangente es cero. Por lo tanto, el centro del círculo osculador está directamente encima del punto en la gráfica con coordenadas (1, −1). El centro está ubicado en (1, −5/6). La fórmula para un círculo con radio r y centro (h, k) viene dada por (x − h)² + (y − k)² = r². Por lo tanto, la ecuación del círculo osculador es (x − 1)² + (y + 5/6)² = 1/36. La gráfica y su círculo osculador aparecen en la siguiente figura.
