Curvatura
Un tema importante relacionado con la longitud del arco es la curvatura. El concepto de curvatura proporciona una manera de medir cuán bruscamente gira una curva suave. Un círculo tiene una curvatura constante. Cuanto más pequeño es el radio del círculo, mayor es la curvatura.
Piensa en conducir por una carretera. Supongamos que el camino se encuentra en un arco de una gran circunferencia. En este caso, apenas tendría que girar la rueda para mantenerse en el camino. Ahora suponga que el radio es más pequeño. En este caso, deberá girar más bruscamente para mantenerse en el camino. En el caso de una curva que no sea una circunferencia, a menudo es útil primero inscribir una circunferencia en la curva en un punto dado para que sea tangente a la curva en ese punto y “abrace” la curva lo más cerca posible en un vecindad del punto (Figura 10.10_1). La curvatura del gráfico en ese punto se define entonces como la curvatura de la circunferencia inscrita.
Figura 10.10_1 El gráfico representa la curvatura de una función y = f (x). Cuanto más nítido es el giro en el gráfico, mayor es la curvatura y menor es el radio de la circunferencia inscrita.
DEFINICIÓN. CurvaturaSea C una curva suave en el plano o en el espacio dada por r (s), donde s es el parámetro de longitud de arco. La curvatura κ en s es
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La fórmula en la definición de curvatura no es muy útil en términos de cálculo. En particular, recuerde que T (t) representa el vector unitario tangente a una función de valor vectorial dado r (t), y la fórmula para T (t) es
Para usar la fórmula de curvatura, primero es necesario expresar r (t) en términos del parámetro de longitud de arco s, luego encontrar el vector tangente unitario T (s) para la función r (s), luego tomar la derivada de T (s) con respecto a s. Este es un proceso tedioso. Afortunadamente, hay fórmulas equivalentes para la curvatura.
TEOREMA 10.10.3 Fórmulas alternativas para la curvatura♦ Si C es una curva suave dada por r (t), entonces la curvatura κ de C en t está dada por
♦ Si C es la gráfica de una función y = f (x) y existen y ‘ e y‘ ‘, entonces la curvatura κ en el punto (x, y) viene dada por
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♦ Si C es una curva tridimensional, la fórmula para la curvatura es
PruebaLa primera fórmula se sigue directamente de la regla de la cadena:
donde s es la longitud del arco a lo largo de la curva C. Dividiendo ambos lados por ds / dt, y tomando la magnitud de ambos lados da
Como ds / dt = ∥ r ′ (t) ∥, esto proporciona la fórmula para la curvatura κ de una curva C en términos de cualquier parametrización de C:
En el caso de una curva tridimensional, comenzamos con las fórmulas T (t) = (r ′ (t)) / ∥ r ′ (t) ∥ y ds / dt = ∥ r ′ (t) ∥. Por lo tanto, r ‘(t) = (ds / dt) T (t). Podemos tomar la derivada de esta función usando la fórmula del producto escalar:
Usando estas dos últimas ecuaciones obtenemos
Como T (t) × T (t) = 0, esto se reduce a
Como T ‘es paralelo a N y T es ortogonal a N, se deduce que T y T ‘ son ortogonales. Esto significa que ∥T × T ′∥ = ∥T∥∥T ′∥ sen (π / 2) = ∥T ′∥, entonces
Ahora resolvemos esta ecuación para ∥T ′ (t) ∥ y usamos el hecho de que ds / dt = ∥ r ′ (t) ∥:
Luego, dividimos ambos lados entre ∥ r ′ (t) ∥. Esto da
Esto prueba la primera ecuación del Teorema. Para probar la segunda ecuación, comenzamos con el supuesto de que la curva C está definida por la función y = f (x). Entonces, podemos definir r (t) = xi + f (x) j + 0k. Usando la fórmula anterior para la curvatura:
Por lo tanto,
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EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.10_3. Encontrar curvatura
Encuentre la curvatura para cada una de las siguientes curvas en el punto dado:
Solución:
a. Esta función describe una hélice.
La curvatura de la hélice en t = (4π) / 3 se puede encontrar usando la primera ecuación del Teorema 10.10.3. Primero, calcule T (t):
A continuación, calcule T ′ (t):
Por último, aplique la primera fórmula del teorema:
La curvatura de esta hélice es constante en todos los puntos de la hélice.
b. Esta función describe una semicircunferencia:
Para encontrar la curvatura de este gráfico, debemos usar la segunda ecuación del teorema 10.10.3. Primero, calculamos y ‘ e y ‘ ‘:
Luego, aplicamos la tercera ecuación del Teorema 10.140.3:
La curvatura de esta circunferencia es igual al recíproco de su radio. Hay un problema menor con el valor absoluto en la segunda ecuación del Teorema 10.10.3; sin embargo, una mirada más cercana al cálculo revela que el denominador es positivo para cualquier valor de x.