| 10.10 Longitud de arco y curvatura  |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.10

Encuentra la longitud de arco de la curva en el intervalo dado.

102. \( \mathbf{r}(t) = t^2 \mathbf{i} + 14t \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 7 \). Esta porción de la gráfica se muestra aquí:

103. \( \mathbf{r}(t) = t^2 \mathbf{i} + (2t^2 + 1) \mathbf{j} \), \( 1 \leq t \leq 3 \)
104. \( \mathbf{r}(t) = \langle 2\sin t, 5t, 2\cos t \rangle \), \( 0 \leq t \leq \pi \). Esta porción de la gráfica se muestra aquí:

105. \( \mathbf{r}(t) = \langle t^2 + 1, 4t^3 + 3 \rangle \), \( -1 \leq t \leq 0 \)
106. \( \mathbf{r}(t) = \langle e^{-t}\cos t, e^{-t}\sin t \rangle \) sobre el intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). Aquí está la porción de la gráfica en el intervalo indicado:

107. Encuentra la longitud de una vuelta de la hélice dada por \( \mathbf{r}(t) = \frac{1}{2}\cos t \mathbf{i} + \frac{1}{2}\sin t \mathbf{j} + \sqrt{\frac{3}{4}} t \mathbf{k} \).
108. Encuentra la longitud del arco de la función vectorial \( \mathbf{r}(t) = -t \mathbf{i} + 4t \mathbf{j} + 3t \mathbf{k} \) sobre \( [0, 1] \).
109. Una partícula viaja una vez alrededor de un círculo con la ecuación de movimiento \( \mathbf{r}(t) = 3\cos t \mathbf{i} + 3\sin t \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} \). Encuentra la distancia recorrida alrededor del círculo por la partícula.
110. Plantea una integral para encontrar la circunferencia de la elipse con la ecuación \( \mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + 2\sin t \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} \).
111. Encuentra la longitud de la curva \( \mathbf{r}(t) = \langle \sqrt{2t}, e^t, e^{-t} \rangle \) sobre el intervalo \( 0 \leq t \leq 1 \). La gráfica se muestra aquí:

112. Encuentra la longitud de la curva \( \mathbf{r}(t) = \langle 2\sin t, 5t, 2\cos t \rangle \) para \( t \in [-10, 10] \).
113. La función posición para una partícula es \( \mathbf{r}(t) = a\cos(\omega t)\mathbf{i} + b\sin(\omega t)\mathbf{j} \). Encuentra el vector tangente unitario y el vector normal unitario en \( t = 0 \).
114. Dado \( \mathbf{r}(t) = a\cos(\omega t)\mathbf{i} + b\sin(\omega t)\mathbf{j} \), encuentra el vector binormal \( \mathbf{B}(0) \).
115. Dado \( \mathbf{r}(t) = \langle 2e^t, e^t\cos t, e^t\sin t \rangle \), determina el vector tangente \( \mathbf{T}(t) \).
116. Dado \( \mathbf{r}(t) = \langle 2e^t, e^t\cos t, e^t\sin t \rangle \), determina el vector tangente unitario \( \mathbf{T}(t) \) evaluado en \( t = 0 \).
117. Dado \( \mathbf{r}(t) = \langle 2e^t, e^t\cos t, e^t\sin t \rangle \), encuentra el vector normal unitario \( \mathbf{N}(t) \) evaluado en \( t = 0 \), \( \mathbf{N}(0) \).
118. Dado \( \mathbf{r}(t) = \langle 2e^t, e^t\cos t, e^t\sin t \rangle \), encuentra el vector binormal unitario evaluado en \( t = 0 \).
119. Dado \( \mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + t\mathbf{k} \), encuentra el vector tangente unitario \( \mathbf{T}(t) \). La gráfica se muestra aquí:

120. Encuentra el vector tangente unitario \( \mathbf{T}(t) \) y el vector normal unitario \( \mathbf{N}(t) \) en \( t=0 \) para la curva plana \( \mathbf{r}(t) = \langle t^3 – 4t, 5t^2 – 2 \rangle \). La gráfica se muestra aquí:

121. Encuentra el vector tangente unitario \( \mathbf{T}(t) \) para \( \mathbf{r}(t) = 3t\mathbf{i} + 5t^2\mathbf{j} + 2t\mathbf{k} \).
122. Encuentra el vector normal principal a la curva \( \mathbf{r}(t) = \langle 6\cos t, 6\sin t \rangle \) en el punto determinado por \( t = \frac{\pi}{3} \).
123. Encuentra \( \mathbf{T}(t) \) para la curva \( \mathbf{r}(t) = (t^3 – 4t)\mathbf{i} + (5t^2 – 2)\mathbf{j} \).
124. Encuentra \( \mathbf{N}(t) \) para la curva \( \mathbf{r}(t) = (t^3 – 4t)\mathbf{i} + (5t^2 – 2)\mathbf{j} \).
125. Encuentra el vector normal unitario \( \mathbf{N}(t) \) para \( \mathbf{r}(t) = \langle 2\sin t, 5t, 2\cos t \rangle \).
126. Encuentra el vector tangente unitario \( \mathbf{T}(t) \) para \( \mathbf{r}(t) = \langle 2\sin t, 5t, 2\cos t \rangle \).
127. Encuentra la función longitud de arco \( s(t) \) para el segmento de línea dado por \( \mathbf{r}(t) = \langle 3 – 3t, 4t \rangle \). Escribe t como un parámetro de s.
128. Parametriza la hélice \( \mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + t \mathbf{k} \) usando el parámetro de longitud de arco s, desde \( t = 0 \).
129. Parametriza la curva usando el parámetro de longitud de arco s, en el punto en el que \( t = 0 \) para \( \mathbf{r}(t) = e^t\sin t\mathbf{i} + e^t\cos t\mathbf{j} \).
130. Encuentra la curvatura de la curva \( \mathbf{r}(t) = 5\cos t \mathbf{i} + 4\sin t \mathbf{j} \) en \( t = \frac{\pi}{3} \) (Nota: La gráfica es una elipse).

131. Encuentra la coordenada x en la cual la curvatura de la curva \( y = 1/x \) tiene un valor máximo.
132. Encuentra la curvatura de la curva \( \mathbf{r}(t) = 5\cos t \mathbf{i} + 5\sin t \mathbf{j} \). ¿Depende la curvatura del parámetro t?
133. Encuentra la curvatura \( \kappa \) para la curva \( y = x – \frac{1}{4}x^2 \) en el punto \( x = 2 \).
134. Encuentra la curvatura \( \kappa \) para la curva \( y = \frac{1}{3}x^3 \) en el punto \( x = 1 \).
135. Encuentra la curvatura \( \kappa \) de la curva \( \mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + 6t^2\mathbf{j} + 4t\mathbf{k} \). La gráfica se muestra aquí:

136. Encuentra la curvatura de \( \mathbf{r}(t) = \langle 2\sin t, 5t, 2\cos t \rangle \).
137. Encuentra la curvatura de \( \mathbf{r}(t) = \sqrt{2t} \mathbf{i} + e^t \mathbf{j} + e^{-t} \mathbf{k} \) en el punto \( P(0, 1, 1) \).
138. ¿En qué punto la curva \( y = e^x \) tiene curvatura máxima?
139. ¿Qué le sucede a la curvatura cuando \( x \to \infty \) para la curva \( y = e^x \)?
140. Encuentra el punto de curvatura máxima en la curva \( y = \ln x \).
141. Encuentra las ecuaciones del plano normal y el plano osculador de la curva \( \mathbf{r}(t) = \langle 2\sin(3t), t, 2\cos(3t) \rangle \) en el punto \( (0, \pi, -2) \).
142. Encuentra las ecuaciones de los círculos osculadores de la elipse \( 4y^2 + 9x^2 = 36 \) en los puntos \( (2, 0) \) y \( (0, 3) \).
143. Encuentra la ecuación para el plano osculador en el punto \( t = \pi/4 \) en la curva \( \mathbf{r}(t) = \cos(2t) \mathbf{i} + \sin(2t) \mathbf{j} + t \mathbf{k} \).
144. Encuentra el radio de curvatura de \( 6y = x^3 \) en el punto \( (2, \frac{4}{3}) \).
145. Encuentra la curvatura en cada punto \( (x, y) \) en la hipérbola \( \mathbf{r}(t) = \langle a\cosh(t), b\sinh(t) \rangle \).
146. Calcula la curvatura de la hélice circular \( \mathbf{r}(t) = r\sin(t) \mathbf{i} + r\cos(t) \mathbf{j} + t \mathbf{k} \).
147. Encuentra el radio de curvatura de \( y = \ln(x + 1) \) en el punto \( (2, \ln 3) \).
148. Encuentra el radio de curvatura de la hipérbola \( xy = 1 \) en el punto \( (1, 1) \).

Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por \( \mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} \). Resuelve los siguientes problemas.

149. Encuentra la longitud de la curva sobre el intervalo \( [0, 2] \).
150. Encuentra la curvatura de la curva plana en \( t = 0, 1, 2 \).
151. Describe la curvatura cuando t aumenta de \( t = 0 \) a \( t = 2 \).

La superficie de una taza grande se forma al rotar la gráfica de la función \( y = 0.25x^{1.6} \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 5 \) alrededor del eje y (medido en centímetros).

152. [T] Utiliza tecnología para graficar la superficie.
153. Encuentra la curvatura \( \kappa \) de la curva generadora como una función de x.
154. [T] Utiliza tecnología para graficar la función de curvatura.