La regla de L’Hôpital

Tasas de crecimiento de funciones

Suponga que las funciones f y g se aproximan al infinito cuando x → ∞. Aunque los valores de ambas funciones se vuelven arbitrariamente grandes a medida que los valores de x se vuelven lo suficientemente grandes, a veces una función crece más rápidamente que la otra. Por ejemplo, las funciones polinomiales f (x) = x²  y  g (x) = x³ ambas tienden al infinito cuando x → ∞. Sin embargo, como se muestra en la siguiente tabla, los valores de x³ están creciendo mucho más rápido que los valores de x².

x	10	100	1000	10,000
f (x) = x2	100	10,000	1,000,000	100,000,000
g (x) = x3	1000	1,000,000	1,000,000,000	1,000,000,000,000

Tabla 4.7  Comparación de las tasas de crecimiento de x²  y x³

De hecho,

Como resultado, decimos que x³ está creciendo más rápidamente que x² cuando x → ∞.

Por otro lado, para f (x) = x²  y  g (x) = 3x² + 4x + 1, aunque los valores de g (x) son siempre mayores que los valores de f (x) para x > 0, cada valor de g (x) es aproximadamente tres veces el valor correspondiente de f (x) cuando x → ∞, como se muestra en la siguiente tabla.

De hecho,

x	10	100	1000	10,000
f (x) = x2	100	10,000	1,000,000	100,000,000
g (x) = 3x2 + 4x + 1	341	30,401	3,004,001	300,040,001

Tabla 4.8   Comparación de las tasas de crecimiento de x²  y  3x² + 4x + 1

En este caso, decimos que x²  y  3x² + 4x + 1 están creciendo a la misma tasa cuando x → ∞.

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Más generalmente, suponga que f y g son dos funciones que se aproximan al infinito cuando x → ∞. Decimos que g crece más rápidamente que f como x → ∞ si

Por otro lado, si existe una constante M ≠ 0 tal que

decimos que f y g crecen a la misma razón cuando x → ∞.

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