La regla de L’Hôpital

Tasas de crecimiento de funciones

Suponga que las funciones f y g se aproximan al infinito cuando x → ∞. Aunque los valores de ambas funciones se vuelven arbitrariamente grandes a medida que los valores de x se vuelven lo suficientemente grandes, a veces una función crece más rápidamente que la otra. Por ejemplo, las funciones polinomiales f (x) = x2  y  g (x) = x3 ambas tienden al infinito cuando x → ∞. Sin embargo, como se muestra en la siguiente tabla, los valores de x3 están creciendo mucho más rápido que los valores de x2.

x10100100010,000
f (x) = x2 10010,0001,000,000100,000,000
g (x) = x3 10001,000,0001,000,000,0001,000,000,000,000

Tabla 4.7  Comparación de las tasas de crecimiento de x2  y x3

De hecho,

Como resultado, decimos que x3 está creciendo más rápidamente que x2 cuando x → ∞.

Por otro lado, para f (x) = x2  y  g (x) = 3x2 + 4x + 1, aunque los valores de g (x) son siempre mayores que los valores de f (x) para x > 0, cada valor de g (x) es aproximadamente tres veces el valor correspondiente de f (x) cuando x → ∞, como se muestra en la siguiente tabla.

De hecho,

x 10 100 1000 10,000
f (x) = x2 100 10,000 1,000,000 100,000,000
g (x) = 3x2 + 4x + 1 341 30,401 3,004,001 300,040,001

Tabla 4.8   Comparación de las tasas de crecimiento de x2  y  3x2 + 4x + 1

En este caso, decimos que x2  y  3x2 + 4x + 1 están creciendo a la misma tasa cuando x → ∞.


Más generalmente, suponga que f y g son dos funciones que se aproximan al infinito cuando x → ∞. Decimos que g crece más rápidamente que f como x → ∞ si

Por otro lado, si existe una constante M ≠ 0 tal que

decimos que f y g crecen a la misma razón cuando x → ∞.

Ejercicios resueltos

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