| 4.8 La regla de L’Hôpital |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.8 

       Para los siguientes ejercicios, evalúe el límite:

  1. Evaluar el límite \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} \).
  2. Evaluar el límite \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^k} \).
  3. Evaluar el límite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^k} \).
  4. Evaluar el límite \( \lim_{x \to a} \frac{x-a}{x^2 – a^2} \), \( a \neq 0 \).
  5. Evaluar el límite \( \lim_{x \to a} \frac{x-a}{x^3 – a^3} \), \( a \neq 0 \).
  6. Evaluar el límite \( \lim_{x \to a} \frac{x-a}{x^n – a^n} \), \( a \neq 0 \).

     Para los siguientes ejercicios, determine si puede aplicar la regla de L’Hôpital directamente. Explique por qué sí o por qué no. Luego, indique si hay alguna manera de alterar el límite para poder aplicar la regla de L’Hôpital:

  1. \( \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x \)
  2. \( \lim_{x \to \infty} x^{1/x} \)
  3. \( \lim_{x \to 0} x^{2/x} \)
  4. \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1/x} \)
  5. \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} \)

     Para los siguientes ejercicios, evalúe los límites utilizando la regla de L’Hôpital o métodos aprendidos previamente:

  1. \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} \)
  2. \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x + 3} \)
  3. \( \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{-2} – 1}{x} \)
  4. \( \lim_{x \to \pi/2} \frac{\cos x}{\frac{\pi}{2} – x} \)
  5. \( \lim_{x \to \pi} \frac{x – \pi}{\sin x} \)
  6. \( \lim_{x \to 1} \frac{x – 1}{\sin x} \)
  7. \( \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^n – 1}{x} \)
  8. \( \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^n – 1 – nx}{x^2} \)
  9. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x – \tan x}{x^3} \)
  10. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}{x} \)
  11. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – x – 1}{x^2} \)
  12. \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan x}{\sqrt{x}} \)
  1. \( \lim_{x \to 1} \frac{x – 1}{\ln x} \)
  2. \( \lim_{x \to 0} (x + 1)^{1/x} \)
  3. \( \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – \sqrt[3]{x}}{x – 1} \)
  4. \( \lim_{x \to 0^+} x^{2x} \)
  5. \( \lim_{x \to \infty} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \)
  6. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x – x}{x^2} \)
  7. \( \lim_{x \to 0^+} x \ln (x^4) \)
  8. \( \lim_{x \to \infty} (x – e^x) \)
  9. \( \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \)
  10. \( \lim_{x \to 0} \frac{3^x – 2^x}{x} \)
  1. \( \lim_{x \to 0} \frac{1+1/x}{1-1/x} \)
  2. \( \lim_{x \to \pi/4} (1 – \tan x) \cot x \)
  3. \( \lim_{x \to \infty} x e^{1/x} \)
  4. \( \lim_{x \to 0^+} x^{1/\cos x} \)
  5. \( \lim_{x \to 0^+} x^{1/x} \)
  6. \( \lim_{x \to 0^-} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x \)
  7. \( \lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x \)

      Para los siguientes ejercicios, use una calculadora para graficar la función y estimar el valor del límite, luego use la regla de L’Hôpital para encontrar el límite directamente:

  1. [T] \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} \)
  2. [T] \( \lim_{x \to 0} x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \)
  3. [T] \( \lim_{x \to 1} \frac{x – 1}{1 – \cos(\pi x)} \)
  4. [T] \( \lim_{x \to 1} \frac{e^{(x-1)} – 1}{x – 1} \)
  5. [T] \( \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2}{\ln x} \)
  6. [T] \( \lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{\sin x} \)
  7. [T] \( \lim_{x \to 0} \left(\csc x – \frac{1}{x}\right) \)
  8. [T] \( \lim_{x \to 0^+} \tan(x^x) \)
  9. [T] \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\sin x} \)
  10. [T] \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – e^{-x}}{x} \)
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