| 3. La derivada | Ejercicios propuestos para el Capítulo 3.6 |

3.6 La regla de la cadena

Objetivos de aprendizaje:

3.6.1. Indique la regla de la cadena para la composición de dos funciones.
3.6.2. Aplica la regla de la cadena junto con la regla de la potencia.
3.6.3. Aplique la regla de la cadena y las reglas del producto / cociente correctamente en combinación cuando ambas sean necesarias.
3.6.4. Reconocer la regla de la cadena para una composición de tres o más funciones.
3.6.5. Describa la prueba de la regla de la cadena.

    Hemos visto las técnicas para diferenciar funciones básicas (xⁿ, senx, cosx, etc.) así como sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos constantes de estas funciones. Sin embargo, estas técnicas no nos permiten diferenciar composiciones de funciones, como h(x) = sen(x³) o k(x) = √(3x² + 1). En esta sección, estudiamos la regla para encontrar la derivada de la composición de dos o más funciones.

Deduciendo la regla de la cadena

Cuando tenemos una función que es una composición de dos o más funciones, podríamos usar todas las técnicas que ya hemos aprendido para diferenciarla. Sin embargo, usar todas esas técnicas para dividir una función en partes más simples que podamos diferenciar puede volverse engorroso. En su lugar, usamos la regla de la cadena, que establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función externa evaluada en la función interna multiplicada por la derivada de la función interna.

Para poner esta regla en contexto, veamos un ejemplo: h(x) = sen(x³). Podemos pensar en la derivada de esta función con respecto a x como la tasa de cambio de sen(x³) en relación con el cambio en x. En consecuencia, queremos saber cómo cambia sen(x³) a medida que x cambia. Podemos pensar en este evento como una reacción en cadena: a medida que x cambia, x³ cambia, lo que conduce a un cambio en sen(x³). Esta reacción en cadena nos da pistas sobre lo que implica calcular la derivada de sen(x³). En primer lugar, un cambio en x que fuerza un cambio en x³ sugiere que de alguna manera está involucrada la derivada de x³. Además, el cambio en x³ forzando un cambio en sen(x³) sugiere que la derivada de sen(u) con respecto a u, donde u = x³, también es parte de la derivada final.

Podemos echar un vistazo más formal a la derivada de h(x) = sen(x³) estableciendo el límite que nos daría la derivada en un valor específico de a en el dominio de h(x) = sen(x³) .

Esta expresión no parece particularmente útil; sin embargo, podemos modificarlo multiplicando y dividiendo por la expresión x³ − a³ para obtener

De la definición de la derivada, podemos ver que el segundo factor es la derivada de x³ en x = a. Es decir,

Sin embargo, podría ser un poco más difícil reconocer que el primer término también es una derivada. Podemos ver esto dejando u = x³ y observando que cuando x → a, u → u³:

Esto es,

En otras palabras, si h(x) = sen(x³), entonces h′(x) = cos(x³) ⋅3x². Por lo tanto, si pensamos en h(x) = sen(x³) como la composición (f ∘ g) (x) = f (g(x)) donde f (x) = senx y g(x) = x³, entonces la derivada de h(x) = sen(x³) es el producto de la derivada de g(x) = x³ y la derivada de la función f (x) = senx evaluada en la función g(x) = x³. En este punto, anticipamos que para h(x) = sen(g(x)), es bastante probable que h′(x) = cos (g(x)) g(x). Como determinamos anteriormente, este es el caso de h(x) = sen(x³).

Ahora que hemos estudiado un caso especial de la regla de la cadena, establecemos el caso general y luego aplicamos esta forma general a otras funciones compuestas. Se proporciona una prueba informal al final de la sección.

REGLA 3.6_1: LA REGLA DE CADENA

Sean \(f\) y \(g\) funciones. Para toda \(x\) en el dominio de \(g\) para la cual \(g\) es diferenciable en \(x\) y \(f\) es diferenciable en \(g(x)\), la derivada de la función compuesta

\[h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))\]

está dada por

\[h'(x) = f'(g(x))g'(x).\]

Alternativamente, si \(y\) es una función de \(u\), y \(u\) es una función de \(x\), entonces

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.\]

♦

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: APLICACIÓN DE LA REGLA DE CADENA

1. Para diferenciar h(x) = f (g(x)), comience por identificar f (x) y g(x).
2. Encuentre f ′(x) y evalúe en g(x) para obtener f ′(g(x)).
3. Encuentre g′(x).
4. Escriba h′(x) =f ′(g(x)) ⋅g′(x).

Nota: Al aplicar la regla de la cadena a la composición de dos o más funciones, tenga en cuenta que trabajamos desde la función externa hacia adentro. También es útil recordar que la derivada de la composición de dos funciones puede considerarse como que tiene dos partes; la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes; y así. Además, recuerde que nunca evaluamos una derivada en una derivada. ♦

Las reglas de la cadena y de la potencia combinadas

Ahora podemos aplicar la regla de la cadena a funciones compuestas, pero tenga en cuenta que a menudo necesitamos usarla con otras reglas. Por ejemplo, para encontrar derivadas de funciones de la forma h(x) = (g(x))ⁿ, necesitamos usar la regla de la cadena combinada con la regla de la potencia. Para hacerlo, podemos pensar en h(x)= (g(x))ⁿ como f(g(x)) donde f (x) = xⁿ. Entonces f ′(x) = nxⁿ⁻ ¹. Por lo tanto, f ′(g(x))) = n(g(x))ⁿ⁻ ¹. Esto nos lleva a la derivada de una función potencia usando la regla de la cadena,

\[h'(x) = n(g(x))^{n-1}g'(x)\]

REGLA 3.6_2: REGLA DE la potencia PARA LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Para todos los valores de \(x\) para los cuales la derivada está definida, si

\[h(x) = (g(x))^n.\]

Entonces

\[h'(x) = n(g(x))^{n-1}g'(x).\]

♦

Ejemplo ilustrativo 3.6_1. Usando las reglas la cadena y de la potencia

Encuentre la derivada de h(x) = 1/(3x² + 1)².

Solución:

Primero, reescribe h(x) = 1/(3x² + 1)² = (3x² + 1)⁻².

Aplicando la regla de la potencia con g(x) = 3x² + 1, tenemos

Reescribir de nuevo a la forma original nos da

♦

Ejercicio de control 3.6.1

Encuentra la derivada de \(h(x) = (2x^3 + 2x – 1)^4\). ♦

Ejemplo ilustrativo 3.6_2. Uso de las reglas de la cadena y y de la potencia con una función trigonométrica

Encuentre la derivada de h(x) = sen³x.

Solución:

Primero recuerde que sen³x = (senx)³, por lo que podemos reescribir h(x) = sen³x como h(x) = (senx)³.
Aplicando la regla de la potencia con g(x) = senx, obtenemos

♦

Ejemplo ilustrativo 3.6_3. Encontrar la ecuación de una recta tangente

Encuentre la ecuación de una recta tangente a la gráfica de h(x) = 1/(3x − 5)²  en x = 2.

Solución:

Debido a que estamos encontrando la ecuación de una recta, necesitamos un punto. La coordenada x del punto es 2. Para encontrar la coordenada y, sustituye 2 en h(x). Como h(2) = 1/(3(2) − 5)² = 1, el punto es (2, 1).
Para la pendiente, necesitamos h′(2). Para encontrar h′(x), primero reescribimos h(x) = (3x − 5)⁻² y aplicamos la regla de la potencia para obtener

Al sustituir, tenemos h′(2) = – 6(3(2) −5)⁻³ = −6. Por lo tanto, la recta tiene la ecuación y − 1 = −6(x − 2). Reescribiendo, la ecuación de la recta es y = −6x + 13. ♦

Combinando la regla de la cadena con otras reglas

Ahora que podemos combinar la regla de la cadena y la regla de la potencia, examinamos cómo combinar la regla de la cadena con las otras reglas que hemos aprendido. En particular, podemos usarlo con las fórmulas para las derivadas de funciones trigonométricas o con la regla del producto.

Ejemplo ilustrativo 3.6_4. Uso de la regla de la cadena en una función coseno general

Encuentre la derivada de h(x) = cos(g(x)).

Solución:

Piense en h(x) = cos(g(x)) como f (g(x)) donde f (x) = cosx. Como f ′(x) = – senx. tenemos f ′(g(x)) = – sen(g(x). Luego hacemos el siguiente cálculo.

Por lo tanto, la derivada de h(x) = cos(g(x)) viene dada por h′(x) = – sen(g(x)) g′(x). ♦

En el siguiente ejemplo aplicamos la regla que acabamos de deducir.

Ejemplo ilustrativo 3.6_5. Usando la regla de la cadena en una función coseno

Encuentre la derivada de h(x) = cos(5x²).

Solución:

Sea g(x) = 5x². Entonces g ′(x) = 10x. Usando el resultado del ejemplo anterior,

♦

Ejemplo ilustrativo 3.6_6. Uso de la regla de la cadena en una función trigonométrica

Encuentre la derivada de h(x) = sec(4x⁵ + 2x).

Solución:

Aplique la regla de la cadena a h(x) = sec(g(x)) para obtener

En este problema, g(x) = 4x⁵ + 2x, entonces tenemos g′(x) = 20x⁴ + 2. Por lo tanto, obtenemos

♦

Ejercicio de control 3.6.2

Encuentra la derivada de \(h(x) = \sin(7x + 2)\). ♦

        En este punto, proporcionamos una lista de fórmulas de derivadas que se pueden obtener aplicando la regla de la cadena junto con las fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas. Sus deducciones son similares a las utilizadas en el ejemplo 3.6_4 y el ejemplo 3.6_6. Por conveniencia, las fórmulas también se dan en la notación de Leibniz, que algunos estudiantes encuentran más fácil de recordar. (Discutimos la regla de la cadena usando la notación de Leibniz al final de esta sección). No es absolutamente necesario memorizarlos como fórmulas separadas, ya que todas son aplicaciones de la regla de la cadena a fórmulas aprendidas previamente.

TEOREMA 3.6.1. Usando la regla de la cadena con funciones trigonométricas

Para todos los valores de \(x\) para los cuales la derivada está definida,

\[ \begin{aligned} \frac{d}{dx}(\sin(g(x))) &= \cos(g(x))g'(x) & \frac{d}{dx}\sin u &= \cos u \frac{du}{dx} \\ \frac{d}{dx}(\cos(g(x))) &= -\sin(g(x))g'(x) & \frac{d}{dx}\cos u &= -\sin u \frac{du}{dx} \\ \frac{d}{dx}(\tan(g(x))) &= \sec^2(g(x))g'(x) & \frac{d}{dx}\tan u &= \sec^2 u \frac{du}{dx} \\ \frac{d}{dx}(\cot(g(x))) &= -\csc^2(g(x))g'(x) & \frac{d}{dx}\cot u &= -\csc^2 u \frac{du}{dx} \\ \frac{d}{dx}(\sec(g(x))) &= \sec(g(x))\tan(g(x))g'(x) & \frac{d}{dx}\sec u &= \sec u \tan u \frac{du}{dx} \\ \frac{d}{dx}(\csc(g(x))) &= -\csc(g(x))\cot(g(x))g'(x) & \frac{d}{dx}\csc u &= -\csc u \cot u \frac{du}{dx}. \end{aligned} \]

♦

Ejemplo ilustrativo 3.6_7. Combinando la regla de la cadena con la regla del producto

Encuentre la derivada de h(x) = (2x + 1)⁵ (3x − 2)⁷.

Solución:

Primero aplique la regla del producto, luego aplique la regla de la cadena a cada término del producto.

♦

Ejercicio de control 3.6.3

Encuentra la derivada de \(h(x) = \frac{x}{(2x + 3)^3}\). ♦

Composición de tres o más funciones

Ahora podemos combinar la regla de la cadena con otras reglas para diferenciar las funciones, pero cuando estamos diferenciando la composición de tres o más funciones, necesitamos aplicar la regla de la cadena más de una vez. Si observamos esta situación en términos generales, podemos generar una fórmula, pero no necesitamos recordarla, ya que simplemente podemos aplicar la regla de la cadena varias veces.

En términos generales, primero dejamos

Luego, aplicando la regla de la cadena una vez que obtenemos

Aplicando nuevamente la regla de la cadena, obtenemos

REGLA 3.6_3: REGLA DE CADENA PARA UNA COMPOSICIÓN DE TRES FUNCIONES

Para todos los valores de \(x\) para los cuales la función es diferenciable, si

\[k(x) = h(f(g(x))),\]

entonces

\[k'(x) = h'(f(g(x)))f'(g(x))g'(x).\]

En otras palabras, estamos aplicando la regla de la cadena dos veces. ♦

        Observe que la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes. (Del mismo modo, la derivada de la composición de cuatro funciones tiene cuatro partes, etc.) Además, recuerde, siempre podemos trabajar desde afuera hacia adentro, tomando una derivada a la vez.

Ejemplo ilustrativo 3.6_8. Diferenciando una composición de tres funciones

Encuentre la derivada de k(x) = cos⁴(7x² + 1).

Solución:

Primero, reescribe k(x) como

Luego aplique la regla de la cadena varias veces.

♦

Ejercicio de control 3.6.4

Encuentra la derivada de \(h(x) = \sin^6(x^3)\). ♦

Ejemplo ilustrativo 3.6_9. Usando la regla de la cadena en un problema de velocidad

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s(t) = sin (2t) + cos (3t). ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el tiempo t = π/6?

Solución:

Para encontrar v(t), la velocidad de la partícula en el tiempo t, debemos diferenciar s(t). Así,

Sustituyendo t = π/6 en v(t), obtenemos v(π/6) = – 2. ♦

Ejercicio de control 3.6.5

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo \(t\) está dada por \(s(t) = \sin(4t)\). Encuentra su aceleración en el tiempo \(t\). ♦

Prueba informal de la regla de la cadena:

En este punto, presentamos una prueba muy informal de la regla de la cadena. Por simplicidad, ignoramos ciertos problemas: por ejemplo, suponemos que g(x) ≠ g(a) para x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a a. Comenzamos aplicando la definición de límite de la derivada a la función h(x) para obtener h′(a):Reescribiendo, obtenemosAunque está claro quePara ver que esto es cierto, primero recuerde que dado que g es diferenciable en a, g también es continua en a. Así,A continuación, realice la sustitución y = g(x) y b = g(a) y utilice el cambio de variables en el límite para obtenerFinalmente,

♦

Ejemplo ilustrativo 3.6_10. Usando la regla de la cadena con valores funcionales

Sea h(x) = f (g(x)). Si g(1) = 4, g′(1) = 3 y f ′(4) = 7, encuentre h′(1).

Solución:

Use la regla de la cadena, luego sustitúyase

♦

Ejercicio de control 3.6.6

Dado \(h(x) = f(g(x))\). Si \(g(2) = -3\), \(g'(2) = 4\), y \(f'(-3) = 7\), encuentra \(h'(2)\).

La regla de la cadena usando la notación de Leibniz

Al igual que con otras derivadas que hemos visto, podemos expresar la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz. Esta notación para la regla de la cadena se usa mucho en aplicaciones de física.

Para h(x) = f (g(x)), sea u = g(x)  e  y = h(x) = f (u). Se tiene que,

Por consiguiente,

REGLA 3.6_4: REGLA DE CADENA CON LA NOTACIÓN DE LEIBNIZ

Si \(y\) es una función de \(u\), y \(u\) es una función de \(x\), entonces

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.\]

♦

Ejemplo ilustrativo 3.6_11. Tomar una derivada usando la notación de Leibniz, ejemplo 1

Encuentre la derivada de y = (x/(3x + 2))⁵.

Solución:

Primero, sea u = x/(3x + 2). Por lo tanto, y = u⁵. Luego, encuentra du/dx y dy/du. Usando la regla del cociente,

y

Finalmente, lo juntamos todo.

Es importante recordar que, cuando se usa la forma de Leibniz de la regla de la cadena, la respuesta final debe expresarse completamente en términos de la variable original dada en el problema. ♦

Ejemplo ilustrativo 3.6_12. Tomar una derivada usando la notación de Leibniz, ejemplo 2

Encuentre la derivada de y = tan(4x² − 3x + 1).

Solución:

Primero, sea u = 4x² − 3x + 1. Entonces y = tanu. A continuación, encuentre du/dx y dy/du:

Finalmente, lo juntamos todo.

♦

Ejercicio de control 3.6.7

Usa la notación de Leibniz para encontrar la derivada de \(y = \cos(x^3)\). Asegúrate de que la respuesta final esté expresada completamente en términos de la variable \(x\). ♦