| 2.5 La definición precisa de límite |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 2.5

      En los siguientes ejercicios, escribe la definición épsilon-delta, ε-δ, apropiada para cada una de las declaraciones dadas:

176. \(\lim_{x \to a} f(x) = N\)

177. \(\lim_{t \to b} g(t) = M\)

178. \(\lim_{x \to c} h(x) = L\)

179. \(\lim_{x \to a} \varphi(x) = A\)

La siguiente gráfica de la función \(f\) satisface \(\lim_{x\rightarrow2}f(x)=2.\) En los siguientes ejercicios, determine un valor de \(\delta>0\) que satisfaga cada afirmación:

180. Si \(0 < |x - 2| < \delta\), entonces \(|f(x) - 2| < 1\).

181. Si \(0 < |x - 2| < \delta\), entonces \(|f(x) - 2| < 0.5\).

La siguiente gráfica de la función \(f\) satisface \(\lim_{x\rightarrow3}f(x)=-1\). En los siguientes ejercicios, determine un valor de \(\delta>0\) que satisfaga cada afirmación:

182. Si \(0 < |x - 3| < \delta\), entonces \(|f(x) + 1| < 1\).

183. Si \(0 < |x - 3| < \delta\), entonces \(|f(x) + 1| < 2\).

La siguiente gráfica de la función \(f\) satisface \(\lim_{x \to 3} f(x) = 2\). En los siguientes ejercicios, para cada valor de \(\epsilon\), encuentre un valor de \(\delta > 0\) tal que la definición precisa de límite se cumpla.

184. \(\epsilon = 1.5\)

185. \(\epsilon = 3\)

        [T] En los siguientes ejercicios, usa una calculadora gráfica para encontrar un número δ tal que las afirmaciones sean verdaderas:

186. Si \(|x – \frac{\pi}{12}| < \delta\), entonces \(|\sin(2x) - \frac{1}{2}| < 0.1\).

187. Si \(|x – 8| < \delta\), entonces \(|\sqrt{x - 4} - 2| < 0.1\).

      En los siguientes ejercicios, usa la definición precisa de límite para demostrar los límites dados:

188. \(\lim_{x \to 2} (5x + 8) = 18\)

189. \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 6\)

190. \[\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 – 3x – 2}{x – 2} = 5\]

191. \(\lim_{x \to 0} x^4 = 0\)

192. \(\lim_{x \to 2} (x^2 + 2x) = 8\)

      En los siguientes ejercicios, usa la definición precisa de límite para demostrar los límites unilaterales dados:

193. \(\lim_{x \to 5^-} \sqrt{5 – x} = 0\)

194. \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -2\), donde

\[f(x) = \begin{cases} 8x – 3, & \text{si } x < 0 \\ 4x - 2, & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\]

195. \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3\) donde

\[f(x) = \begin{cases} 5x – 2, & \text{si } x < 1 \\ 7x - 1, & \text{si } x \ge 1 \end{cases}\]

      En los siguientes ejercicios, usa la definición precisa de límite para demostrar los límites infinitos dados:

196. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty\)

197. \[\lim_{x \to -1} \frac{3}{(x + 1)^2} = \infty\]

198. \[\lim_{x \to 2} -\frac{1}{(x – 2)^2} = -\infty\]

199. Un ingeniero está usando una máquina para cortar un cuadrado plano de Aerogel de área \(\mathit{A}\) = 144 cm². Si hay una tolerancia de error máxima en el área de \(\Delta \mathit{A}\) = 8 cm², ¿con qué precisión debe cortar el ingeniero en el lado, asumiendo que todos los lados tienen la misma longitud? ¿Cómo se relacionan estos números con \(\delta\), \(\epsilon\), \(\mathit{a}\) y \(\mathit{L}\)?

200. Use la definición precisa de límite para probar que el siguiente límite no existe: \(\lim_{x \to 1} \frac{|x – 1|}{x – 1}\).

201. Usando las definiciones precisas de límites, pruebe que \(\lim_{x \to 0} f(x)\) no existe, dado que \(f(x)\) es la función techo. (Pista: Intente cualquier \(\delta < 1\).)

202. Usando las definiciones precisas de límites, pruebe que \(\lim_{x \to 0} f(x)\) no existe: \[f(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \text{ es racional} \\ 0, & \text{si } x \text{ es irracional} \end{cases}\] (Pista: Piense en cómo siempre puede elegir un número racional \(0 < r < \delta\), pero \(|f(r) - 0| = 1\).)

203. Usando las definiciones precisas de límites, determine \(\lim_{x \to 0} f(x)\) para \[f(x) = \begin{cases} \mathit{x}, & \text{si } \mathit{x} \text{ es racional} \\ 0, & \text{si } \mathit{x} \text{ es irracional} \end{cases}\] (Pista: Divida en dos casos, \(\mathit{x}\) racional y \(\mathit{x}\) irracional.)

204. Usando la función del ejercicio anterior, use la definición precisa de límites para mostrar que \(\lim_{x \to a} f(x)\) no existe para \(\mathit{a} \ne 0\).

Para los siguientes ejercicios, suponga que \(\lim_{x \to a} f(x) = \mathit{L}\) y \(\lim_{x \to a} g(x) = \mathit{M}\) existen. Use la definición precisa de límites para probar las siguientes leyes de límites:

205. \(\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \mathit{L} + \mathit{M}\)

206. \(\lim_{x \to a} [cf(x)] = c\mathit{L}\) para cualquier constante real \(c\) (Pista: Considere dos casos: \(c = 0\) y \(c \ne 0\).)

207. \(\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = \mathit{L}\mathit{M}\). (Pista: \(|f(x)g(x) – \mathit{L}\mathit{M}| = |f(x)g(x) – f(x)\mathit{M} + f(x)\mathit{M} – \mathit{L}\mathit{M}| \le |f(x)||g(x) – \mathit{M}| + |\mathit{M}||f(x) – \mathit{L}|.\))