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Gráficas y períodos de las funciones trigonométricas

Hemos visto que a medida que viajamos alrededor del círculo unitario, se repiten los valores de las funciones trigonométricas. Podemos ver este patrón en las gráficas de las funciones. Sea P = (x, y) un punto en el círculo unitario y sea θ el ángulo correspondiente. Dado que el ángulo θ y θ + 2π corresponden al mismo punto P, los valores de las funciones trigonométricas en θ y en θ + 2π son los mismos. En consecuencia, las funciones trigonométricas son funciones periódicas. El período de una función f se define como el valor positivo más pequeño p tal que f (x + p) = f (x) para todos los valores x en el dominio de f. Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen un período de 2π. Dado que las funciones tangente y cotangente se repiten en un intervalo de longitud π, su período es π (Figura 1.3_5).

(Figura 1.3_5 Las seis funciones trigonométricas son periódicas.)

    Al igual que con las funciones algebraicas, podemos aplicar transformaciones a las funciones trigonométricas. En particular, considere la siguiente función:

f (x) = Asen(B(x − α)) + C.

En la figura 1.3_6, la constante α provoca un desplazamiento horizontal o de fase. El factor B cambia el período. Esta función seno transformada tendrá un período 2π/|B|. El factor A da como resultado un estiramiento vertical por un factor de |A|. Decimos |A| es la “amplitud de f”. La constante C provoca un desplazamiento vertical.

Observe en la figura 1.3_5 que la gráfica de y = cosx es la gráfica de y = senx desplazada a la izquierda π/2 unidades. Por lo tanto, podemos escribir cosx = sen (x + π/2). De manera similar, podemos ver la gráfica de y = senx como la gráfica de y = cosx desplazada hacia la derecha π/2 unidades, y establecer que senx = cos(x − π/2).

    Una curva senoidal desplazada surge de forma natural al representar gráficamente el número de horas de luz de día en una ubicación determinada en función del día del año. Por ejemplo, suponga que una ciudad informa que el 21 de junio es el día más largo del año con 15.7 horas de luz de día y el 21 de diciembre es el día más corto del año con 8.3 horas de luz de día. Se puede demostrar que la función

es un modelo para la cantidad de horas de luz del día h en función del día del año t (Figura 1.3_7).

Ejemplo ilustrativo 1.3_6 Dibujar la gráfica de una curva sinusoidal transformada

Dibuja la gráfica de f (x) = 3 sen(2(x − π/4)) + 1.

Solución:
Esta gráfica es un desplazamiento de fase de y = sen(x) a la derecha por π/4 unidades, seguido de una compresión horizontal por un factor de 2, un estiramiento vertical por un factor de 3, y luego un desplazamiento vertical por 1 unidad . El período de f es π.

EJERCICIO DE CONTROL 1.3_6

Describa la relación entre la gráfica de f (x) = 3sen(4x) −5 y la gráfica de y = sen(x).