| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.5 Ecuaciones lineales de segundo orden | 9.5.1 Ecuaciones lineales homogéneas | Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.5.1 |
Soluciones de ejercicios propuestos para el Capítulo 9.5.1
6. Encuentre el Wronskiano de un conjunto dado \(\{ y_{1}, y_{2} \}\) de soluciones de
\[ y” + 3(x^{2}+1)y’ – 2y = 0, \]dado que \( W(\pi) = 0 \).
Solución:
La ecuación tiene la forma general:
\[ y” + p(x)\,y’ + q(x)\,y = 0, \]con \( p(x) = 3(x^{2}+1) \) y \( q(x) = -2 \).
Por la fórmula de Abel, el Wronskiano de dos soluciones es:
\[ W(x) = W(x_{0}) \exp\!\left( -\int_{x_{0}}^{x} p(t)\,dt \right). \]En este caso, tomando \( x_{0} = \pi \) y usando la condición \( W(\pi) = 0 \):
\[ W(x) = 0 \cdot \exp\!\left( -\int_{\pi}^{x} 3(t^{2}+1)\,dt \right). \] \[ \therefore \quad W(x) = 0 \quad \text{para todo } x. \]Esto significa que el par de soluciones dado no es linealmente independiente, y por lo tanto no constituye un conjunto fundamental de soluciones. Sin embargo, la ecuación diferencial sí admite un conjunto fundamental, solo que no corresponde al par específico considerado aquí.
7. Encuentre el Wronskiano de un conjunto dado \(\{\,y_{1},y_{2}\,\}\) de soluciones de
\[ (1-x^{2})y”-2x y’ + \alpha(\alpha+1)y = 0, \]dado que \(W(0)=1\). (Esta es la ecuación de Legendre.)
Solución:
Dividimos la ecuación por \(1-x^{2}\) para ponerla en la forma estándar
\[ y” + p(x)\,y’ + q(x)\,y = 0, \]con
\[ p(x) = -\frac{2x}{1-x^{2}}, \qquad q(x)=\frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^{2}}. \]Por la fórmula de Abel para el Wronskiano:
\[ W(x) = W(x_{0})\,\exp\!\left( -\int_{x_{0}}^{x} p(t)\,dt \right). \]Tome \(x_{0}=0\) y la condición \(W(0)=1\). Entonces
\[ \int_{0}^{x} p(t)\,dt = \int_{0}^{x} -\frac{2t}{1-t^{2}}\,dt = \Big[\ln|1-t^{2}|\Big]_{0}^{x} = \ln|1-x^{2}|. \]Por tanto
\[ W(x) = 1\cdot \exp\!\big(-\ln|1-x^{2}|\big) = \frac{1}{|1-x^{2}|}. \]En el intervalo habitual de la ecuación de Legendre \((-1,1)\) tenemos \(1-x^{2}>0\), así que
\[ \boxed{\;W(x)=\dfrac{1}{1-x^{2}}\;,\qquad x\in(-1,1)\;} \]Observación: como \(W(x)\neq 0\) en \((-1,1)\), las dos soluciones elegidas son soluciones linealmente independientes y forman un conjunto fundamental en ese intervalo.
8. Encuentre el Wronskiano de un conjunto dado \(\{\,y_{1},y_{2}\,\}\) de soluciones de
\[ \mathit{x}^{2}y”+\mathit{x}y’+\big(\mathit{x}^{2}-\nu^{2}\big)y=0, \]dado que \(W(1)=1\). (Esta es la ecuación de Bessel.)
Solución:
Dividimos la ecuación por \(\mathit{x}^{2}\) para ponerla en la forma estándar
\[ y” + p(\mathit{x})\,y’ + q(\mathit{x})\,y = 0, \]con
\[ p(\mathit{x})=\frac{1}{\mathit{x}}, \qquad q(\mathit{x})=1-\frac{\nu^{2}}{\mathit{x}^{2}}. \]Por la fórmula de Abel para el Wronskiano:
\[ W(\mathit{x}) = W(\mathit{x}_{0})\,\exp\!\left( -\int_{\mathit{x}_{0}}^{\mathit{x}} p(t)\,dt \right). \]Tomando \(\mathit{x}_{0}=1\) y usando la condición \(W(1)=1\):
\[ W(\mathit{x}) = 1\cdot \exp\!\left( -\int_{1}^{\mathit{x}} \frac{1}{t}\,dt \right) = \exp\!\big(-\ln|\mathit{x}|\big). \]Por tanto, en el dominio natural de la ecuación (por ejemplo \(\mathit{x}>0\)) se obtiene
\[ \boxed{\;W(\mathit{x})=\dfrac{1}{\mathit{x}}\;,\qquad \mathit{x}>0.\;} \]Observación: como \(W(\mathit{x})\neq 0\) para \(\mathit{x}>0\), cualquier par canónico de soluciones (por ejemplo \(J_{\nu}(\mathit{x})\) y \(Y_{\nu}(\mathit{x})\)) es linealmente independiente en \((0,\infty)\) y constituye un conjunto fundamental allí.
9. (Este ejercicio muestra que si conoce una solución no trivial de \(\mathit{y}”+\mathit{p}(x)\mathit{y}’+\mathit{q}(x)\mathit{y}=0\), usted puede usar la fórmula de Abel para encontrar otra).
Suponga que \(\mathit{p}\) y \(\mathit{q}\) son continuas y \(\mathit{y}_1\) es una solución de
\[ \mathit{y}”+\mathit{p}(x)\mathit{y}’+\mathit{q}(x)\mathit{y}=0 \qquad\text{(A)} \]que no tiene ceros en \((a,b)\). Sea \(\mathit{P}(x)=\int \mathit{p}(x)\,dx\), cualquier antiderivada de \(\mathit{p}\) sobre \((a,b)\).
(a) Demuestre que si \(\mathit{K}\) es una constante arbitraria distinta de cero y \(\mathit{y}_2\) satisface
\[ \mathit{y}_1\mathit{y}_2′ – \mathit{y}_1’\mathit{y}_2 = \mathit{K}\,e^{-\mathit{P}(x)} \qquad\text{(B)} \]en \((a,b)\), entonces \(\mathit{y}_2\) también satisface (A) en \((a,b)\), y \(\{\mathit{y}_1,\mathit{y}_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) en \((a,b)\).
Solución:
1. Empleamos la reducción de orden: proponemos \(\mathit{y}_2(x)=\mathit{u}(x)\,\mathit{y}_1(x)\) con \(\mathit{u}\) suficientemente suave.
2. Calculemos el wronskiano de \(\mathit{y}_1\) y \(\mathit{y}_2\):
\[ W(\mathit{y}_1,\mathit{y}_2)=\mathit{y}_1\mathit{y}_2′-\mathit{y}_1’\mathit{y}_2 = \mathit{y}_1\big(\mathit{u}’\mathit{y}_1+\mathit{u}\mathit{y}_1’\big)-\mathit{y}_1’\big(\mathit{u}\mathit{y}_1\big) = \mathit{y}_1^{2}\mathit{u}’. \]Por (B) se tiene entonces
\[ \mathit{y}_1^{2}\mathit{u}'(x)=\mathit{K}\,e^{-\mathit{P}(x)} \quad\Rightarrow\quad \mathit{u}'(x)=\frac{\mathit{K}\,e^{-\mathit{P}(x)}}{\mathit{y}_1^{2}(x)}. \]Integrando obtenemos \(\mathit{u}(x)=\displaystyle \int^{x}\frac{\mathit{K}\,e^{-\mathit{P}(t)}}{\mathit{y}_1^{2}(t)}\,dt + C\).
3. Como \(\mathit{y}_2=\mathit{u}\mathit{y}_1\) con \(\mathit{u}\) definida así, la función \(\mathit{y}_2\) es una combinación construida por reducción de orden a partir de \(\mathit{y}_1\). Es estándar (ver demostración de reducción de orden) que dicha \(\mathit{y}_2\) satisface la ecuación (A).
4. Además, puesto que \(\mathit{K}\neq 0\), el wronskiano dado por (B) es distinto de cero en todo \((a,b)\). Por tanto \(\mathit{y}_1\) y \(\mathit{y}_2\) son linealmente independientes y forman un conjunto fundamental de soluciones en \((a,b)\).
(b) Concluya de (a) que si \(\mathit{y}_2=\mathit{u}\mathit{y}_1\) donde \(\mathit{u}’=\dfrac{\mathit{K}\,e^{-\mathit{P}(x)}}{\mathit{y}_1^{2}(x)}\), entonces \(\{\mathit{y}_1,\mathit{y}_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) sobre \((a,b)\).
Comentario final: Esta construcción es la forma clásica de obtener la segunda solución cuando se conoce una primera solución no nula:
\[ \boxed{\,\mathit{y}_2(x)=\mathit{y}_1(x)\,\int^{x}\frac{\mathit{e}^{-\mathit{P}(t)}}{\mathit{y}_1^{2}(t)}\,dt \, , \; \text{(constante multiplicativa absorbida en la integral)}\,} \]Con ello queda probado que la fórmula de Abel proporciona tanto la expresión del wronskiano como la vía para construir la segunda solución independiente.
10. \(y” – 2y’ – 3y = 0; \quad y_1(x) = e^{3x}\).
Solución:
La ecuación está en la forma \(y”+p(x)y’+q(x)y=0\) con \(p(x)=-2\). Sea \(P(x)=\int p(x)\,dx=-2x\).
Por la fórmula del ejercicio 9 (reducción de orden / relación del Wronskiano) se tiene
\[ y_1 y_2′ – y_1′ y_2 = K e^{-P(x)} = K e^{2x}, \]y usando \(y_2(x)=u(x)y_1(x)\) se obtiene \(y_1^{2}u’=K e^{2x}\). Con \(y_1=e^{3x}\) resulta
\[ u'(x)=\frac{K e^{2x}}{y_1^{2}}=\frac{K e^{2x}}{e^{6x}}=K e^{-4x}. \]Integrando:
\[ u(x)=\int K e^{-4x}\,dx = -\frac{K}{4} e^{-4x} + C. \]Entonces
\[ y_2(x)=u(x)y_1(x)=\Big(C-\frac{K}{4}e^{-4x}\Big)e^{3x}=C e^{3x}-\frac{K}{4}e^{-x}. \]Para obtener una segunda solución que no sea múltiplo constante de \(y_1\), elegimos \(C=0\) y tomamos \(K=-4\) (elección conveniente para simplificar). Con esto
\[ y_2(x) = -\frac{-4}{4} e^{-x} = e^{-x}. \]Verificación rápida (Wronskiano):
\[ W(y_1,y_2)= \begin{vmatrix} e^{3x} & e^{-x}\\[4pt] 3e^{3x} & -e^{-x} \end{vmatrix} = e^{3x}(-e^{-x}) – e^{-x}(3e^{3x}) = -4e^{2x}\neq 0, \]por tanto \(y_1\) y \(y_2\) son linealmente independientes.
Solución general:
\[ \boxed{\,y(x)=C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}\,} \]12. \(y” – 2\mathit{a}\,y’ + \mathit{a}^{2}y = 0\) \;(\(\mathit{a}\) = constante); \quad \(\mathit{y}_1(x)=e^{\mathit{a}x}\).
Solución:
Aplicamos el método del ejercicio 9 (reducción de orden usando la relación del Wronskiano). La ecuación está en la forma
\[ y” + p(x)y’ + q(x)y = 0, \]con \(p(x) = -2\mathit{a}\). Sea \(P(x)=\displaystyle\int p(x)\,dx = -2\mathit{a}x\).
Por la relación del ejercicio 9 (fórmula de Abel / reducción de orden) se tiene
\[ \mathit{y}_1\mathit{y}_2′ – \mathit{y}_1’\mathit{y}_2 = K e^{-P(x)} = K e^{2\mathit{a}x}, \]y si proponemos \(\mathit{y}_2(x)=\mathit{u}(x)\,\mathit{y}_1(x)\) se obtiene
\[ \mathit{y}_1^{2}\mathit{u}'(x) = K e^{2\mathit{a}x}. \]Como \(\mathit{y}_1(x)=e^{\mathit{a}x}\) entonces \(\mathit{y}_1^{2}=e^{2\mathit{a}x}\). Por tanto
\[ \mathit{u}'(x)=\frac{K e^{2\mathit{a}x}}{e^{2\mathit{a}x}} = K. \]Integrando, \(\mathit{u}(x)=Kx + C\). Elegimos para simplificar \(C=0\) y \(K=1\) (elección conveniente), de modo que \(\mathit{u}(x)=x\).
Entonces una segunda solución no proporcional a \(\mathit{y}_1\) es
\[ \boxed{\;\mathit{y}_2(x)=x e^{\mathit{a}x}\; }. \]Verificación del Wronskiano:
\[ \begin{aligned} \mathit{y}_2′(x) &= e^{\mathit{a}x} + \mathit{a}x e^{\mathit{a}x} = e^{\mathit{a}x}(1+\mathit{a}x),\\[6pt] W(\mathit{y}_1,\mathit{y}_2)(x) &= \begin{vmatrix} e^{\mathit{a}x} & x e^{\mathit{a}x} \\[6pt] \mathit{a}e^{\mathit{a}x} & e^{\mathit{a}x}(1+\mathit{a}x) \end{vmatrix} = e^{2\mathit{a}x}\neq 0. \end{aligned} \]Por tanto \(\mathit{y}_1\) y \(\mathit{y}_2\) son linealmente independientes.
Solución general:
\[ \boxed{\,y(x)=C_1 e^{\mathit{a}x} + C_2 x e^{\mathit{a}x}\,} \]14. Encuentre una segunda solución \(y_2\) que no sea un múltiplo constante de \(y_1\) para la ecuación
\[ \mathit{x}^{2}y” – \mathit{x}y’ + y = 0; \qquad \mathit{y}_1(\mathit{x}) = \mathit{x}. \]Solución:
Pasamos a la forma estándar dividiendo por \(\mathit{x}^{2}\) (considerando \(\mathit{x}>0\)):
\[ y” – \frac{1}{\mathit{x}}y’ + \frac{1}{\mathit{x}^{2}}y = 0, \]de modo que \(p(\mathit{x})=-\dfrac{1}{\mathit{x}}\). Sea \(\displaystyle P(\mathit{x})=\int p(\mathit{x})\,d\mathit{x}=-\ln\mathit{x}\).
Por la relación del ejercicio 9 (fórmula de Abel / reducción de orden):
\[ \mathit{y}_1\mathit{y}_2′ – \mathit{y}_1’\mathit{y}_2 = K e^{-P(\mathit{x})} = K\mathit{x}. \]Planteando \(\mathit{y}_2(\mathit{x})=\mathit{u}(\mathit{x})\mathit{y}_1(\mathit{x})\) se obtiene
\[ \mathit{y}_1^{2}\mathit{u}'(\mathit{x}) = K\mathit{x}. \]Como \(\mathit{y}_1(\mathit{x})=\mathit{x}\) tenemos \(\mathit{y}_1^{2}=\mathit{x}^{2}\), luego
\[ \mathit{u}'(\mathit{x})=\frac{K\mathit{x}}{\mathit{x}^{2}}=\frac{K}{\mathit{x}}. \]Integrando:
\[ \mathit{u}(\mathit{x})=K\ln\mathit{x} + C. \]Para obtener una segunda solución simple no proporcional a \(\mathit{y}_1\) elegimos \(C=0\) y \(K=1\). Entonces \(\mathit{u}(\mathit{x})=\ln\mathit{x}\) y
\[ \boxed{\;\mathit{y}_2(\mathit{x}) = \mathit{x}\ln\mathit{x}\; }. \]Verificación rápida (Wronskiano):
\[ \mathit{y}_2′(\mathit{x}) = \ln\mathit{x} + 1, \qquad W(\mathit{y}_1,\mathit{y}_2)(\mathit{x}) = \begin{vmatrix} \mathit{x} & \mathit{x}\ln\mathit{x} \\[6pt] 1 & \ln\mathit{x}+1 \end{vmatrix} = \mathit{x}. \]Como \(W(\mathit{x})=\mathit{x}\neq 0\) para \(\mathit{x}>0\), las funciones \(\mathit{y}_1\) y \(\mathit{y}_2\) son linealmente independientes y constituyen un conjunto fundamental en \((0,\infty)\).
16. Encuentre una segunda solución \(y_2\) que no sea un múltiplo constante de \(y_1\) para la ecuación
\[ 4\mathit{x}^{2}y”-4\mathit{x}y’+(3-16\mathit{x}^{2})y=0; \qquad \mathit{y}_1(\mathit{x})=\mathit{x}^{1/2}e^{2\mathit{x}}. \]Solución:
Primero pongamos la ecuación en forma estándar dividiendo por \(4\mathit{x}^{2}\) (considerando \(\mathit{x}>0\)):
\[ y” – \frac{1}{\mathit{x}}y’ + \frac{3-16\mathit{x}^{2}}{4\mathit{x}^{2}}\,y = 0. \]De aquí \(\;p(\mathit{x})=-\dfrac{1}{\mathit{x}}\;\). Sea \(\;P(\mathit{x})=\displaystyle\int p(\mathit{x})\,d\mathit{x}=-\ln\mathit{x}\;.\)
Por la fórmula de Abel / relación del ejercicio 9, el wronskiano satisface
\[ W(\mathit{x}) = W(\mathit{x}_0)\,\exp\!\Big(-\int_{\mathit{x}_0}^{\mathit{x}} p(t)\,dt\Big). \]Si tomamos la constante arbitraria \(K\) de la forma usada en el ejercicio 9, entonces
\[ \mathit{y}_1\mathit{y}_2′ – \mathit{y}_1’\mathit{y}_2 = K e^{-P(\mathit{x})} = K\mathit{x}. \]Planteando \(\mathit{y}_2(\mathit{x})=\mathit{u}(\mathit{x})\mathit{y}_1(\mathit{x})\) se obtiene
\[ \mathit{y}_1^{2}\mathit{u}'(\mathit{x}) = K\mathit{x}. \]Calculemos \(\mathit{y}_1^{2}\):
\[ \mathit{y}_1^{2}=(\mathit{x}^{1/2}e^{2\mathit{x}})^{2}=\mathit{x}\,e^{4\mathit{x}}. \]Por tanto
\[ \mathit{u}'(\mathit{x})=\frac{K\mathit{x}}{\mathit{x}e^{4\mathit{x}}}=K e^{-4\mathit{x}}. \]Integrando,
\[ \mathit{u}(\mathit{x})=\int K e^{-4\mathit{x}}\,d\mathit{x} = -\frac{K}{4} e^{-4\mathit{x}} + C. \]Elegimos \(C=0\) y, para simplificar la expresión de \(\mathit{y}_2\), tomamos \(K=-4\). Con esto \(\mathit{u}(\mathit{x})=e^{-4\mathit{x}}\) y
\[ \boxed{\;\mathit{y}_2(\mathit{x})=\mathit{u}(\mathit{x})\mathit{y}_1(\mathit{x}) = e^{-4\mathit{x}}\cdot \mathit{x}^{1/2}e^{2\mathit{x}} = \mathit{x}^{1/2}e^{-2\mathit{x}}\; }. \]Verificación rápida del wronskiano (usando \(K=-4\)):
\[ W(\mathit{y}_1,\mathit{y}_2)(\mathit{x}) = K\mathit{x} = -4\mathit{x} \neq 0 \quad (\text{para }\mathit{x}>0), \]por lo que \(\mathit{y}_1\) y \(\mathit{y}_2\) son linealmente independientes.
Solución general:
\[ \boxed{\,y(\mathit{x})=C_1\,\mathit{x}^{1/2}e^{2\mathit{x}} + C_2\,\mathit{x}^{1/2}e^{-2\mathit{x}}\,.} \]19. Encuentre una segunda solución \(\mathit{y}_2\) que no sea un múltiplo constante de \(\mathit{y}_1\) para la ecuación
\[ 4\mathit{x}^{2}\sin\mathit{x}\;y” – 4\mathit{x}\big(\mathit{x}\cos\mathit{x}+\sin\mathit{x}\big)y’ + \big(2\mathit{x}\cos\mathit{x} + 3\sin\mathit{x}\big)y = 0; \qquad \mathit{y}_1(\mathit{x})=\mathit{x}^{1/2}. \]Solución:
Dividimos por el coeficiente principal \(4\mathit{x}^{2}\sin\mathit{x}\) (considerando \(\mathit{x}>0\) y \(\sin\mathit{x}\neq 0\)) para poner la ecuación en forma estándar
\[ y” + p(\mathit{x})\,y’ + q(\mathit{x})\,y = 0, \]donde
\[ p(\mathit{x}) = -\frac{\mathit{x}\cos\mathit{x}+\sin\mathit{x}}{\mathit{x}\sin\mathit{x}} = -\cot\mathit{x} – \frac{1}{\mathit{x}}. \]Sea \(\mathit{P}(\mathit{x})=\displaystyle\int p(\mathit{x})\,d\mathit{x}\). Calculamos
\[ \mathit{P}(\mathit{x}) = -\int \cot\mathit{x}\,d\mathit{x} – \int \frac{1}{\mathit{x}}\,d\mathit{x} = -\ln|\sin\mathit{x}| – \ln|\mathit{x}| = -\ln|\mathit{x}\sin\mathit{x}|. \]Por la relación del ejercicio 9 (fórmula de Abel / reducción de orden) tenemos
\[ \mathit{y}_1\mathit{y}_2′ – \mathit{y}_1’\mathit{y}_2 = \mathit{K}\,e^{-\mathit{P}(\mathit{x})} = \mathit{K}\,\mathit{x}\sin\mathit{x}. \]Planteando \(\mathit{y}_2(\mathit{x})=\mathit{u}(\mathit{x})\mathit{y}_1(\mathit{x})\) y usando que \(\mathit{y}_1^{2}=\mathit{x}\), se obtiene
\[ \mathit{y}_1^{2}\mathit{u}'(\mathit{x})=\mathit{K}\,\mathit{x}\sin\mathit{x} \quad\Longrightarrow\quad \mathit{u}'(\mathit{x})=\mathit{K}\sin\mathit{x}. \]Integrando, \(\mathit{u}(\mathit{x}) = -\mathit{K}\cos\mathit{x} + C\). Para simplificar elegimos \(C=0\) y \(\mathit{K}=-1\) (elección conveniente), con lo cual \(\mathit{u}(\mathit{x})=\cos\mathit{x}\).
Así obtenemos la segunda solución
\[ \boxed{\;\mathit{y}_2(\mathit{x})=\mathit{x}^{1/2}\cos\mathit{x}\;} \]Comprobación del Wronskiano (con \(\mathit{K}=-1\)):
\[ \begin{aligned} \mathit{y}_1(\mathit{x})&=\mathit{x}^{1/2},\qquad \mathit{y}_1′(\mathit{x})=\tfrac{1}{2}\mathit{x}^{-1/2},\\[4pt] \mathit{y}_2(\mathit{x})&=\mathit{x}^{1/2}\cos\mathit{x},\qquad \mathit{y}_2′(\mathit{x})=\tfrac{1}{2}\mathit{x}^{-1/2}\cos\mathit{x}-\mathit{x}^{1/2}\sin\mathit{x}, \end{aligned} \] \[ W(\mathit{y}_1,\mathit{y}_2)(\mathit{x})= \begin{vmatrix} \mathit{x}^{1/2} & \mathit{x}^{1/2}\cos\mathit{x} \\[6pt] \tfrac{1}{2}\mathit{x}^{-1/2} & \tfrac{1}{2}\mathit{x}^{-1/2}\cos\mathit{x}-\mathit{x}^{1/2}\sin\mathit{x} \end{vmatrix} = -\mathit{x}\sin\mathit{x}, \]que coincide con \(\mathit{K}\,\mathit{x}\sin\mathit{x}\) para \(\mathit{K}=-1\). Como \(W(\mathit{x})\neq 0\) en puntos donde \(\mathit{x}>0\) y \(\sin\mathit{x}\neq 0\), las funciones \(\mathit{y}_1\) y \(\mathit{y}_2\) son linealmente independientes allí.
Solución general (en los intervalos donde las funciones son válidas):
\[ \boxed{\,\mathit{y}(\mathit{x})=C_1\,\mathit{x}^{1/2} + C_2\,\mathit{x}^{1/2}\cos\mathit{x}\,} \]19. Encuentre una segunda solución \(\mathit{y}_2\) que no sea un múltiplo constante de \(\mathit{y}_1\) para la ecuación
\[ 4\mathit{x}^{2}\sin\mathit{x}\;y” – 4\mathit{x}\big(\mathit{x}\cos\mathit{x}+\sin\mathit{x}\big)y’ + \big(2\mathit{x}\cos\mathit{x} + 3\sin\mathit{x}\big)y = 0, \qquad \mathit{y}_1(\mathit{x})=\mathit{x}^{1/2}. \]Solución (resumen):
Usando la reducción de orden con la relación del Wronskiano y eligiendo \(\mathit{K}=-1\) para simplificar, se obtiene
\[ \boxed{\;\mathit{y}_2(\mathit{x})=\mathit{x}^{1/2}\cos\mathit{x}\; }. \]Intervalos de validez y observaciones:
- Al dividir por el coeficiente principal \(4\mathit{x}^{2}\sin\mathit{x}\) la transformación es válida solamente donde dicho coeficiente no se anule, es decir donde \(\mathit{x}\neq 0\) y \(\sin\mathit{x}\neq 0\).
- Además \(\mathit{y}_1(\mathit{x})=\mathit{x}^{1/2}\) requiere \(\mathit{x}>0\) si se toma la raíz principal real. Por tanto los intervalos reales en los cuales ambas soluciones (reales) y el procedimiento son válidos son los subintervalos de la forma
es decir \((0,\pi),(\pi,2\pi),(2\pi,3\pi),\ldots\), donde \(\sin\mathit{x}\neq 0\) y \(\mathit{x}>0\).
- En cada uno de esos intervalos el Wronskiano vale
y por tanto no se anula en los intervalos indicados (ya que \(\mathit{x}>0\) y \(\sin\mathit{x}\neq 0\)). Esto garantiza que \(\mathit{y}_1\) y \(\mathit{y}_2\) son linealmente independientes y forman un conjunto fundamental en cada uno de esos intervalos.
Sobre los puntos \( \mathit{x}=n\pi \) y \( \mathit{x}=0 \): en esos puntos el coeficiente principal se anula y la ecuación presenta puntos singulares; para estudiar la posibilidad de extender soluciones hasta dichos puntos o su comportamiento allí hay que hacer un análisis separado (p. ej. series de Frobenius). No se puede concluir la validez directa de las soluciones anteriores en esos puntos sin ese análisis adicional.
22. Encuentre una segunda solución \(\mathit{y}_2\) que no sea un múltiplo constante de \(\mathit{y}_1\) para la ecuación
\[ (2\mathit{x}+1)\mathit{x}\,y” – 2(2\mathit{x}^2-1)\,y’ – 4(\mathit{x}+1)\,y = 0; \qquad \mathit{y}_1(\mathit{x})=\dfrac{1}{\mathit{x}}. \]Solución:
Primero pongamos la ecuación en la forma estándar dividiendo entre el coeficiente principal \((2\mathit{x}+1)\mathit{x}\) (suponiendo \(\mathit{x}\neq 0\) y \(2\mathit{x}+1\neq0\)):
\[ y” + p(\mathit{x})\,y’ + q(\mathit{x})\,y = 0, \]donde
\[ p(\mathit{x}) = -\frac{2(2\mathit{x}^2-1)}{\mathit{x}(2\mathit{x}+1)}. \]Descomponiendo \(p(\mathit{x})\) se obtiene
\[ p(\mathit{x}) = -2 + \frac{2}{\mathit{x}} – \frac{2}{2\mathit{x}+1}. \]Sea \(\mathit{P}(\mathit{x})=\displaystyle\int p(\mathit{x})\,d\mathit{x} = -2\mathit{x} + 2\ln|\mathit{x}| – \ln|2\mathit{x}+1| + C\).
Por la relación del ejercicio 9 (fórmula de Abel / reducción de orden) podemos imponer
\[ \mathit{y}_1\mathit{y}_2′ – \mathit{y}_1’\mathit{y}_2 = \mathit{K}\,e^{-\mathit{P}(\mathit{x})}. \]Si tomamos \(\mathit{y}_2(\mathit{x})=\mathit{u}(\mathit{x})\mathit{y}_1(\mathit{x})\), entonces
\[ \mathit{y}_1^{2}\mathit{u}'(\mathit{x}) = \mathit{K}\,e^{-\mathit{P}(\mathit{x})}. \]Como \(\mathit{y}_1(\mathit{x})=\dfrac{1}{\mathit{x}}\) tenemos \(\mathit{y}_1^{2}=\dfrac{1}{\mathit{x}^2}\). Además
\[ e^{-\mathit{P}(\mathit{x})} \propto \frac{(2\mathit{x}+1)e^{2\mathit{x}}}{\mathit{x}^2}, \]así que la relación para \(\mathit{u}’\) se reduce (absorbiendo constantes multiplicativas en \(\mathit{K}\)) a
\[ \mathit{u}'(\mathit{x}) = \widetilde{\mathit{K}}\,(2\mathit{x}+1)e^{2\mathit{x}}. \]Elegimos \(\widetilde{\mathit{K}}=1\) (elección conveniente) para simplificar; entonces
\[ \mathit{u}'(\mathit{x})=(2\mathit{x}+1)e^{2\mathit{x}}. \]Notamos que \(\dfrac{d}{d\mathit{x}}\big(\mathit{x}e^{2\mathit{x}}\big)=(2\mathit{x}+1)e^{2\mathit{x}}\), por lo tanto
\[ \mathit{u}(\mathit{x})=\mathit{x}e^{2\mathit{x}} + C. \]Tomando \(C=0\) (para obtener una expresión simple y linealmente independiente de \(\mathit{y}_1\)) obtenemos
\[ \boxed{\;\mathit{y}_2(\mathit{x})=\mathit{u}(\mathit{x})\mathit{y}_1(\mathit{x}) = \big(\mathit{x}e^{2\mathit{x}}\big)\cdot\frac{1}{\mathit{x}} = e^{2\mathit{x}}\; }. \]Verificación rápida: \( \mathit{y}_1(\mathit{x})=\dfrac{1}{\mathit{x}} \) y \( \mathit{y}_2(\mathit{x})=e^{2\mathit{x}} \) no son proporcionales y su Wronskiano no es nulo en los puntos donde la ecuación está definida, por lo que son linealmente independientes.
Solución general:
\[ \boxed{\,\mathit{y}(\mathit{x})=C_1\frac{1}{\mathit{x}} + C_2 e^{2\mathit{x}}\,} \]Observación sobre dominio: la derivación anterior divide por \((2\mathit{x}+1)\mathit{x}\), por tanto las fórmulas son válidas en intervalos donde \(\mathit{x}\neq 0\) y \(2\mathit{x}+1\neq 0\) (es decir \(\mathit{x}\neq -\tfrac{1}{2}\)). En esos intervalos la pareja \(\{\mathit{y}_1,\mathit{y}_2\}\) forma un conjunto fundamental de soluciones.
24. Suponga que p y q son continuas en un intervalo abierto \((a,b)\) y sea \(x_{0}\) en \((a,b)\). Utilice el Teorema 9.5.1.1 para demostrar que la única solución del problema de valor inicial
\[ y” + p(x)y’ + q(x)y = 0, \quad y(x_{0}) = 0, \quad y'(x_{0}) = 0 \]en \((a,b)\) es la solución trivial \(y \equiv 0\).
Solución:
De acuerdo con el Teorema 9.5.1.1, dado que p y q son funciones continuas en el intervalo abierto \((a,b)\), el problema de valor inicial
\[ y” + p(x)y’ + q(x)y = 0, \quad y(x_{0}) = k_{0}, \quad y'(x_{0}) = k_{1} \]tiene una única solución en \((a,b)\) para cualesquiera valores iniciales \(k_{0}, k_{1}\).
En este caso, se tiene \(k_{0} = 0\) y \(k_{1} = 0\). La función \(y(x) \equiv 0\) satisface tanto la ecuación diferencial como las condiciones iniciales. Por el teorema de existencia y unicidad, no puede existir otra solución distinta. Por lo tanto, la única solución es
\[ y(x) \equiv 0, \quad x \in (a,b). \]