Coordenadas cilíndricas y esféricas

Coordenadas Esféricas

En el sistema de coordenadas cartesianas, la ubicación de un punto en el espacio se describe utilizando un triple ordenado en el que cada coordenada representa una distancia. En el sistema de coordenadas cilíndricas, la ubicación de un punto en el espacio se describe utilizando dos distancias (r y z) y una medida de ángulo (θ). En el sistema de coordenadas esféricas, nuevamente usamos un triple ordenado para describir la ubicación de un punto en el espacio. En este caso, el triple describe una distancia y dos ángulos. Las coordenadas esféricas facilitan la descripción de una esfera, al igual que las coordenadas cilíndricas facilitan la descripción de un cilindro. Las líneas de cuadrícula para coordenadas esféricas se basan en medidas de ángulo, como las de coordenadas polares.

DEFINICIÓN. Sistema de coordenadas esféricas En el sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio (Figura 10.7_9) está representado por el triple ordenado (ρ, θ, φ) donde ♦ ρ (la letra griega rho) es la distancia entre P y el origen (ρ ≠ 0); ♦ θ es el mismo ángulo utilizado para describir la ubicación en coordenadas cilíndricas; ♦ φ (la letra griega phi) es el ángulo formado por el eje z positivo y el segmento de recta OP, donde O es el origen y 0 ≤ φ ≤ π.

Por convención, el origen se representa como (0, 0, 0) en coordenadas esféricas.

TEOREMA 10.72. Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares Las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto se relacionan de la siguiente manera: Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares y Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas Si un punto tiene coordenadas cilíndricas (r, θ, z), estas ecuaciones definen la relación entre las coordenadas cilíndricas y esféricas. Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas y  Estas ecuaciones se utilizan para convertir de coordenadas cilíndricas  a coordenadas esféricas

Las fórmulas para convertir de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares pueden parecer complejas, pero son aplicaciones sencillas de trigonometría. Mirando la figura 10.7_10, es fácil ver que r = ρsenφ. Luego, mirando el triángulo en el plano xy con r como su hipotenusa, tenemos x = rcosθ = ρsenφcosθ. La derivación de la fórmula para y es similar. La figura 107_8 también muestra que ρ² = r² + z² = x² + y² + z²  y  z = ρcosφ. Resolviendo esta última ecuación para φ y luego sustituyendo ρ = √(r² + z² ) (de la primera ecuación) produce φ = arccos (z/√(r² + z² )). Además, tenga en cuenta que, como antes, debemos tener cuidado al usar la fórmula tanθ = y /x para elegir el valor correcto de θ.

Como hicimos con las coordenadas cilíndricas, consideremos las superficies que se generan cuando cada una de las coordenadas se mantiene constante. Deje que c sea una constante y considere las superficies de la forma ρ = c. Los puntos en estas superficies están a una distancia fija del origen y forman una esfera. La coordenada θ en el sistema de coordenadas esféricas es la misma que en el sistema de coordenadas cilíndricas, por lo que las superficies de la forma θ = c son semiplanos, como antes. Por último, considere las superficies de la forma φ = c. Los puntos en estas superficies están en un ángulo fijo desde el eje z y forman un medio cono (Figura 10.7_11).

Figura 10.7_11 (a) En coordenadas esféricas, las superficies de la forma ρ = c son esferas de radio ρ, (b) las superficies de la forma θ = c son semiplanos en un ángulo θ desde el eje x  y (c) las superficies de la forma ϕ = c son medios conos en un ángulo ϕ desde el eje z.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.7_4  Conversión de coordenadas esféricas

Trace el punto con coordenadas esféricas (8, π/3, π/6) y exprese su ubicación en coordenadas rectangulares y cilíndricas.

Solución:

Use las ecuaciones en “Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares” para convertir entre coordenadas esféricas y cilíndricas (Figura 10.7_12):

El punto con coordenadas esféricas (8, π/3, π/6) tiene coordenadas rectangulares (2, 2√3, 4√3).
Encontrar los valores en coordenadas cilíndricas es igualmente sencillo:

Por lo tanto, las coordenadas cilíndricas para el punto son (4, π/3, 4√3).

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.7_5 Conversión de coordenadas rectangulares

Convierta las coordenadas rectangulares (−1, 1, √6) en coordenadas esféricas y cilíndricas.

Solución:

Comience convirtiendo de coordenadas rectangulares a esféricas:

Como (x, y) = (- 1, 1), la elección correcta para θ es 3π/4.

En realidad, hay dos formas de identificar φ. Podemos usar la ecuación

Sin embargo, un enfoque más simple es usar la ecuación z = ρcosφ. Sabemos que z = √6  y  ρ = 2√2, entonces

y por lo tanto φ = π/6. Las coordenadas esféricas del punto son (2√2, 3π/4, π/6).

Para encontrar las coordenadas cilíndricas para el punto, solo necesitamos encontrar r:

Las coordenadas cilíndricas para el punto son (√2, 3π/4, √6).

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.7_6 Identificación de superficies en el sistema de coordenadas esféricas

Describe las superficies con las ecuaciones esféricas dadas.

Solución:
a. La variable θ representa la medida del mismo ángulo en los sistemas de coordenadas cilíndricos y esféricas. Los puntos con coordenadas (ρ, π/3, φ) se encuentran en el plano que forma el ángulo θ = π/3 con el eje x positivo. Como ρ > 0, la superficie descrita por la ecuación θ = π/3 es el semiplano que se muestra en la figura 10.7_13.

b. La ecuación φ = 5π/6 describe todos los puntos en el sistema de coordenadas esféricas que se encuentran en una recta desde el origen formando un ángulo que mide 5π/6 rad con el eje z positivo. Estos puntos forman un medio cono (Figura 10.7_14). Debido a que solo hay un valor para φ que se mide desde el eje z positivo, no obtenemos el cono completo (con dos piezas).

Para encontrar la ecuación en coordenadas rectangulares, usa la ecuación

Esta es la ecuación de un cono centrado en el eje z.

c. La ecuación ρ = 6 describe el conjunto de todos los puntos a 6 unidades del origen: una esfera con radio 6 (Figura 10.7_15).

d. Para identificar esta superficie, convierta la ecuación de coordenadas esféricas a rectangulares, utilizando las ecuaciones y = ρsenφsenθ y ρ² = x² + y² + z²:

La ecuación describe una esfera centrada en el punto (0, 1/2, 0) con radio 1/2.

Las coordenadas esféricas son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría sobre un punto, como el volumen del espacio dentro de un estadio abovedado o la velocidad del viento en la atmósfera de un planeta. Una esfera que tiene la ecuación cartesiana x² + y² + z² = c² tiene la ecuación simple ρ = c en coordenadas esféricas.

En geografía, la latitud y la longitud se utilizan para describir ubicaciones en la superficie de la Tierra, como se muestra en la Figura 10.7_16. Aunque la forma de la Tierra no es una esfera perfecta, utilizamos coordenadas esféricas para comunicar la ubicación de los puntos en la Tierra. Supongamos que la Tierra tiene la forma de una esfera con un radio de 4000 mi. Expresamos las medidas de los ángulos en grados en lugar de radianes porque la latitud y la longitud se miden en grados.

Deje que el centro de la Tierra sea el centro de la esfera, con el rayo desde el centro a través del Polo Norte que representa el eje z positivo. El meridiano principal representa el rastro de la superficie a medida que se cruza con el plano xz. El ecuador es la traza de la esfera que se cruza con el plano xy.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.7_7 Conversión de latitud y longitud a coordenadas esféricas

La latitud de Columbus, Ohio, es de 40 ° N y la longitud es de 83 ° W, lo que significa que Columbus está a 40 ° al norte del ecuador. Imagine un rayo desde el centro de la Tierra a través de Columbus y un rayo desde el centro de la Tierra a través del ecuador directamente al sur de Columbus. La medida del ángulo formado por los rayos es de 40 °. Del mismo modo, midiendo desde el primer meridiano, Columbus se encuentra a 83 ° hacia el oeste. Exprese la ubicación de Columbus en coordenadas esféricas.

Solución:
El radio de la Tierra es de 4000 mi, entonces ρ = 4000. La intersección del meridiano principal y el ecuador se encuentra en el eje x positivo. Luego, el movimiento hacia el oeste se describe con medidas de ángulo negativo, lo que muestra que θ = −83 °, ya que Columbus se encuentra a 40 ° al norte del ecuador, se encuentra a 50 ° al sur del Polo Norte, por lo que φ = 50 °. En coordenadas esféricas, Columbus se encuentra en el punto (4000, −83 °, 50 °).

Las coordenadas cilíndricas y esféricas nos dan la flexibilidad de seleccionar un sistema de coordenadas apropiado para el problema en cuestión. Una elección cuidadosa del sistema de coordenadas puede hacer que un problema sea mucho más fácil de resolver, mientras que una mala elección puede conducir a cálculos innecesariamente complejos. En el siguiente ejemplo, examinamos varios problemas diferentes y discutimos cómo seleccionar el mejor sistema de coordenadas para cada uno.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.7_8 Elegir el mejor sistema de coordenadas

En cada una de las siguientes situaciones, determinamos qué sistema de coordenadas es el más apropiado y describimos cómo orientaríamos los ejes de coordenadas. Podría haber más de una respuesta correcta sobre cómo deberían orientarse los ejes, pero seleccionamos una orientación que tenga sentido en el contexto del problema. Nota: No hay suficiente información para configurar o resolver estos problemas; simplemente seleccionamos el sistema de coordenadas (Figura 10.7_17).
a. Encuentra el centro de gravedad de una bola de boliche.
b. Determine la velocidad de un submarino sometido a una corriente oceánica.
c. Calcule la presión en un tanque de agua cónico.
d. Encuentre el volumen de petróleo que fluye a través de una tubería.
e. Determine la cantidad de cuero requerida para hacer una pelota de fútbol.

Solución:
a. Claramente, una bola de boliche es una esfera, por lo que las coordenadas esféricas probablemente funcionarían mejor aquí. El origen debe estar ubicado en el centro físico de la pelota. No hay una opción obvia de cómo deben orientarse los ejes x, y y z. Las bolas de boliche normalmente tienen un bloque de peso en el centro. Una opción posible es alinear el eje z con el eje de simetría del bloque de peso.
b. Un submarino generalmente se mueve en línea recta. No hay simetría rotacional o esférica que se aplique en esta situación, por lo que las coordenadas rectangulares son una buena opción. El eje z probablemente debería apuntar hacia arriba. Los ejes x e y podrían alinearse para apuntar al este y al norte, respectivamente. El origen debe ser una ubicación física conveniente, como la posición inicial del submarino o la ubicación de un puerto en particular.
c. Un cono tiene varios tipos de simetría. En coordenadas cilíndricas, un cono puede ser representado por la ecuación z = kr, donde k es una constante. En coordenadas esféricas, hemos visto que las superficies de la forma φ = c son semiconos. Por último, en coordenadas rectangulares, los conos elípticos son superficies cuadráticas y se pueden representar mediante ecuaciones de la forma z² = x²/a² + y²/b². En este caso, podríamos elegir cualquiera de los tres. Sin embargo, la ecuación para la superficie es más complicada en coordenadas rectangulares que en los otros dos sistemas, por lo que es posible que deseemos evitar esa elección. Además, estamos hablando de un tanque de agua, y la profundidad del agua podría entrar en juego en algún momento de nuestros cálculos, por lo que podría ser bueno tener un componente que represente la altura y la profundidad directamente. Según este razonamiento, las coordenadas cilíndricas podrían ser la mejor opción. Elija el eje z para alinear con el eje del cono. La orientación de los otros dos ejes es arbitraria. El origen debe ser el punto inferior del cono.
d. Una tubería es un cilindro, por lo que las coordenadas cilíndricas serían la mejor opción. En este caso, sin embargo, probablemente optaríamos por orientar nuestro eje z con el eje central de la tubería. El eje x podría elegirse para apuntar hacia abajo o hacia alguna otra dirección lógica. El origen debe elegirse en función del enunciado del problema. Tenga en cuenta que esto pone el eje z en una orientación horizontal, que es un poco diferente de lo que solemos hacer. Puede tener sentido elegir una orientación inusual para los ejes si tiene sentido para el problema.
e. Una pelota de fútbol tiene simetría rotacional sobre un eje central, por lo que las coordenadas cilíndricas funcionarían mejor. El eje z debe alinearse con el eje de la pelota. El origen podría ser el centro de la pelota o quizás uno de los extremos. La posición del eje x es arbitraria.