| 10. Cálculo vectorial – Vectores en el espacio | 10.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas |
Ejercicios resueltos para el Capítulo 10.7
Utiliza la figura siguiente como ayuda para identificar la relación entre los sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.
Para los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$ de un punto. Encuentre las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ del punto.
363. $\left( 4, \frac{\pi}{6}, 3 \right)$
364. $\left( 3, \frac{\pi}{3}, 5 \right)$
365. $\left( 4, \frac{7\pi}{6}, 3 \right)$
366. $( 2, \pi, -4 )$
Para los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ de un punto. Encuentre las coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$ del punto.
367. $(1, \sqrt{3}, 2)$
368. $(1, 1, 5)$
369. $(3, -3, 7)$
370. $(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 4)$
Para los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas cilíndricas. Encuentre la ecuación de la superficie en coordenadas rectangulares. Identifique y grafique la superficie.
371. [T] $r = 4$
372. [T] $z = r^2\cos^2\theta$
373. [T] $r^2\cos(2\theta) + z^2 + 1 = 0$
374. [T] $r = 3 \sin \theta$
375. [T] $r = 2 \cos \theta$
376. [T] $r^2 + z^2 = 5$
377. [T] $r = 2 \sec \theta$
378. [T] $r = 3 \csc \theta$
Para los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas rectangulares. Encuentre la ecuación de la superficie en coordenadas cilíndricas.
379. $z = 3$
380. $x = 6$
381. $x^2 + y^2 + z^2 = 9$
382. $y = 2x^2$
383. $x^2 + y^2 – 16x = 0$
384. $x^2 + y^2 – 3\sqrt{x^2 + y^2} + 2 = 0$
Para los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas esféricas $(\rho, \theta, \varphi)$ de un punto. Encuentre las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ del punto.
385. $(3, 0, \pi)$
386. $\left(1, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)$
387. $\left(12, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$
388. $\left(3, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}\right)$
Para los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas rectangulares $(x, y, z)$ de un punto. Encuentre las coordenadas esféricas $(\rho, \theta, \varphi)$ del punto. Exprese la medida de los ángulos en grados redondeados al entero más cercano.
389. $(4, 0, 0)$
390. $(-1, 2, 1)$
391. $(0, 3, 0)$
392. $(-2, 2\sqrt{3}, 4)$
Para los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas esféricas. Encuentre la ecuación de la superficie en coordenadas rectangulares. Identifique y grafique la superficie.
393. [T] $\rho = 3$
394. [T] $\varphi = \frac{\pi}{3}$
395. [T] $\rho = 2 \cos \varphi$
396. [T] $\rho = 4 \csc \varphi$
397. [T] $\varphi = \frac{\pi}{2}$
398. [T] $\rho = 6 \csc \varphi \sec \theta$
Para los siguientes ejercicios, se da la ecuación de una superficie en coordenadas rectangulares. Encuentre la ecuación de la superficie en coordenadas esféricas. Identifique la superficie.
399. $x^2 + y^2 – 3z^2 = 0, z \neq 0$
400. $x^2 + y^2 + z^2 – 4z = 0$
401. $z = 6$
402. $x^2 + y^2 = 9$
Para los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas cilíndricas de un punto. Encuentre sus coordenadas esféricas asociadas, con la medida del ángulo $\varphi$ en radianes redondeada a cuatro decimales.
403. [T] $\left(1, \frac{\pi}{4}, 3\right)$
404. [T] $(5, \pi, 12)$
405. $\left(3, \frac{\pi}{2}, 3\right)$
406. $\left(3, -\frac{\pi}{6}, 3\right)$
Para los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas esféricas de un punto. Encuentre sus coordenadas cilíndricas asociadas.
407. $\left(2, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$
408. $\left(4, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}\right)$
409. $\left(8, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$
410. $\left(9, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$
Para los siguientes ejercicios, encuentre el sistema de coordenadas más adecuado para describir los sólidos dados.
411. El sólido situado en el primer octante con un vértice en el origen y encerrado por un cubo de arista de longitud $a$, donde $a > 0$.
412. Una cáscara esférica determinada por la región entre dos esferas concéntricas centradas en el origen, de radios $a$ y $b$, respectivamente, donde $b > a > 0$.
413. Un sólido dentro de la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ y fuera del cilindro $(x – \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$.
414. Una cáscara cilíndrica de altura 10 determinada por la región entre dos cilindros con el mismo centro, generatrices paralelas y radios de 2 y 5, respectivamente.
415. [T] Use un CAS para graficar la región entre el paraboloide elíptico $z = x^2 + y^2$ y el cono $x^2 + y^2 – z^2 = 0$. Luego describa la región en coordenadas cilíndricas.
416. [T] Use un CAS para graficar en coordenadas esféricas la región de “cono de helado” situada sobre el plano $xy$ entre la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ y el cono elíptico $x^2 + y^2 – z^2 = 0$.
417. Washington, DC, se encuentra a $39^\circ$ N y $77^\circ$ W. Suponga que el radio de la Tierra es de 4000 mi. Exprese la ubicación de Washington, DC, en coordenadas esféricas.
418. San Francisco se encuentra a $37.78^\circ$ N y $122.42^\circ$ W. Suponga que el radio de la Tierra es de $4000$ mi. Exprese la ubicación de San Francisco en coordenadas esféricas.
419. Encuentre la latitud y longitud de Río de Janeiro si sus coordenadas esféricas son $(4000, -43.17^\circ, 102.91^\circ)$.
420. Encuentre la latitud y longitud de Berlín si sus coordenadas esféricas son $(4000, 13.38^\circ, 37.48^\circ)$.
421. [T] Considere el toro de ecuación $(x^2 + y^2 + z^2 + R^2 – r^2)^2 = 4R^2(x^2 + y^2)$, donde $R \geq r > 0$.
a. Escriba la ecuación del toro en coordenadas esféricas.
b. Si $R = r$, la superficie se llama toro de cuerno. Demuestre que la ecuación de un toro de cuerno en coordenadas esféricas es $\rho = 2R \sin \varphi$.
c. Use un CAS para graficar el toro de cuerno con $R = r = 2$ en coordenadas esféricas.
422. [T] La “esfera rugosa” con una ecuación en coordenadas esféricas $\rho = a + b \cos(m\theta)\sin(n\varphi)$, con $\theta \in [0, 2\pi]$ y $\varphi \in [0, \pi]$, donde $a$ y $b$ son números positivos y $m$ y $n$ son enteros positivos, puede usarse en matemática aplicada para modelar el crecimiento de tumores.
a. Demuestre que la “esfera rugosa” está contenida dentro de una esfera de ecuación $\rho = a + b$. Encuentre los valores de $\theta$ y $\varphi$ en los que las dos superficies se intersecan.
b. Use un CAS para graficar la superficie para $a = 14, b = 2, m = 4$ y $n = 6$ junto con la esfera $\rho = a + b$.
c. Encuentre la ecuación de la curva de intersección de la superficie en b. con el cono $\varphi = \frac{\pi}{12}$. Grafique la curva de intersección en el plano de intersección.
una ayuda por favor : ojo B =11
Se A un punto en el espacio que en coordenadas cartesianas está dado por la posición Bi + (B+3)j + 4k,
sobre esta posición se construye el vector C = 2i + 4j – 5k.
a) Muestre el vector C en coordenadas cilíndricas.
b) Muestre el vector C en coordenadas esféricas.
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