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10.12 Campos vectoriales

Objetivos de aprendizaje

10.12.1. Reconocer un campo vectorial en un plano o en el espacio.
10.12.2. Dibujar un campo vectorial a partir de una ecuación dada.
10.12.3. Identificar un campo conservador y su función potencial asociada.

       Los campos vectoriales son una herramienta importante para describir muchos conceptos físicos, como la gravitación y el electromagnetismo, que afectan el comportamiento de los objetos en una gran región de un plano o del espacio. También son útiles para tratar comportamientos a gran escala, como tormentas atmosféricas o corrientes oceánicas de aguas profundas. En esta sección, examinamos las definiciones básicas y los gráficos de los campos vectoriales para poder estudiarlos con más detalle en el resto de este capítulo.

Ejemplos de campos vectoriales

¿Cómo podemos modelar la fuerza gravitacional ejercida por múltiples objetos astronómicos? ¿Cómo podemos modelar la velocidad de las partículas de agua en la superficie de un río? La figura 10.12_1 da representaciones visuales de tales fenómenos.

La figura 10.12_1 (a) muestra un campo gravitacional ejercido por dos objetos astronómicos, como una estrella y un planeta o un planeta y una luna. En cualquier punto de la figura, el vector asociado con un punto proporciona la fuerza gravitacional neta ejercida por los dos objetos sobre un objeto de unidad de masa. Los vectores de mayor magnitud en la figura son los vectores más cercanos al objeto más grande. El objeto más grande tiene mayor masa, por lo que ejerce una fuerza gravitacional de mayor magnitud que el objeto más pequeño.

La figura 10.12_1 (b) muestra la velocidad de un río en puntos de su superficie. El vector asociado con un punto dado en la superficie del río da la velocidad del agua en ese punto. Como los vectores a la izquierda de la figura son pequeños en magnitud, el agua fluye lentamente en esa parte de la superficie. A medida que el agua se mueve de izquierda a derecha, se encuentra con algunos rápidos alrededor de una roca. La velocidad del agua aumenta y se produce un remolino en parte de los rápidos.

Figura 10.12_1 (a) El campo gravitacional ejercido por dos cuerpos astronómicos en un objeto pequeño. (b) El campo de velocidad del vector del agua en la superficie de un río muestra las variadas velocidades del agua. El rojo indica que la magnitud del vector es mayor, por lo que el agua fluye más rápidamente; azul indica una magnitud menor y una velocidad más lenta del flujo de agua.

Cada figura ilustra un ejemplo de un campo vectorial. Intuitivamente, un campo vectorial es un mapa de vectores. En esta sección, estudiamos campos vectoriales en R² y R³.

Definición 10.12.1. Campos vectoriales

• Un campo vectorial F en ℝ² es una asignación de un vector bidimensional F (x, y) a cada punto (x, y) de un subconjunto D de ℝ². El subconjunto D es el dominio del campo vectorial.
• Un campo vectorial F en ℝ³ es una asignación de un vector tridimensional F (x, y, z) a cada punto (x, y, z) de un subconjunto D de ℝ³. El subconjunto D es el dominio del campo vectorial. ♦

Campos de vectores en ℝ²

Un campo vectorial en ℝ² se puede representar de dos formas equivalentes. La primera forma es usar un vector con componentes que son funciones de dos variables:

La segunda forma es usar los vectores unitarios estándar:

Se dice que un campo vectorial es continuo si sus funciones componentes son continuas.

Ejemplo ilustrativo 10.12_1. Encontrar un vector asociado con un punto dado

Sea F(x, y) = (2y² + x − 4) i + cos (x) j un campo vectorial en ℝ². Tenga en cuenta que este es un ejemplo de un campo vectorial continuo ya que ambas funciones componentes son continuas. ¿Qué vector está asociado con el punto (0, −1)?

Solución:

Sustituya los valores de puntos para x e y:

♦

Ejercicio de control 10.12.1

Sea \( \mathbf{G}(x, y) = x^2y\mathbf{i} – (x + y)\mathbf{j} \) un campo vectorial en \( \mathbb{R}^2 \). ¿Qué vector está asociado con el punto (\(-2\), 3)? ♦

Dibujando un campo vectorial 

Ahora podemos representar un campo vectorial en términos de sus componentes de funciones o vectores unitarios, pero representarlo visualmente mediante un boceto es más complejo porque el dominio de un campo vectorial está en \( \mathbb{R}^2 \), al igual que el rango. Por lo tanto, la “gráfica” de un campo vectorial en \( \mathbb{R}^2 \) vive en un espacio tetradimensional. Dado que no podemos representar visualmente el espacio tetradimensional, en su lugar dibujamos campos vectoriales en \( \mathbb{R}^2 \) en un plano en sí mismo. Para hacer esto, dibujamos el vector asociado con un punto dado en el punto en un plano. Por ejemplo, supongamos que el vector asociado con el punto (4, \(-1\)) es \( \langle 3, 1 \rangle \). Entonces, dibujaríamos el vector \( \langle 3, 1 \rangle \) en el punto (4, \(-1\)).

Deberíamos trazar suficientes vectores para ver la forma general, pero no tantos que el boceto se convierta en un caos desordenado. Si tuviéramos que trazar el vector de imagen en cada punto de la región, llenaría la región por completo y es inútil. En cambio, podemos elegir puntos en las intersecciones de las líneas de la cuadrícula y trazar una muestra de varios vectores de cada cuadrante de un sistema de coordenadas rectangular en R².
Hay dos tipos de campos vectoriales en R² en los que se centra este capítulo: campos radiales y campos rotacionales. Los campos radiales modelan ciertos campos gravitacionales y campos de fuente de energía, y los campos rotacionales modelan el movimiento de un fluido en un vórtice. En un campo radial, todos los vectores apuntan directamente hacia el origen o se alejan de él. Además, la magnitud de cualquier vector depende solo de su distancia desde el origen. En un campo radial, el vector ubicado en el punto (x, y) es perpendicular al círculo centrado en el origen que contiene el punto (x, y), y todos los demás vectores en este círculo tienen la misma magnitud.

Ejemplo ilustrativo 10.12_2. Dibujar un campo vectorial radial

Dibuja el campo vectorial

Solución:
Para dibujar este campo vectorial, elija una muestra de puntos de cada cuadrante y calcule el vector correspondiente. La siguiente tabla ofrece una muestra representativa de puntos en un plano y los vectores correspondientes:

La figura 10.12_2 (a) muestra el campo vectorial. Para ver que cada vector es perpendicular al círculo correspondiente, la Figura 10.12_2 (b) muestra círculos superpuestos en el campo del vector.

Figura 10.2_2 (a) Una representación visual del campo vectorial radial F(x, y) = (x/2) i + (y/2) j. (b) El campo vectorial radial F(x, y) = (x/2) i + (y/2) j con círculos superpuestos. Observe que cada vector es perpendicular al círculo en el que se encuentra. ♦

Ejercicio de control 10.12.2

Dibuje el campo radial \( \mathbf{F}(x, y) = -\frac{x}{3} \mathbf{i} – \frac{y}{3} \mathbf{j} \). ♦

       A diferencia de los campos radiales, en un campo rotacional, el vector en el punto (x, y) es tangente (no perpendicular) a un círculo con radio r = √(x² + y²) . En un campo rotacional estándar, todos los vectores apuntan en sentido horario o en sentido antihorario, y la magnitud de un vector depende solo de su distancia desde el origen. Los dos ejemplos siguientes son campos de rotación en el sentido de las agujas del reloj, y vemos en sus representaciones visuales que los vectores parecen girar alrededor del origen.

Ejemplo ilustrativo 10.12_3. Dibujar un campo vectorial rotacional

Esboce el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = \langle y, -x \rangle \).

Solución:
Cree una tabla (vea la siguiente) usando una muestra representativa de puntos en un plano y sus vectores correspondientes. La figura 10.12_4 muestra el campo vectorial resultante.

Figura 10.12.4 (a) Una representación visual del campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = \langle y, -x \rangle \). (b) Campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = \langle y, -x \rangle \) con círculos centrados en el origen. (c) El vector \( \mathbf{F}(a, b) \) es perpendicular al vector radial \( \langle a, b \rangle \) en el punto (a, b).

Análisis

Tenga en cuenta que el vector \( \mathbf{F}(a, b) = \langle b, -a \rangle \) apunta en el sentido de las agujas del reloj y es perpendicular al vector radial \( \langle a, b \rangle \). (Podemos verificar esta afirmación calculando el producto punto de los dos vectores: \( \langle a, b \rangle \cdot \langle -b, a \rangle = -ab + ab = 0. \) Además, el vector \( \langle b, -a \rangle \) tiene longitud \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \). Por lo tanto, tenemos una descripción completa de este campo vectorial rotacional: el vector asociado con el punto (a, b) es el vector con longitud r tangente al círculo con radio r, y apunta en la dirección de las agujas del reloj.

Los bocetos mostrados en estas figuras a menudo se usan para analizar los principales sistemas de tormentas, incluidos huracanes y ciclones. En el hemisferio norte, las tormentas giran en sentido antihorario; En el hemisferio sur, las tormentas giran en sentido horario. (Este es un efecto causado por la rotación de la Tierra sobre su eje y se llama Efecto Coriolis). ♦

Ejemplo ilustrativo 10.12_4. Dibujar un campo vectorial

Dibuje el campo vectorial correspondiente a

Solución:
Para visualizar este campo vectorial, primero tenga en cuenta que el producto de punto F(a, b) ⋅ (ai + bj) es cero para cualquier punto (a, b). Por lo tanto, cada vector es tangente al círculo en el que se encuentra. Además, como (a, b) → (0, 0), la magnitud de F(a, b) va al infinito. Para ver esto, tenga en cuenta que

Como 1/(a² + b²) → ∞ cuando (a, b) → (0, 0), entonces || F(a, b) || → ∞ cuando (a, b) → (0, 0). Este campo vectorial es similar al campo vectorial del el ejemplo anterior, pero en este caso las magnitudes de los vectores cercanos al origen son grandes. La siguiente tabla muestra una muestra de puntos y los vectores correspondientes, y la Figura 10.12_5 muestra el campo vectorial. Tenga en cuenta que este campo vectorial modela el movimiento del remolino del río en la Figura 10.12_1 (b). El dominio de este campo vectorial es todo R² excepto el punto (0, 0).

Figura 10.12_5 Una representación visual del campo vectorial F(x, y) = y/(x² + y²) i − x/(x² + y²) j. Este campo vectorial podría usarse para modelar el movimiento de remolino de un fluido.

Ejercicio de control 10.12.3

Esbozar el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = \langle -2y, 2x \rangle \). ¿Es el campo vectorial radial, rotacional o ninguno? ♦

Ejemplo ilustrativo 10.12_5. Campo de velocidad de un fluido

Suponer que

es el campo de velocidad de un fluido. ¿Qué tan rápido se mueve el fluido en el punto (1, −1)? (Suponga que las unidades de velocidad son metros por segundo).

Solución:
Para encontrar la velocidad del fluido en el punto (1, −1), sustituya las coordenadas del punto en v:

La velocidad del fluido en (1, −1) es la magnitud de este vector. Por lo tanto, la velocidad es || i + j || = √ 2 m / seg. ♦

Ejercicio de control 10.12.4

El campo vectorial \( \mathbf{v}(x, y) = \langle 4|x|, 1 \rangle \) modela la velocidad del agua en la superficie de un río. ¿Cuál es la velocidad del agua en el punto (2, 3)? Use metros por segundo como unidades. ♦

       Hemos examinado campos vectoriales que contienen vectores de varias magnitudes, pero al igual que tenemos vectores unitarios, también podemos tener un campo vectorial unitario. Un campo vectorial F es un campo vectorial unitario si la magnitud de cada vector en el campo es 1. En un campo vectorial unitario, la única información relevante es la dirección de cada vector.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_6. Un campo vectorial de unidad

Mostrar que el campo vectorial

es un campo vectorial unitario.

Solución:
Para mostrar que F es un campo unitario, debemos mostrar que la magnitud de cada vector es 1. Tenga en cuenta que

Por lo tanto, F es un campo vectorial unitario. ♦

Ejercicio de control 10.12.5

¿Es el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = \langle -y, x \rangle \) un campo vectorial unitario? ♦

       ¿Por qué son importantes los campos vectoriales unitarios? Supongamos que estamos estudiando el flujo de un fluido, y solo nos importa la dirección en la que fluye el fluido en un punto dado. En este caso, la velocidad del fluido (que es la magnitud del vector de velocidad correspondiente) es irrelevante, porque lo único que nos importa es la dirección de cada vector. Por lo tanto, el campo del vector unitario asociado con la velocidad es el campo que estudiaríamos.

Si \( \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle \) es un campo vectorial, entonces el campo vectorial unitario correspondiente es \( \left\langle \frac{P}{\|\mathbf{F}\|}, \frac{Q}{\|\mathbf{F}\|}, \frac{R}{\|\mathbf{F}\|} \right\rangle \). Observe que si \( \mathbf{F}(x, y) = \langle y, -x \rangle \) es el campo vectorial del Ejemplo 6.3, entonces la magnitud de F es \( \sqrt{x^2 + y^2} \), y por lo tanto, el campo vectorial unitario correspondiente es el campo G del ejemplo anterior.

Si F es un campo vectorial, entonces el proceso de dividir F por su magnitud para formar el campo vectorial unitario \( \mathbf{F} / \|\mathbf{F}\| \) se denomina *normalizar* el campo F.

Campos de vectores en R³

Hemos visto varios ejemplos de campos vectoriales en R²; pasemos ahora nuestra atención a los campos vectoriales en R³. Estos campos vectoriales se pueden usar para modelar campos gravitacionales o electromagnéticos, y también se pueden usar para modelar el flujo de fluido o el flujo de calor en tres dimensiones. Un campo vectorial bidimensional realmente solo puede modelar el movimiento del agua en una porción bidimensional de un río (como la superficie del río). Dado que un río fluye a través de tres dimensiones espaciales, para modelar el flujo de toda la profundidad del río, necesitamos un campo vectorial en tres dimensiones.

La dimensión adicional de un campo tridimensional puede hacer que los campos vectoriales en R³ sean más difíciles de visualizar, pero la idea es la misma. Para visualizar un campo vectorial en R³, trace suficientes vectores para mostrar la forma general. Podemos usar un método similar para visualizar un campo vectorial en R² eligiendo puntos en cada octante.

Al igual que con los campos vectoriales en R², podemos representar campos vectoriales en R³ con funciones componentes. Simplemente necesitamos una función componente adicional para la dimensión extra. Nosotros escribimos

0

Ejemplo ilustrativo 10.12_7. Dibujar un campo vectorial en tres dimensiones

Describa el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y, z) = \langle 1, 1, z \rangle \).

Solución:

Para este campo vectorial, las componentes x e y son constantes, por lo que cada punto en \( \mathbb{R}^3 \) tiene un vector asociado con componentes x e y iguales a uno. Para visualizar F, primero consideramos cómo se ve el campo en el plano xy. En el plano xy, \( z = 0 \). Por lo tanto, cada punto de la forma (a, b, 0) tiene asociado el vector \( \langle 1, 1, 0 \rangle \). Para los puntos que no están en el plano xy pero están ligeramente por encima de él, el vector asociado tiene una componente z pequeña pero positiva, y por lo tanto el vector asociado apunta ligeramente hacia arriba. Para los puntos que están muy por encima del plano xy, la componente z es grande, por lo que el vector es casi vertical. Figura 10.12.6 muestra este campo vectorial.

Figura 10.12.6 Una representación visual del campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y, z) = \langle 1, 1, z \rangle \). ♦

Ejercicio de control 10.12.6

Esboce el campo vectorial \( \mathbf{G}(x, y, z) = \left\langle 2, \frac{z}{2}, 1 \right\rangle \). ♦

En el siguiente ejemplo, exploramos uno de los casos clásicos de un campo vectorial tridimensional: un campo gravitacional.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_8. Describiendo un campo vectorial gravitacional

La ley de gravitación de Newton establece que

donde G es la constante gravitacional universal. Describe el campo gravitacional ejercido por un objeto (objeto 1) de masa m₁ ubicado en el origen en otro objeto (objeto 2) de masa m₂ ubicado en el punto (x, y, z). El campo F denota la fuerza gravitacional que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2, r es la distancia entre los dos objetos, ȓ  indica el vector unitario desde el primer objeto hasta el segundo. El signo menos muestra que la fuerza gravitacional atrae hacia el origen; es decir, la fuerza del objeto 1 es atractiva. Dibuja el campo vectorial asociado con esta ecuación. 

Solución:
Como el objeto 1 se encuentra en el origen, la distancia entre los objetos viene dada por

El vector unitario del objeto 1 al objeto 2 es

y por lo tanto

Por lo tanto, el campo vectorial gravitacional F ejercido por el objeto 1 sobre el objeto 2 es

Este es un ejemplo de un campo vectorial radial en R³.
La figura 10.12_7 muestra cómo se ve este campo gravitacional para una gran masa en el origen. Tenga en cuenta que las magnitudes de los vectores aumentan a medida que los vectores se acercan al origen.

Figura 10.12.7 Una representación visual del campo vectorial gravitacional \( \mathbf{F} = -Gm_1m_2 \left\langle \frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3}, \frac{z}{r^3} \right\rangle \) para una gran masa en el origen. ♦

Punto de control 10.12.7

La masa del asteroide 1 es 750,000 kg y la masa del asteroide 2 es 130,000 kg. Asuma que el asteroide 1 está ubicado en el origen, y el asteroide 2 está ubicado en (15, \(-5\), 10), medido en unidades de \(10^8\) kilómetros. Dado que la constante gravitacional universal es \(G = 6.67384 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\), encuentre el vector de fuerza gravitacional que el asteroide 1 ejerce sobre el asteroide 2. ♦

Campos de gradiente

En esta sección, estudiamos un tipo especial de campo vectorial llamado campo de gradiente o campo conservador. Estos campos vectoriales son extremadamente importantes en física porque pueden usarse para modelar sistemas físicos en los que se conserva la energía. Los campos gravitacionales y los campos eléctricos asociados con una carga estática son ejemplos de campos de gradiente.

Recuerde que si f es una función (escalar) de x e y, entonces el gradiente de f es

Podemos ver en la forma en que se escribe el gradiente que ∇ f es un campo vectorial en R². Del mismo modo, si f es una función de x, y y z, entonces el gradiente de f es

El gradiente de una función de tres variables es un campo vectorial en R³.
Un campo de gradiente es un campo vectorial que se puede escribir como el gradiente de una función, y tenemos la siguiente definición.

Definición 10.12.2. Campo de gradiente

Un campo vectorial F en R² o en R³ es un campo de gradiente si existe una función escalar f tal que

∇ f = F.  ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_9. Dibujar un campo vectorial de gradiente

Use la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de f (x, y) = x²y².

Solución:

El gradiente de f es \( \nabla f = \langle 2xy^2, 2x^2y \rangle \). Para esbozar el campo vectorial, utilice un sistema algebraico computacional como Mathematica. La Figura 10.12.8 muestra \( \nabla f \).

Figura 10.12_8 El campo del vector gradiente es ∇f, donde f (x, y) = x²y².

Ejercicio de control 10.12.8

Use tecnología para trazar el campo vectorial gradiente de \( f(x, y) = \sin x \cos y \). ♦

Considere la función f (x, y) = x²y² del ejemplo anterior. La Figura 10.12_8 muestra las curvas de nivel de esta función superpuestas en el campo vectorial de gradiente de la función. Los vectores de gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel, y las magnitudes de los vectores se hacen más grandes a medida que las curvas de nivel se acercan, porque las curvas de nivel estrechamente agrupadas indican que el gráfico es empinado, y la magnitud del vector de gradiente es el valor más grande de derivado direccional. Por lo tanto, puede ver la inclinación local de un gráfico investigando el campo de gradiente de la función correspondiente.

Figura 10.12_9 El campo de gradiente de f (x, y) = x²y² y varias curvas de nivel de f. Observe que a medida que las curvas de nivel se acercan, aumenta la magnitud de los vectores de gradiente.

       Como aprendimos anteriormente, un campo vectorial F es un campo vectorial conservador, o un campo de gradiente si existe una función escalar f tal que ∇f = F. En esta situación, f se denomina función potencial para F. Los campos vectoriales conservadores surgen en muchas aplicaciones, particularmente en física. La razón por la cual estos campos se llaman conservadores es porque modelan las fuerzas de los sistemas físicos en los que se conserva la energía. Estudiamos los campos vectoriales conservadores con más detalle más adelante en este capítulo.

Puede notar que, en algunas aplicaciones, una función potencial f para F se define como una función tal que −∇f = F. Este es el caso de ciertos contextos en física, por ejemplo.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_10. Verificación de una función potencial

¿Es f (x, y, z) = x²yz − sen (xy) una función potencial para el campo vectorial

Solución:
Necesitamos confirmar si ∇f = F. Tenemos

Por lo tanto, ∇f = F y f es una función potencial para F. ♦

Ejercicio de control 10.12.9

¿Es \( f(x, y, z) = x^2 \cos(yz) + y^2 z^2 \) una función potencial para \( \mathbf{F}(x, y, z) = \langle 2x \cos(yz), -x^2z \sin(yz) + 2yz^2, -x^2y \sin(yz) + y^2 \rangle \)? ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_11. Verificación de una función potencial

La velocidad de un fluido se modela por el campo

Comprueba que

es una función potencial para v.

Solución:
Para mostrar que f es una función potencial, debemos mostrar que ∇f = v. Tenga en cuenta que

Por lo tanto,

y f es una función potencial para v. Vea la figura 10.12.10:

Figura 10.12_10 El campo de velocidad v(x, y) tiene una función potencial y es un campo conservador. ♦

Ejercicio de control 10.12.10

Verificar que \( f(x, y) = x^3y^2 + x \) es una función potencial para el campo de velocidad \( \mathbf{v}(x, y) = \langle 3x^2y^2, 2x^3y \rangle \). ♦

       Si F es un campo vectorial conservador, entonces hay al menos una función potencial f tal que ∇f = F. Pero, ¿podría haber más de una función potencial? Si es así, ¿hay alguna relación entre dos funciones potenciales para el mismo campo vectorial? Antes de responder estas preguntas, recordemos algunos hechos del cálculo de una sola variable para guiar nuestra intuición. Recuerde que si k (x) es una función integrable, entonces k tiene infinitas antiderivadas. Además, si F y G son ambas antiderivadas de k, entonces F y G difieren solo por una constante. Es decir, hay algún número C tal que F (x) = G (x) + C.
Ahora dejemos que F sea un campo vectorial conservador y que f y g sean funciones potenciales para F. Dado que el gradiente es como una derivada, F ser conservador significa que F es “integrable” con “antiderivadas” f y g. Por lo tanto, si la analogía con el cálculo de una sola variable es válida, esperamos que haya una constante C tal que f (x) = g (x) + C. El siguiente teorema dice que este es el caso.

Para establecer con precisión el siguiente teorema, debemos suponer que el dominio del campo vectorial está conectado y abierto. Estar conectado significa que si P₁ y P₂ son dos puntos en el dominio, puede caminar de P₁ a P₂ a lo largo de una ruta que se mantiene completamente dentro del dominio.

TEOREMA 10.12.1 Singularidad de las funciones potenciales

Sea F un campo vectorial conservador en un dominio abierto y conectado y sean f  y  g funciones tales que ∇f = F  y  ∇g = F. Entonces, hay una constante C tal que  f = g + C. ♦

Prueba:

Como f  y g son funciones potenciales para F, entonces ∇(f − g) = ∇f − ∇g = F − F = 0. Deje h = f − g, entonces tenemos ∇h = 0. Nos gustaría mostrar que h es una función constante.

Suponga que h es una función de x e y (la lógica de esta demostración se extiende a cualquier número de variables independientes). Como ∇h = 0, tenemos  h_x = 0 y h_y = 0. La expresión h_x = 0 implica que h es una función constante con respecto a x, es decir, h (x, y) = k₁(y) para alguna función k₁. Del mismo modo, h_y = 0 implica h (x, y) = k₂(x) para alguna función k₂. Por lo tanto, la función h depende solo de y y también depende solo de x. Por lo tanto, h (x, y) = C para alguna constante C en el dominio conectado de F. Tenga en cuenta que realmente necesitamos conexión en este punto; si el dominio de F viene en dos piezas separadas, entonces k podría ser un constante C₁ en una pieza pero podría ser una constante diferente C₂ en la otra pieza. Como  f − g = h = C, tenemos que f = g + C, según lo deseado. ♦

Los campos vectoriales conservadores también tienen una propiedad especial llamada propiedad transversal parcial. Esta propiedad ayuda a probar si un campo vectorial dado es conservador.

TEOREMA 10.12.2 La propiedad transversal de los campos vectoriales conservadores

Sea $\mathbf{F}$ un campo vectorial en dos o tres dimensiones tal que las funciones componentes de $\mathbf{F}$ tienen derivadas parciales continuas de primer orden en el dominio de $\mathbf{F}$.

Si $\mathbf{F}(x,y) = \langle P(x,y), Q(x,y) \rangle$ es un campo vectorial conservativo en $\mathbb{R}^2$, entonces $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$. Si $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) \rangle$ es un campo vectorial conservativo en $\mathbb{R}^3$, entonces

♦

Prueba:

Como F es conservador, existe una función f (x, y) tal que ∇f = F. Por lo tanto, según la definición del gradiente, f_x = P y f_y = Q. Según el teorema de Clairaut,  f_xy = f_yx, pero, f_{x y} = P _y  y  f_{y x} = Q _x, y por lo tanto P_y = Q _x. ♦

       El teorema de Clairaut ofrece una prueba rápida de la propiedad transversal parcial de los campos vectoriales conservadores en R³, tal como lo hizo para los campos vectoriales en R².
La propiedad transversal parcial de los campos vectoriales conservadores muestra que la mayoría de los campos vectoriales no son conservadores. La propiedad transversal parcial es difícil de satisfacer en general, por lo que la mayoría de los campos vectoriales no tendrán transversales parciales iguales.

Ejemplo ilustrativo 10.12_12. Mostrar un campo vectorial no conservador

Muestre que el campo vectorial rotacional \( \mathbf{F}(x, y) = \langle y, -x \rangle \) no es conservativo. ♦

Solución:
Sea P (x, y) = y  y  Q (x, y) = − x. Si F es conservador, entonces los transversales parciales serían iguales, es decir, P_y sería igual a Q_x. Por lo tanto, para mostrar que F no es conservador, verifique que P_y ≠ Q_x.  Como P_y = 1 y Q_x = −1, el campo vectorial no es conservador. ♦

Ejercicio de control 10.12.11

Muestre que el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = y\mathbf{i} – x^2xy \mathbf{j} \) no es conservativo. ♦

Ejemplo ilustrativo 10.12_13. Mostrar un campo vectorial no conservador

¿Es conservativo el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y, z) = \langle 7, -2, x^3 \rangle \)?

Solución:
Sea P (x, y, z) = 7, Q (x, y, z) = – 2 y R (x, y, z) = x³. Si F es conservador, entonces se satisfarán las tres ecuaciones parciales cruzadas, es decir, si F es conservador, entonces P_y sería igual a Q_x, Q_z sería igual a R_y y R_x sería igual a P_z. Tenga en cuenta que P_y = Q_x = R_y = Q_z = 0, por lo que se mantienen las dos primeras igualdades necesarias. Sin embargo, R_x = 3x³ y P_z = 0, entonces R_x ≠ P_z. Por lo tanto, F no es conservador. ♦

Ejercicio de control 10.12.12

¿Es conservativo el campo vectorial \( \mathbf{G}(x, y, z) = \langle y, x, xyz \rangle \)? ♦

Concluimos esta sección con una palabra de advertencia: La propiedad de las derivadas parciales cruzadas de campos vectoriales conservativos dice que si \( \mathbf{F} \) es conservativo, entonces \( \mathbf{F} \) tiene la propiedad de las derivadas parciales cruzadas. El teorema no dice que, si \( \mathbf{F} \) tiene la propiedad de las derivadas parciales cruzadas, entonces \( \mathbf{F} \) es conservativo (la inversa de una implicación no es lógicamente equivalente a la implicación original). En otras palabras, La propiedad de las derivadas parciales cruzadas de campos vectoriales conservativos solo puede ayudar a determinar que un campo no es conservativo; no le permite concluir que un campo vectorial es conservativo. Por ejemplo, considere el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y) = \langle x^2y, \frac{x^3}{3} \rangle \). Este campo tiene la propiedad de las derivadas parciales cruzadas, por lo que es natural intentar usar La propiedad de las derivadas parciales cruzadas de campos vectoriales conservativos para concluir que este campo vectorial es conservativo. Sin embargo, esta es una aplicación errónea del teorema. Aprenderemos más adelante cómo concluir que \( \mathbf{F} \) es conservativo.