| 4.10 Antiderivadas |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.10

        Para los siguientes ejercicios, demuestre que F(x) son antiderivadas de f (x):

  1. \( F(x) = 5x^3 + 2x^2 + 3x + 1, \quad f(x) = 15x^2 + 4x + 3 \)
  2. \( F(x) = x^2 + 4x + 1, \quad f(x) = 2x + 4 \)
  3. \( F(x) = x^2 e^x, \quad f(x) = e^x (x^2 + 2x) \)
  4. \( F(x) = \cos x, \quad f(x) = – \sin x \)
  5. \( F(x) = e^x, \quad f(x) = e^x \)

      Para los siguientes ejercicios, encuentre la antiderivada de la función:

  1. \( f(x) = \frac{1}{x^2} + x \)
  2. \( f(x) = e^x – 3x^2 + \sin x \)
  3. \( f(x) = e^x + 3x – x^2 \)
  4. \( f(x) = x – 1 + 4\sin(2x) \)

      Para los siguientes ejercicios, encuentre la antiderivada F(x) de cada función f (x):

  1. \( f(x) = x + 12x^2 \)
  2. \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \)
  3. \( f(x) = (\sqrt{x})^3 \)
  4. \( f(x) = x^{1/3} + (2x)^{1/3} \)
  5. \( f(x) = \frac{x^{1/3}}{x^{2/3}} \)
  6. \( f(x) = 2\sin(x) + \sin(2x) \)
  7. \( f(x) = \sec^2(x) + 1 \)
  8. \( f(x) = \sin x \cos x \)
  9. \( f(x) = \sin^2(x) \cos(x) \)
  10. \( f(x) = 0 \)
  11. \( f(x) = \frac{1}{2} \csc^2(x) + \frac{1}{x^2} \)
  12. \( f(x) = \csc x \cot x + 3x \)
  13. \( f(x) = 4 \csc x \cot x – \sec x \tan x \)
  14. \( f(x) = 8 \sec x (\sec x – 4 \tan x) \)
  15. \( f(x) = \frac{1}{2}e^{-4x} + \sin x \)

        Para los siguientes ejercicios, evalúe la integral:

  1. \( \int (-1) \, dx \)
  2. \( \int \sin x \, dx \)
  3. \( \int (4x + \sqrt{x}) \, dx \)
  4. \( \int \frac{3x^2 + 2}{x^2} \, dx \)
  5. \( \int (\sec x \tan x + 4x) \, dx \)
  6. \( \int (4 \sqrt{x} + \sqrt[4]{x}) \, dx \)
  7. \( \int (x^{-1/3} – x^{2/3}) \, dx \)
  8. \( \int \frac{14x^3 + 2x + 1}{x^3} \, dx \)
  9. \( \int (e^x + e^{-x}) \, dx \)

      Para los siguientes ejercicios, resuelva el problema de valor inicial:

  1. \( f'(x) = x^{-3}, \quad f(1) = 1 \)
  2. \( f'(x) = \sqrt{x} + x^2, \quad f(0) = 2 \)
  3. \( f'(x) = \cos x + \sec^2(x), \quad f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \)
  4. \( f'(x) = x^3 – 8x^2 + 16x + 1, \quad f(0) = 0 \)
  5. \( f'(x) = \frac{2}{x^2} – \frac{x^2}{2}, \quad f(1) = 0 \)

      Para los siguientes ejercicios, encuentre dos posibles funciones f dadas las derivadas de segundo o tercer orden:

  1. \( f”(x) = x^2 + 2 \)
  2. \( f”(x) = e^{-x} \)
  3. \( f”(x) = 1 + x \)
  4. \( f”'(x) = \cos x \)
  5. \( f”'(x) = 8e^{-2x} – \sin x \)
  1. En el problema anterior, calcule qué tan lejos viaja el automóvil en el tiempo que tarda en detenerse.
  2. Se está incorporando a la autopista, acelerando desde el reposo a una velocidad constante de 12 pies/seg². ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la velocidad de incorporación de 60 mph?
  3. Según el problema anterior, ¿qué tan lejos viaja el automóvil para alcanzar la velocidad de incorporación?
  4. Una empresa automotriz quiere asegurarse de que su modelo más nuevo pueda detenerse en 8 segundos cuando viaja a 75 mph. Si asumimos una desaceleración constante, encuentre el valor de desaceleración que logra esto.
  5. Una empresa automotriz quiere asegurarse de que su modelo más nuevo pueda detenerse en menos de 450 pies cuando viaja a 60 mph. Si asumimos una desaceleración constante, encuentre el valor de desaceleración que logra esto.

      Para los siguientes ejercicios, encuentre la antiderivada de la función, asumiendo que F(0) = 0:

  1. [T] \( f(x) = x^2 + 2 \)
  2. [T] \( f(x) = 4x – \sqrt{x} \)
  3. [T] \( f(x) = \sin x + 2x \)
  4. [T] \( f(x) = e^x \)
  5. [T] \( f(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \)
  6. [T] \( f(x) = e^{-2x} + 3x^2 \)

      Para los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Pruebe que es verdadera o encuentre un contraejemplo si es falsa:

  1. Si \( f(x) \) es la antiderivada de \( v(x) \), entonces \( 2f(x) \) es la antiderivada de \( 2v(x) \).
  2. Si \( f(x) \) es la antiderivada de \( v(x) \), entonces \( f(2x) \) es la antiderivada de \( v(2x) \).
  3. Si \( f(x) \) es la antiderivada de \( v(x) \), entonces \( f(x) + 1 \) es la antiderivada de \( v(x) + 1 \).
  4. Si \( f(x) \) es la antiderivada de \( v(x) \), entonces \( (f(x))^2 \) es la antiderivada de \( (v(x))^2 \).
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2 comentarios en “Antiderivadas”

  1. Alper dos Santos

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