Ya hemos examinado funciones de más de una variable y visto cómo graficarlas. En esta sección, veremos cómo tomar el límite de una función de más de una variable y qué significa que una función de más de una variable sea continua en un punto de su dominio. Resulta que estos conceptos tienen aspectos que simplemente no ocurren con funciones de una sola variable.
Límite de una función de dos variables
Recuerda, a partir de El límite de una función, la definición de límite de una función de una variable:
Sea \(f(x)\) definida para todo \(x \neq a\) en un intervalo abierto que contenga a \(a\). Sea \(L\) un número real. Entonces
$$ \lim_{x\to a} f(x) = L $$
si para cada \(\epsilon > 0\), existe un \(\delta > 0\), tal que si \(0 < |x - a| < \delta\) para todo \(x\) en el dominio de \(f\), entonces
$$ |f(x) – L| < \epsilon $$
Antes de poder adaptar esta definición para definir el límite de una función de dos variables, primero necesitamos ver cómo extender la idea de un intervalo abierto en una variable a un intervalo abierto en dos variables.
DEFINICIÓN
Considere un punto \((a, b) \in \mathbb{R}^2\). Un \(\delta\) disco centrado en el punto \((a, b)\) se define como un disco abierto de radio \(\delta\) centrado en el punto \((a, b)\); esto es,
Figura 11.2.1 Un δ disco centrado en el punto (2,1).
La idea de un δdisco aparece en la definición del límite de una función de dos variables. Si δ es pequeño, entonces todos los puntos (x, y) en el δdisco están cerca de (a, b). Esto es completamente análogo a que x esté cerca de a en la definición del límite de una función de una variable. En una dimensión, expresamos esta restricción como
a − δ < x < a + δ.
En más de una dimensión, usamos un δdisco.
DEFINICIÓN
Sea \(f\) una función de dos variables, \(x\) e \(y\). El límite de \(f(x, y)\) cuando \((x, y)\) se aproxima a \((a, b)\), escrito
$$ \lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = L $$
si para cada \(\epsilon > 0\) existe un \(\delta\) lo suficientemente pequeño \(> 0\) tal que para todos los puntos \((x, y)\) en un \(\delta\) disco alrededor de \((a, b)\), excepto posiblemente para \((a, b)\) mismo, el valor de \(f(x, y)\) no está a más de \(\epsilon\) de \(L\) (Figura 11.2.2). Usando símbolos, escribimos lo siguiente: Para cualquier \(\epsilon > 0\), existe un número \(\delta > 0\) tal que
Figura 11.2.2 El límite de una función que involucra dos variables requiere que esté a una distancia menor que de siempre que esté a una distancia menor que de . Cuanto menor sea el valor de , menor será el valor de .
Demostrar que un límite existe usando la definición del límite de una función de dos variables puede ser difícil. En su lugar, usamos el siguiente teorema, que nos proporciona atajos para hallar límites. Las fórmulas de este teorema son una extensión de las fórmulas del teorema de las leyes de los límites presentado en Las leyes de los límites.
TEOREMA 11.2.1: Leyes de límites para funciones de dos variables
Sean \(f(x, y)\) y \(g(x, y)\) definidas para todo \((x, y) \neq (a, b)\) en una vecindad alrededor de \((a, b)\), y asuma que la vecindad está contenida completamente dentro del dominio de \(f\). Asuma que \(L\) y \(M\) son números reales tales que
$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} f(x, y) = L \quad \text{y} \quad \lim_{(x, y)\to(a, b)} g(x, y) = M $$
y sea \(c\) una constante. Entonces, cada una de las siguientes afirmaciones se cumple:
Ley de la Constante:
$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} c = c $$
(11.2.1)
Leyes de Identidad:
$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} x = a $$
(11.2.2)
$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} y = b $$
(11.2.3)
Ley de la Suma:
$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} (f(x, y) + g(x, y)) = L + M $$
(11.2.4)
Ley de la Diferencia:
$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} (f(x, y) – g(x, y)) = L \, – M $$
(11.2.5)
Ley del Múltiplo Constante:
$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} (c f(x, y)) = c L $$
(11.2.6)
Ley del Producto:
$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} (f(x, y) g(x, y)) = L M $$
para todo \(L\), si \(n\) es impar y positivo, y para \(L > 0\) si \(n\) es par y positivo, siempre que \(f(x, y) \geq 0\) para todo \((x, y) \neq (a, b)\) en una vecindad de \((a, b)\).
Las demostraciones de estas propiedades son similares a las de los límites de funciones de una variable. Podemos aplicar estas leyes para hallar límites de diversas funciones.
Ejemplo ilustrativo 11.2.1: Encontrar el límite de una función de dos variables
Dado que el límite del denominador es no cero, ahora calculamos el límite del numerador usando la ley de la suma, la ley del múltiplo constante, y la ley de la identidad:
Como tomamos el límite de una función de dos variables, el punto (a, b) está en ℝ2, y es posible acercarse a este punto desde un número infinito de direcciones. A veces, al calcular un límite, la respuesta varía según el camino que se siga hacia (a, b). Si este es el caso, entonces el límite no existe. En otras palabras, el límite debe ser único, independientemente del camino tomado.
Ejemplo ilustrativo 11.2.2: Límites que no existen
Demuestre que ninguno de los siguientes límites existe:
a. \( \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy}{3x^2+y^2} \)
b. \( \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+3y^4} \)
Solución:
a. El dominio de la función \( f(x,y) = \dfrac{2xy}{3x^2+y^2} \) consiste en todos los puntos del plano \(xy\),
excepto el punto \((0,0)\) (Figura 11.2.3). Para mostrar que el límite no existe cuando \((x,y)\) se aproxima a \((0,0)\),
observamos que es imposible satisfacer la definición de límite de una función de dos variables, debido a que la función
toma valores diferentes a lo largo de distintas rectas que pasan por el punto \((0,0)\).
Primero, considere la recta \( y = 0 \) en el plano \(xy\). Al sustituir \( y = 0 \) en \( f(x,y) \) se obtiene
\( f(x,0) = \dfrac{2x(0)}{3x^2+0^2} = 0 \)
para cualquier valor de \(x\). Por lo tanto, el valor de \(f\) permanece constante para cualquier punto sobre el eje \(x\),
y cuando \(y\) se aproxima a cero, la función permanece fijada en cero.
A continuación, considere la recta \( y = x \). Al sustituir \( y = x \) en \( f(x,y) \) se obtiene
Esto es válido para cualquier punto sobre la recta \( y = x \). Si hacemos que \(x\) se aproxime a cero permaneciendo sobre
esta recta, el valor de la función permanece fijo en \( \tfrac{1}{2} \), independientemente de cuán pequeño sea \(x\).
Elija un valor de \( \varepsilon \) que sea menor que \( \tfrac{1}{2} \) —por ejemplo, \( \tfrac{1}{4} \).
Entonces, sin importar cuán pequeño sea el disco de radio \( \delta \) que tracemos alrededor de \((0,0)\),
los valores de \( f(x,y) \) para puntos dentro de ese disco \( \delta \) incluirán tanto \(0\) como \( \tfrac{1}{2} \).
Por lo tanto, la definición de límite en un punto nunca se satisface y el límite no existe.
Figura 11.2.3 Gráfica de la función \( f(x,y) = \dfrac{2xy}{3x^2 + y^2} \).
A lo largo de la recta \( y = 0 \), la función es igual a cero;
a lo largo de la recta \( y = x \), la función es igual a \( \tfrac{1}{2} \).
b. De manera similar al inciso a., podemos aproximarnos al origen a lo largo de cualquier recta que pase por el origen.
Si intentamos el eje \(x\) (es decir, \( y = 0 \)), entonces la función permanece fija en cero.
Lo mismo ocurre para el eje \(y\).
Supongamos que nos aproximamos al origen a lo largo de una recta de pendiente \(k\).
La ecuación de esta recta es \( y = kx \).
Entonces el límite se convierte en
independientemente del valor de \(k\).
Parecería que el límite es igual a cero.
¿Qué ocurre si elegimos una curva que pase por el origen?
Por ejemplo, podemos considerar la parábola dada por la ecuación \( x = y^2 \).
Al sustituir \( y^2 \) en lugar de \( x \) en \( f(x,y) \) se obtiene
Por la misma lógica que en el inciso a., es imposible encontrar un disco de radio \( \delta \) alrededor del origen
que satisfaga la definición de límite para cualquier valor de \( \varepsilon < 1 \).
Por lo tanto,
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+3y^4}
\]
no existe.
Ejercicio de control 11.2.2
Demuestre que
\[
\lim_{(x,y)\to(2,1)} \frac{(x-2)(y-1)}{(x-2)^2 + (y-1)^2}
\]
no existe. ♦
Puntos interiores y puntos en la frontera
Para estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de una función de dos o más variables, primero necesitamos aprender algo de nueva terminología.
DEFINICIÓN
Sea \( S \) un subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) (Figura 11.2.4).
Un punto \( P_0 \) se llama un punto interior de \( S \)
si existe un disco de radio \( \delta \) centrado en \( P_0 \)
que esté contenido completamente en \( S \).
Un punto \( P_0 \) se llama un punto frontera de \( S \)
si todo disco de radio \( \delta \) centrado en \( P_0 \)
contiene puntos tanto dentro como fuera de \( S \).
Figura 11.2.4 En el conjunto S mostrado, (−1, 1) es un punto interior y (2, 3) es un punto de frontera.
DEFINICIÓN
Sea \( S \) un subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) (Figura 11.2.4).
\( S \) se llama un conjunto abierto si todo punto de \( S \)
es un punto interior.
\( S \) se llama un conjunto cerrado si contiene todos sus
puntos frontera.
Un ejemplo de un conjunto abierto es un disco δ (o disco abierto de radio δ). Si incluimos la frontera del disco, entonces se convierte en un conjunto cerrado. Un conjunto que contiene algunos, pero no todos, de sus puntos frontera no es ni abierto ni cerrado. Por ejemplo, si incluimos la mitad de la frontera de un disco δ pero no la otra mitad, entonces el conjunto no es ni abierto ni cerrado.
DEFINICIÓN
Sea \( S \) un subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) (Figura 11.2.4).
Un conjunto abierto \( S \) se llama un conjunto conexo
si no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos,
disjuntos y no vacíos.
Un conjunto \( S \) se llama una región
si es abierto, conexo y no vacío.
La definición de un límite de una función de dos variables requiere que el disco δ esté contenido dentro del dominio de la función. Sin embargo, si deseamos encontrar el límite de una función en un punto fronteradel dominio, el disco δ no está contenido dentro del dominio. Por definición, algunos de los puntos del disco δ están dentro del dominio y otros están fuera. Por lo tanto, solo necesitamos considerar los puntos que están dentro tanto del disco δ como del dominio de la función. Esto conduce a la definición del límite de una función en un punto frontera.
DEFINICIÓN
Sea \( f \) una función de dos variables, \( x \) e \( y \), y suponga que
\( (a,b) \) está en la frontera del dominio de \( f \).
Entonces, el límite de \( f(x,y) \) cuando \( (x,y) \) se aproxima a \( (a,b) \)
es \( L \), lo cual se escribe
\[
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L,
\]
si para todo \( \varepsilon > 0 \) existe un número \( \delta > 0 \) tal que,
para todo punto \( (x,y) \) dentro del dominio de \( f \) y a una distancia positiva
suficientemente pequeña \( \delta \) de \( (a,b) \), el valor de \( f(x,y) \)
no difiere de \( L \) en más de \( \varepsilon \)
(Figura 11.2.2).
Usando símbolos, podemos escribir:
Para todo \( \varepsilon > 0 \), existe un número \( \delta > 0 \) tal que
El dominio de la función $f(x,y) = \sqrt{25 – x^2 – y^2}$ es $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 \leq 25\}$, que es un círculo de radio 5 centrado en el origen, junto con su interior, como se muestra en el siguiente gráfico.
Figura 11.2.5 Dominio de la función $f(x,y) = \sqrt{25 – x^2 – y^2}.$
Podemos usar las leyes de los límites, las cuales se aplican a los límites en la frontera de los dominios así como a los puntos interiores:
En Continuidad, definimos la continuidad de una función de una variable y vimos cómo dependía del límite de una función de una variable. En particular, tres condiciones son necesarias para que $f(x)$ sea continua en el punto $x = a$:
$f(a)$ existe.
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$
Estas tres condiciones son necesarias para la continuidad de una función de dos variables también.
Definición
Una función $f(x, y)$ es continua en un punto $(a, b)$ de su dominio si se cumplen las siguientes condiciones:
Ejemplo ilustrativo 11.2.4: Demostración de la continuidad de una función de dos variables
Demuestre que la función $f(x, y) = \frac{3x+2y}{x+y+1}$ es continua en el punto $(5, -3)$.
Solución:
Hay tres condiciones que deben cumplirse, según la definición de continuidad. En este ejemplo, $a = 5$ y $b = -3$.
$f(a, b)$ existe. Esto es cierto porque el dominio de la función $f$ consiste en aquellos pares ordenados para los cuales el denominador no es cero (es decir, $x + y + 1 \neq 0$). El punto $(5, -3)$ cumple con esta condición. Además,
$$f(a, b) = f(5, -3) = \frac{3(5) + 2(-3)}{5 + (-3) + 1} = \frac{15 – 6}{2 + 1} = 3.$$
$\displaystyle \lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a, b)$. Esto es cierto porque acabamos de demostrar que ambos lados de esta ecuación son iguales a tres.
♦
Ejercicio de control 11.2.4
Demuestre que la función $f(x, y) = \sqrt{26 – 2x^2 – y^2}$ es continua en el punto $(2, -3)$. ♦
La continuidad de una función de cualquier número de variables también puede definirse en términos de delta y épsilon. Una función de dos variables es continua en un punto $(x_0, y_0)$ de su dominio si para cada $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que,
siempre que $\sqrt{(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2} < \delta$ sea cierto, entonces $|f(x, y) - f(a, b)| < \varepsilon$. Esta definición puede combinarse con la definición formal (es decir, la definición épsilon-delta) de la continuidad de una función de una variable para demostrar los siguientes teoremas:
Teorema 11.2.2: La suma de funciones continuas es continua
Si $f(x, y)$ es continua en $(x_0, y_0)$, y $g(x, y)$ es continua en $(x_0, y_0)$, entonces $f(x, y) + g(x, y)$ es continua en $(x_0, y_0)$. ♦
Teorema 11.2.3: El producto de funciones continuas es continuo
Si $g(x)$ es continua en $x_0$ y $h(y)$ es continua en $y_0$, entonces $f(x, y) = g(x)h(y)$ es continua en $(x_0, y_0)$. ♦
Teorema 11.2.4: La composición de funciones continuas es continua
Sea $g$ una función de dos variables de un dominio $D \subseteq \mathbb{R}^2$ a un rango $R \subseteq \mathbb{R}$.
Suponga que $g$ es continua en algún punto $(x_0, y_0) \in D$ y defina $z_0 = g(x_0, y_0)$.
Sea $f$ una función que mapea $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ tal que $z_0$ está en el dominio de $f$.
Finalmente, suponga que $f$ es continua en $z_0$. Entonces $f \circ g$ es continua en $(x_0, y_0)$ como se muestra en la siguiente figura.
Figura 11.2.7 La composición de dos funciones continuas es continua.
♦
Ejemplo ilustrativo 11.2.5: Más ejemplos de continuidad de una función de dos variables
Demuestre que las funciones $f(x, y) = 4x^3 y^2$ y $g(x, y) = \cos(4x^3 y^2)$ son continuas en todas partes.
Solución:
Los polinomios $g(x) = 4x^3$ y $h(y) = y^2$ son continuos en cada número real y, por lo tanto, por el teorema del producto de funciones continuas, $f(x, y) = 4x^3 y^2$ es continua en cada punto $(x, y)$ del plano $xy$.
Dado que $f(x, y) = 4x^3 y^2$ es continua en cada punto $(x, y)$ del plano $xy$ y $g(x) = \cos x$ es continua en cada número real $x$, la continuidad de la composición de funciones nos indica que $g(x, y) = \cos(4x^3 y^2)$ es continua en cada punto $(x, y)$ del plano $xy$. ♦
Ejercicio de control 11.2.5
Demuestre que las funciones $f(x, y) = 2x^2 y^3 + 3$ y $g(x, y) = (2x^2 y^3 + 3)^4$ son continuas en todas partes. ♦
Funciones de tres o más variables
El límite de una función de tres o más variables aparece con frecuencia en las aplicaciones. Por ejemplo, supongamos que tenemos una función $f(x, y, z)$ que nos da la temperatura en una ubicación física $(x, y, z)$ en tres dimensiones. O tal vez una función $g(x, y, z, t)$ puede indicar la presión del aire en una ubicación $(x, y, z)$ en el tiempo $t$. ¿Cómo podemos tomar un límite en un punto en $\mathbb{R}^3$? ¿Qué significa ser continuo en un punto en cuatro dimensiones?
Las respuestas a estas preguntas se basan en extender el concepto de un disco $\delta$ a más de dos dimensiones. Entonces, las ideas del límite de una función de tres o más variables y la continuidad de una función de tres o más variables son muy similares a las definiciones dadas anteriormente para una función de dos variables.
Definición
Sea $(x_0, y_0, z_0)$ un punto en $\mathbb{R}^3$. Entonces, una bola $\delta$ en tres dimensiones consiste en todos los puntos en $\mathbb{R}^3$ que se encuentran a una distancia menor que $\delta$ de $(x_0, y_0, z_0)$—es decir,
Para definir una bola $\delta$ en dimensiones superiores, añada términos adicionales bajo el radical para que correspondan a cada dimensión adicional. Por ejemplo, dado un punto $P = (w_0, x_0, y_0, z_0)$ en $\mathbb{R}^4$, una bola $\delta$ alrededor de $P$ puede describirse mediante
Para demostrar que el límite de una función de tres variables existe en un punto $(x_0, y_0, z_0)$, basta con demostrar que para cualquier punto en una bola $\delta$ centrada en $(x_0, y_0, z_0)$, el valor de la función en ese punto está arbitrariamente cerca de un valor fijo (el valor del límite). Todas las leyes de los límites para funciones de dos variables también se aplican a funciones de más de dos variables.
Ejemplo ilustrativo 11.2.6: Cálculo del límite de una función de tres variables
Calcule $\displaystyle \lim_{(x, y, z) \to (4, 1, -3)} \frac{x^2 y – 3z}{2x + 5y – z}$.
Solución:
Antes de poder aplicar la ley del cociente, debemos verificar que el límite del denominador sea distinto de cero. Usando la ley de la diferencia, la ley de la identidad y la ley de la constante,
Dado que este valor es distinto de cero, a continuación encontramos el límite del numerador. Usando la ley del producto, la ley de la diferencia, la ley del múltiplo constante y la ley de la identidad,
