| 11. Diferenciación de funciones de varias variables | 11.2 Límites y continuidad de una función multivariable |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 11.2
Para los siguientes ejercicios, calcule el límite de la función.
60. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 2)} x$
61. $\displaystyle \lim_{(x, y) \to (1, 2)} \frac{5x^2 y}{x^2 + y^2}$
62. Demuestre que el límite $\displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{5x^2 y}{x^2 + y^2}$ existe y es el mismo a lo largo de las trayectorias: eje $y$ y eje $x$, y a lo largo de $y = x$.
Para los siguientes ejercicios, evalúe los límites en los valores indicados de $x$ e $y$. Si el límite no existe, indíquelo y explique por qué no existe.
63. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{4x^2 + 10y^2 + 4}{4x^2 – 10y^2 + 6}$
64. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (11,13)} \sqrt{\frac{1}{xy}}$
65. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,1)} \frac{y^2 \sin x}{x}$
66. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sin \left( \frac{x^8 + y^7}{x – y + 10} \right)$
67. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (\pi/4, 1)} \frac{y \tan x}{y + 1}$
68. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0, \pi/4)} \frac{\sec x + 2}{3x – \tan y}$
69. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (2,5)} \left( \frac{1}{x} – \frac{5}{y} \right)$
70. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (4,4)} x \ln y$
71. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (4,4)} e^{-x^2 – y^2}$
72. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{9 – x^2 – y^2}$
73. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (1,2)} (x^2y^3 – x^3y^2 + 3x + 2y)$
74. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (\pi, \pi)} x \sin \left( \frac{x+y}{4} \right)$
75. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy + 1}{x^2 + y^2 + 1}$
76. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2 + 1} – 1}$
77. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \ln(x^2 + y^2)$
Para los siguientes ejercicios, complete la afirmación.
78. Un punto $(x_0, y_0)$ en una región plana $R$ es un punto interior de $R$ si .
79. Un punto $(x_0, y_0)$ en una región plana $R$ se llama punto frontera de $R$ si .
Para los siguientes ejercicios, utilice técnicas algebraicas para evaluar el límite.
80. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (2,1)} \frac{x – y – 1}{\sqrt{x – y} – 1}$
81. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^4 – 4y^4}{x^2 + 2y^2}$
82. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 – y^3}{x – y}$
83. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 – xy}{\sqrt{x} – \sqrt{y}}$
Para los siguientes ejercicios, evalúe los límites de las funciones de tres variables.
84. $\displaystyle \lim_{(x,y,z) \to (1,2,3)} \frac{xz^2 – y^2 z}{xyz – 1}$
85. $\displaystyle \lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)} \frac{x^2 – y^2 – z^2}{x^2 + y^2 – z^2}$
Para los siguientes ejercicios, evalúe el límite de la función determinando el valor al que se aproxima la función a lo largo de las trayectorias indicadas. Si el límite no existe, explique por qué.
86. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy + y^3}{x^2 + y^2}$
- a. A lo largo del eje $x$ ($y = 0$)
- b. A lo largo del eje $y$ ($x = 0$)
- c. A lo largo de la trayectoria $y = 2x$
87. Evalúe $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy + y^3}{x^2 + y^2}$ utilizando los resultados del problema anterior.
88. $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$
- a. A lo largo del eje $x$ ($y = 0$)
- b. A lo largo del eje $y$ ($x = 0$)
- c. A lo largo de la trayectoria $y = x^2$
89. Evalúe $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ utilizando los resultados del problema anterior.
Analice la continuidad de las siguientes funciones. Encuentre la región más grande en el plano $xy$ en la que las siguientes funciones son continuas.
90. $f(x, y) = \sin(xy)$
91. $f(x, y) = \ln(x + y)$
92. $f(x, y) = e^{3xy}$
93. $f(x, y) = \frac{1}{xy}$
Para los siguientes ejercicios, determine la región en la que la función es continua. Explique su respuesta.
94. $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$
95. $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{si } (x, y) = (0, 0) \end{cases}$
(Sugerencia: Demuestre que la función se aproxima a valores diferentes a lo largo de dos trayectorias distintas).
96. $f(x, y) = \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$
97. Determine si $g(x, y) = \frac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2}$ es continua en $(0, 0)$.
98. Cree una gráfica utilizando software de representación gráfica para determinar dónde no existe el límite. Encuentre en qué parte del plano de coordenadas $f(x, y) = \frac{1}{x^2 – y}$ es continua.
99. Determine la región del plano $xy$ en la que la función $g(x, y) = \arctan \left( \frac{xy^2}{x + y} \right)$ es continua. Utilice la tecnología para respaldar su conclusión.
100. Determine la región del plano $xy$ en la que $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 – 1)$ es continua. Utilice la tecnología para respaldar su conclusión. (Sugerencia: ¡Elija el rango de valores para $x$ e $y$ con cuidado!)
101. ¿En qué puntos del espacio es continua $g(x, y, z) = x^2 + y^2 – 2z^2$?
102. ¿En qué puntos del espacio es continua $g(x, y, z) = \frac{1}{x^2 + z^2 – 1}$?
103. Demuestre que $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1}{x^2 + y^2}$ no existe en $(0,0)$ graficando la función.
104. [T] Evalúe $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{-xy^2}{x^2 + y^4}$ graficando la función usando un CAS (Sistema de Álgebra Computacional). Determine analíticamente el límite a lo largo de la trayectoria $x = y^2$.
105. [T]
- Utilice un CAS para dibujar un mapa de contorno de $z = \sqrt{9 – x^2 – y^2}$.
- ¿Cuál es el nombre de la forma geométrica de las curvas de nivel?
- Proporcione la ecuación general de las curvas de nivel.
- ¿Cuál es el valor máximo de $z$?
- ¿Cuál es el dominio de la función?
- ¿Cuál es el rango de la función?
106. Verdadero o Falso: Si evaluamos $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)$ a lo largo de varias trayectorias y cada vez el límite es 1, podemos concluir que $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = 1$.
107. Utilice coordenadas polares para encontrar $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin \sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$. También puede encontrar el límite usando la regla de L’Hôpital.
108. Utilice coordenadas polares para encontrar $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \cos(x^2 + y^2)$.
109. Analice la continuidad de $f(g(x, y))$ donde $f(t) = 1/t$ y $g(x, y) = 2x – 5y$.
110. Dado $f(x, y) = x^2 – 4y$, encuentre $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) – f(x, y)}{h}$.
111. Dado $f(x, y) = x^2 – 4y$, encuentre $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h, y) – f(1, y)}{h}$.