| 4. Aplicaciones de la derivada | Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.2 |

4.2 APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES

Objetivos de aprendizaje:

4.2.1 Describir la aproximación lineal a una función en un punto.
4.2.2 Escribir la linealización de una función dada.
4.2.3 Dibujar una gráfica que ilustre el uso de diferenciales para aproximar el cambio en una cantidad.
4.2.4 Calcular el error relativo y el error porcentual al usar una aproximación diferencial.

Acabamos de ver cómo las derivadas nos permiten comparar cantidades relacionadas que están cambiando con el tiempo. En esta sección, examinamos otra aplicación de las derivadas: la capacidad de aproximar funciones localmente mediante funciones lineales. Las funciones lineales son las funciones más fáciles con las que trabajar, por lo que proporcionan una herramienta útil para aproximar valores de funciones. Además, las ideas presentadas en esta sección se generalizan más adelante en el texto cuando estudiemos cómo aproximar funciones mediante polinomios y mediante series de potencias.

Aproximación lineal de una función en un punto

Considera una función \(f\) que es diferenciable en un punto \(x = a\). Recuerda que la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(a\) está dada por la ecuación:

\[ y = f(a) + f'(a)(x – a). \]

Por ejemplo, considera la función:

\[ f(x) = \frac{1}{x} \]

en \(a = 2\). Dado que \(f\) es diferenciable en \(x = 2\) y:

\[ f'(x) = -\frac{1}{x^2}, \]

vemos que \(f'(2) = -\frac{1}{4}\). Por lo tanto, la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(a = 2\) está dada por la ecuación:

\[ y = \frac{1}{2} – \frac{1}{4}(x – 2). \]

La Figura 4.2.1(a) muestra una gráfica de \(f(x) = \frac{1}{x}\) junto con la recta tangente a \(f\) en \(x = 2\). Observa que para \(x\) cerca de 2, la gráfica de la recta tangente está cerca de la gráfica de \(f\). Como resultado, podemos usar la ecuación de la recta tangente para aproximar \(f(x)\) para \(x\) cerca de 2. Por ejemplo, si \(x = 2.1\), el valor de \(y\) del punto correspondiente en la recta tangente es:

\[ y = \frac{1}{2} – \frac{1}{4}(2.1 – 2) = 0.475. \]

El valor real de \(f(2.1)\) está dado por:

\[ f(2.1) = \frac{1}{2.1} \approx 0.47619. \]

Por lo tanto, la recta tangente nos da una aproximación bastante buena de \(f(2.1)\) (Figura 4.2.1(b)). Sin embargo, observa que para valores de \(x\) alejados de 2, la ecuación de la recta tangente no nos da una buena aproximación. Por ejemplo, si \(x = 10\), el valor de \(y\) del punto correspondiente en la recta tangente es:

\[ y = \frac{1}{2} – \frac{1}{4}(10 – 2) = \frac{1}{2} – 2 = -1.5, \]

mientras que el valor de la función en \(x = 10\) es \(f(10) = 0.1\).

Por lo tanto, la recta tangente nos da una aproximación bastante buena de f (2.1) (Figura 4.2_1 (b)). Sin embargo, tenga en cuenta que para valores de x lejos de 2, la ecuación de la recta tangente no nos da una buena aproximación. Por ejemplo, si x = 10, el valor y del punto correspondiente en la recta tangente es

mientras que el valor real de la función en x = 10 es f (10) = 0.1.

En general, para una función diferenciable f, la ecuación de la recta tangente a f en x = a puede usarse para aproximar f (x) para x cerca de a. Por lo tanto, podemos escribir

f (x) ≈ f (a) + f ‘(a) (x − a),

para x cerca de a.

Definición 4.2.1. Aproximación lineal de una función en un punto

Llamamos a la función lineal

L (x) = f (a) + f ′(a) (x − a)         (4.1)

la aproximación lineal, o aproximación de recta tangente, de f en x = a.

Esta función L también se conoce como la linealización de f en x = a. ♦

Para mostrar cuán útil puede ser la aproximación lineal, veamos cómo encontrar la aproximación lineal para f (x) = √x en x = 9.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4.2_1. Aproximación lineal de √x

Encuentre la aproximación lineal de f (x) = √x en x = 9 y use la aproximación para estimar √9.1.

Solución:
Como estamos buscando la aproximación lineal en x = 9, usando la ecuación 4.1 sabemos que la aproximación lineal viene dada por

Necesitamos encontrar f (9) y f ′(9).

Por lo tanto, la aproximación lineal viene dada por la figura 4.2_2.

Usando la aproximación lineal, podemos estimar √9.1 escribiendo

Análisis:

Usando una calculadora, el valor de √9.1 a cuatro decimales es 3.0166. El valor dado por la aproximación lineal, 3.0167, está muy cerca del valor obtenido con una calculadora, por lo que parece que usar esta aproximación lineal es una buena manera de estimar √x, al menos para x cerca de 9. Al mismo tiempo, puede parecer extraño usar una aproximación lineal cuando solo podemos presionar algunos botones en una calculadora para evaluar √.9.1. Sin embargo, ¿cómo evalúa la calculadora √9.1? ¡La calculadora usa una aproximación! De hecho, las calculadoras y las computadoras usan aproximaciones todo el tiempo para evaluar expresiones matemáticas; solo usan aproximaciones de mayor grado. ♦

Ejercicio de control 4.2.1

Encuentra la aproximación lineal local de \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) en \(x = 8\). Úsala para aproximar \(\sqrt[3]{8.1}\) a cinco lugares decimales. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4.2_2. Aproximación lineal de sen x

Encuentre la aproximación lineal de f (x) = senx en x = π/3 y úsela para aproximar sen(62°).

Solución:
Primero notamos que dado que π/3 rad es equivalente a 60°, parece razonable usar la aproximación lineal en x = π/3. La aproximación lineal viene dada por

Observamos que

Por lo tanto, la aproximación lineal de f en x = π/3 viene dada por la figura 4.2_3.

Para estimar sen(62°) usando L, primero debemos convertir 62° a radianes. Tenemos que 62° = 62π/180 radianes, por lo que la estimación de sen(62°) viene dada por

♦

Ejercicio de control 4.2.2

Encuentra la aproximación lineal para \(f(x) = \cos x\) en \(x = \frac{\pi}{2}\). ♦

Aproximaciones lineales para estimar raíces y potencias

Las aproximaciones lineales se pueden usar para estimar raíces y potencias. En el siguiente ejemplo, encontramos la aproximación lineal para \(f(x) = (1 + x)^n\) en \(x = 0\), que se puede usar para estimar raíces y potencias para números reales cercanos a 1. La misma idea se puede extender a una función de la forma \(f(x) = (m + x)^n\) para estimar raíces y potencias cercanas a un número diferente \(m\).

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4.2_3. Raíces y potencias aproximadas

Encuentre la aproximación lineal de f (x) = (1 + x)ⁿ en x = 0. Use esta aproximación para estimar (1.01)³.

Solución:
La aproximación lineal en x = 0 viene dada por

Porque

La aproximación lineal viene dada por la figura 4.2_4 (a).

Podemos aproximar (1.01)³ evaluando L(0.01) cuando n = 3. Concluimos que

♦

Ejercicio de control 4.2.3

Encuentra la aproximación lineal de \(f(x) = (1 + x)^4\) en \(x = 0\) sin usar el resultado del ejemplo anterior. ♦

Diferenciales

Hemos visto que las aproximaciones lineales se pueden usar para estimar valores de funciones. También se pueden usar para estimar la cantidad que cambia el valor de una función como resultado de un pequeño cambio en la entrada. Para discutir esto más formalmente, definimos un concepto relacionado: diferenciales. Los diferenciales nos proporcionan una forma de estimar la cantidad que cambia una función como resultado de un pequeño cambio en los valores de entrada.

En el capítulo anterior cuando estudiamos las derivadas, se utilizó la notación de Leibniz dy/dx para representar la derivada de y con respecto a x. Aunque usamos las expresiones dy y dx en esta notación, no tenían significado por sí mismas. Aquí damos un significado para las expresiones dy y dx por separado. Supongamos que y = f (x) es una función diferenciable. Sea dx una variable independiente a la que se le puede asignar cualquier número real distinto de cero y definamos la variable dependiente dy por

dy = f ′(x) dx.      (4.2)

Es importante notar que dy es una función de x y dx. Las expresiones dy y dx se llaman diferenciales. Podemos dividir ambos lados de la ecuación anterior por dx, de lo que resulta

Esta es la expresión familiar que hemos usado para denotar una derivada. La ecuación 4.2 se conoce como la forma diferencial de la ecuación 4.3.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4.2_4. Cálculo de diferenciales

Para cada una de las siguientes funciones, encuentre dy y evalúe cuando x = 3 y dx = 0.1.
a. y = x² + 2x
b. y = cosx

Solución:
El paso clave es calcular la derivada. Cuando tenemos eso, podemos obtener dy directamente.

a. Como f (x) = x² + 2x, sabemos que f ′(x) = 2x + 2, y por lo tanto

Cuando x = 3 y dx = 0.1,

b. Como f (x) = cosx, f ′(x) = – sen(x). Esto nos da

dy = −senx dx.

Cuando x = 3 y dx = 0.1,

dy = −sen(3) (0.1) = – 0.1sen(3). ♦

Ejercicio de control 4.2.4

Para \(y = e^{x^2}\), encuentra \(dy\). ♦

---

Ahora conectamos diferenciales a aproximaciones lineales. Los diferenciales se pueden usar para estimar el cambio en el valor de una función resultante de un pequeño cambio en los valores de entrada. Considere una función f que es diferenciable en el punto a. Suponga que la entrada x cambia en una pequeña cantidad. Estamos interesados ​​en cuánto cambia la salida y. Si x cambia de a a a + dx, entonces el cambio en x es dx (también denotado Δx), y el cambio en y viene dado por

Δy = f (a + dx) − f (a). 

Sin embargo, en lugar de calcular el cambio exacto en y, a menudo es más fácil aproximar el cambio en y utilizando una aproximación lineal. Para x cerca de a, f (x) se puede aproximar por la aproximación lineal

L (x) = f (a) + f ‘(a) (x − a). 

Por lo tanto, si dx es pequeño,

f (a + dx) ≈ L (a + dx) = f (a) + f ‘(a) (a + dx − a). 

Es decir,

f (a + dx) − f (a) ≈ L (a + dx) − f (a) = f ‘(a) dx. 

En otras palabras, el cambio real en la función f si x aumenta de a a a + dx es aproximadamente la diferencia entre L (a + dx) y f (a), donde L (x) es la aproximación lineal de f en a. Por definición de L (x), esta diferencia es igual a f ‘(a) dx. En resumen,

Δy = f (a + dx) − f (a) ≈ L (a + dx) − f (a) = f ‘(a) dx = dy. 

Por lo tanto, podemos usar el diferencial dy = f ‘(a) dx para aproximar el cambio en y si x aumenta de x = a a x = a + dx. Podemos ver esto en la siguiente gráfica.

Ahora veremos cómo usar diferenciales para aproximar el cambio en el valor de la función que resulta de un pequeño cambio en el valor de la entrada. Observe que el cálculo con diferenciales es mucho más simple que calcular los valores reales de las funciones y el resultado es muy cercano a lo que obtendríamos con el cálculo más exacto.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4.2_5. Cambio aproximado con diferenciales

Sea y = x² + 2x. Calcule Δy y dy en x = 3 si dx = 0.1.

Solución:
El cambio real en y si x cambia de x = 3 a x = 3.1 viene dado por

El cambio aproximado en y viene dado por dy = f ′(3) dx. Como f ′(x) = 2x + 2, tenemos

♦

Ejercicio de control 4.2.5

Para \(y = x^2 + 2x\), encuentra \(\Delta y\) y \(dy\) en \(x = 3\) si \(dx = 0.2\). ♦

Calculando el grado de error en una medición

Cualquier tipo de medición es propensa a una cierta cantidad de error. En muchas aplicaciones, ciertas cantidades se calculan en función de las mediciones. Por ejemplo, el área de un círculo se calcula midiendo el radio del círculo. Un error en la medición del radio conduce a un error en el valor calculado del área. Aquí examinamos este tipo de error y estudiamos cómo se pueden usar los diferenciales para estimar el error.

Considere una función f con una entrada que es una cantidad medida empíricamente. Suponga que el valor exacto de la cantidad medida es a, pero el valor medido es a + dx. Decimos que el error de medición es dx (o Δx). Como resultado, se produce un error en la cantidad calculada f (x). Este tipo de error se conoce como error propagado y viene dado por

Δy = f (a + dx) − f (a). 

Como todas las mediciones son propensas a algún grado de error, no conocemos el valor exacto de una cantidad medida, por lo que no podemos calcular el error propagado exactamente. Sin embargo, dada una estimación de la precisión de una medición, podemos usar diferenciales para aproximar el error propagado Δy. Específicamente, si f es una función diferenciable en a, el error propagado es

Δy ≈ dy = f ′(a) dx. 

Desafortunadamente, no sabemos el valor exacto de a. Sin embargo, podemos usar el valor medido a + dx y estimar

Δy ≈ dy = f ′(a + dx) dx.

En el siguiente ejemplo, observamos cómo se pueden usar los diferenciales para estimar el error al calcular el volumen de una caja si asumimos que la medición de la longitud del lado se realiza con cierta precisión.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4.2_6. Volumen de un cubo

Suponga que la longitud lateral de un cubo se mide en 5 cm con una precisión de 0.1 cm.
a. Use diferenciales para estimar el error en el volumen calculado del cubo.
b. Calcule el volumen del cubo si la longitud del lado es (i) 4.9 cm y (ii) 5.1 cm para comparar el error estimado con el error potencial real.

Solución:
a. La medida de la longitud del lado es precisa dentro de ± 0.1 cm. Por lo tanto,

El volumen de un cubo viene dado por V = x³, lo que lleva a

Usando la longitud lateral medida de 5 cm, podemos estimar que

Por lo tanto,

b. Si la longitud del lado es en realidad 4,9 cm, entonces el volumen del cubo es

Si la longitud lateral es en realidad de 5,1 cm, entonces el volumen del cubo es

Por lo tanto, el volumen real del cubo está entre 117.649 y 132.651. Dado que la longitud del lado se mide en 5 cm, el volumen calculado es V(5) = 5³ = 125. Por lo tanto, el error en el volumen calculado es

Es decir,

Vemos que el error estimado dV está relativamente cerca del error potencial real en el volumen calculado. ♦

Ejercicio de control 4.2.6

Estima el error en el volumen calculado de un cubo si la longitud del lado se mide como 6 cm con una precisión de 0.2 cm. ♦

Error absoluto y error relativo

El error de medición dx (= Δx) y el error propagado Δy son errores absolutos. Normalmente estamos interesados en el tamaño de un error en relación con el tamaño de la cantidad que se mide o calcula. Dado un error absoluto Δq para una cantidad particular, definimos el error relativo como Δq/q, donde q es el valor real de la cantidad. El error porcentual es el error relativo expresado como un porcentaje. Por ejemplo, si medimos la altura de una escalera de 63 pulgadas cuando la altura real es 62 pulgadas, el error absoluto es 1 pulgada pero el error relativo es 1/62 = 0.016, o 1.6%. En comparación, si medimos que el ancho de un pedazo de cartón es de 8.25 pulgadas cuando el ancho real es de 8 pulgadas, nuestro error absoluto es de 14 pulgadas, mientras que el error relativo es 0.25/8 = 1/32, o 3.1%. Por lo tanto, el porcentaje de error en la medición del cartón es mayor, aunque 0.25 pulg. Sea menor que 1 pulg.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4.2_7. Error relativo y porcentual

Un astronauta que usa una cámara mide el radio de la Tierra como 4000 mi con un error de ± 80 mi. Usemos diferenciales para estimar el error relativo y el porcentaje de error al usar esta medida de radio para calcular el volumen de la Tierra, suponiendo que el planeta sea una esfera perfecta.

Solución:
Si la medida del radio es precisa dentro de ± 80, tenemos

Dado que el volumen de una esfera está dado por

Tenemos que

Usando el radio medido de 4000 mi, podemos estimar

Para estimar el error relativo, considere dV/V. Como no conocemos el valor exacto del volumen V, use el radio medido r = 4000 mi para estimar V. Obtenemos

Por lo tanto, el error relativo satisface

que se simplifica a

El error relativo es 0.06 y el error porcentual es 6%. ♦

Ejercicio de control 4.2.7

Determine el porcentaje de error si el radio de la Tierra se mide como 3950 millas con un error de ±100 millas. ♦