| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.8. La transformada de Laplace | 9.8.6. Convolución |

Ejercicios propuestos para el capítulo 9.8.6

1. Exprese la transformada inversa como una integral.

2. Encuentra la transformada de Laplace.

3. Encuentra una fórmula para la solución del problema de valor inicial.

4. Resuelva la ecuación integral.

5. Usar el Teorema de convolución para evaluar la integral.

6. Demuestre que

introduciendo la nueva variable de integración x = t − τ en la primera integral.

7. Usa el Teorema de convolución para mostrar que si f(t) ↔ F(s) entonces

8. Muestre que si p(s) = as² + bs + c tiene ceros reales distintos r₁ y r₂ entonces la solución de

ay′′ + by′ + cy = f(t),  y(0) = k₀, y′(0) = k₁, 

es

9. Muestre que si p(s) = as² + bs + c tiene un cero real repetido r₁ entonces la solución de

ay′′ + by′ + cy = f(t),  y(0) = k₀, y′(0) = k₁, 

es

10. Muestre que si p(s) = as² + bs + c tiene ceros complejos conjugados λ ± iω entonces la solución de

ay′′ + by′ + cy = f(t),  y(0) = k₀, y′(0) = k₁, 

es

11. Sea

donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.

(a) Demuestre que w es la solución de

(b) Sea f continua en [0, ∞) y defina

Use la regla de Leibniz para derivar una integral con respecto a un parámetro para mostrar que h es la solución de

(c) Demuestre que la función y en la ecuación. (9.8.6.14) es la solución de la ecuación. (9.8.6.13) siempre que f sea continua en [0, ∞); por lo tanto, no es necesario suponer que f tiene una transformada de Laplace.

12. Considere el problema del valor inicial

ay′′ + by′ + cy = f(t),  y(0) = 0, y′(0) = 0,        (A)

donde a, b y c son constantes, a ≠ 0, y

Suponga que f₀ es continua y de orden exponencial en [0, ∞) y f₁ es continua y de orden exponencial en [t₁, ∞). Sea

p(s) = as² + bs + c.

(a) Demuestre que la transformada de Laplace de la solución de (A) es

donde g(t) = f₁(t + t₁) − f₀(t + t₁).

(b) Sea w como en el Ejercicio 11. Use el Teorema 9.8.4.2 y el teorema de convolución para mostrar que la solución de (A) es

para t > 0.

(c) A partir de ahora, supóngase sólo que f₀ es continua en [0, ∞) y f₁ es continua en [t₁, ∞). Utilice el Ejercicio 11 (a) y (b) para demostrar que

para t > 0, y

para 0 < t < t₁ y t > t₁. Además, demuestre que y satisface la ecuación diferencial en (A) en (0, t₁) y (t₁, ∞).

(d) Demuestre que y y y′ son continuas en [0, ∞).

13. Supongamos

donde f_m es continua en [t_m, ∞) para m = 0, . . ., k (sea t₀ = 0), y defina

Extienda los resultados del Ejercicio 12 para mostrar que la solución de

es

14. Sea una secuencia de puntos tal que t₀ = 0, t_{m + 1} > t_m, y lim_m→∞ t_m = ∞. Para cada entero no negativo m sea f_m continua en [t_m, ∞), y sea f definida en [0, ∞) por

Sea

Extienda los resultados del Ejercicio 13 para mostrar que la solución de

es

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La Regla de Leibniz (también conocida como la regla de la derivación bajo el signo integral) es una fórmula que permite calcular la derivada de una integral definida con respecto a un parámetro que puede estar presente tanto en el integrando como en los límites de integración. 📐

📝 Fórmula General

Dada una función $F(\alpha)$ definida por la integral:

$$F(\alpha) = \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(x, \alpha) \, dx$$

donde:

• $\alpha$ es el parámetro respecto al cual se deriva.
• $f(x, \alpha)$ es la función integrando que depende de la variable de integración $x$ y del parámetro $\alpha$.
• $a(\alpha)$ y $b(\alpha)$ son los límites de integración, que también pueden depender de $\alpha$.

La derivada de $F(\alpha)$ con respecto a $\alpha$ se calcula mediante la siguiente fórmula:

$$\frac{dF}{d\alpha} = \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} \frac{\partial f}{\partial \alpha}(x, \alpha) \, dx + f(b(\alpha), \alpha) \cdot \frac{db}{d\alpha} – f(a(\alpha), \alpha) \cdot \frac{da}{d\alpha}$$

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🧩 Componentes de la Fórmula

La fórmula se compone de tres términos que reflejan el cambio de la integral debido a las variaciones en el parámetro $\alpha$:

1. Derivada del Integrando:

   $$\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} \frac{\partial f}{\partial \alpha}(x, \alpha) \, dx$$

   Este es el término principal e implica intercambiar el orden de la derivación ($\frac{d}{d\alpha}$) y la integración ($\int dx$), derivando parcialmente el integrando $f(x, \alpha)$ con respecto al parámetro $\alpha$.

2. Contribución del Límite Superior:

   $$+ f(b(\alpha), \alpha) \cdot \frac{db}{d\alpha}$$

   Este término considera el cambio de la integral debido a la variación del límite superior $b(\alpha)$. Se evalúa el integrando $f(x, \alpha)$ en el límite superior, $x=b(\alpha)$, y se multiplica por la derivada de este límite con respecto a $\alpha$ ($\frac{db}{d\alpha}$).

3. Contribución del Límite Inferior:

   $$- f(a(\alpha), \alpha) \cdot \frac{da}{d\alpha}$$

   Este término considera el cambio de la integral debido a la variación del límite inferior $a(\alpha)$. Se evalúa el integrando $f(x, \alpha)$ en el límite inferior, $x=a(\alpha)$, y se multiplica por la derivada de este límite con respecto a $\alpha$ ($\frac{da}{d\alpha}$). El signo negativo se debe a la convención de integración.

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✨ Casos Particulares

• Límites de integración constantes: Si $a$ y $b$ son constantes, entonces $\frac{da}{d\alpha} = 0$ y $\frac{db}{d\alpha} = 0$. La fórmula se simplifica a:

  $$\frac{dF}{d\alpha} = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial \alpha}(x, \alpha) \, dx$$

  En este caso, solo se deriva bajo el signo integral.

• El parámetro solo está en los límites (Teorema Fundamental del Cálculo – TFC): Si el integrando no depende del parámetro $\alpha$, es decir, $f(x, \alpha) = f(x)$, y los límites sí dependen, $a(\alpha)$ y $b(\alpha)$, la fórmula se reduce al TFC y la Regla de la Cadena:

  $$\frac{dF}{d\alpha} = 0 + f(b(\alpha)) \cdot \frac{db}{d\alpha} – f(a(\alpha)) \cdot \frac{da}{d\alpha}$$

Esta regla es una herramienta poderosa en cálculo avanzado, especialmente útil para calcular integrales que de otra manera serían difíciles o imposibles de resolver por métodos directos.

9.8.7  Ecuaciones de coeficientes constantes con impulsos »