| 9. Ecuaciones diferenciales9.8. La transformada de Laplace |

9.8.5  Ecuaciones de coeficientes constantes con funciones de forzamiento continuas por tramos

Ahora consideraremos problemas de valor inicial de la forma

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donde a, b y c son constantes (a ≠ 0) y f es continua por tramos en [0, ∞). Los problemas de este tipo ocurren en situaciones en las que la entrada a un sistema físico sufre cambios instantáneos, como cuando se enciende o apaga un interruptor o cuando las fuerzas que actúan sobre el sistema cambian abruptamente.

      Puede demostrarse (Ejercicios 23 y 24) que la ecuación diferencial en (9.8.5.1) no tiene soluciones en un intervalo abierto que contiene una discontinuidad de salto de f. Por lo tanto, debemos definir qué entendemos por solución de (9.8.5.1) en [0, ∞) en el caso de que f tenga saltos discontinuos. El siguiente teorema motiva nuestra definición. Omitimos la demostración.

Teorema 9.8.5.1

suponga que a, b y c son constantes (a ≠ 0), y f es continua por tramos en [0, ∞). con discontinuidades de salto en t1, . . . , tn, donde

0 < t1 < · · · < tn.

Sean k0 y k1 números reales arbitrarios. Entonces existe una única función y definida en [0, ∞) con las siguientes propiedades:

(a) y(0) = k0  y  y′(0) = k1.

(b) y  y  y′ son continuas en [0, ∞).

(c) y′′ está definido en cada subintervalo abierto de [0, ∞) que no contiene ninguno de los puntos t1, . . . , tn, y

ay′′ + by′ + cy = f(t)

en cada uno de esos subintervalos.

(d) y′′ tiene límites por la derecha y por la izquierda en t1, . . . , tn

      Definimos la función y del Teorema 9.8.5.1 como la solución del problema de valor inicial (9.8.5.1).}

      Comenzamos considerando problemas de valor inicial de la forma

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donde la función de forzamiento tiene una discontinuidad de un solo salto en t1.

     Podemos resolver (9.8.5.2) siguiendo estos pasos:

Paso 1. Encuentra la solución y0 del problema de valor inicialEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-132.png

Paso 2. Calcule c0 = y0(t1)  y  c1 = y0′ (t1)

Paso 3. Encuentre la solución y1 del problema de valor inicialEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-133.png

Paso 4. Obtenga la solución y de (9.8.5.2) comoEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-134.png

      En el ejercicio 23 se muestra que y′ existe y es continua en t1. El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento.

Ejemplo 9.8.5.1

Resolver el problema de valor inicial

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-135.png      (9.8.5.3)

dondeEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-136.png

Solución:

El problema de valor inicial en el Paso 1 esEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-137.png

Te dejamos comprobar que su solución es

y0 = 1 + cos t − sen t.

Hacer el Paso 2 produce y0(π/2) = 0  y  y0′ (π/2) = −1, por lo que el segundo problema de valor inicial esEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-138.png

Te dejamos comprobar que la solución de este problema es

y1 = −1 + cos t + sen t.

Por tanto, la solución de (9.8.5.3) es

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-139.png      (9.8.5.4

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-140.png

Figura 9.8.5.1 Gráfica de (9.8.5.4)

      Si f0 y f1 están definidas en [0, ∞), podemos reescribir (9.8.5.2) comoEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-141.png

y aplicar el método de las transformadas de Laplace. Ahora resolveremos el problema considerado en el Ejemplo 9.8.5.1 por este método.

Ejemplo 9.8.5.2

Utilice la transformada de Laplace para resolver el problema del valor inicial

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dondeEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-143.png

Solución:
AquíEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-144.png

entonces el Teorema 9.8.4.1 (con g(t) = 1) implica queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-145.png

Por lo tanto, transformando (9.8.5.5) se obtieneEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-146.png

así que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-147.png      (9.8.5.6)

conEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-148.png

La forma para la expansión en fracciones parciales de G es

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-149.png      (9.8.5.7)

Multiplicando por s(s2 + 1) se obtieneEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-150.png

oEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-151.png

Igualar coeficientes de potencias semejantes de s en los dos lados de esta ecuación muestra que A = 1, B = −A = −1 y C = 0. Por lo tanto, de (9.8.5.7),Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-152.png

Por lo tantoEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-153.png

De esto, (9.8.5.6), y el Teorema 9.8.4.2Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-154.png

Simplificando esto (recordando que cos(t − π/2) = sen t) se obtieneEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-155.png

oEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-156.png

que es el resultado obtenido en el ejemplo 9.8.5.1.

COMENTARIO: No es obvio que usar la transformada de Laplace para resolver (9.8.5.2) como hicimos en el Ejemplo 9.8.5.2 produzca una función y con las propiedades establecidas en el Teorema 9.8.5.1; es decir, tales que y  y  y′ son continuas en [0, ∞) y y′′ tiene límites por la derecha y por la izquierda en t1. Sin embargo, esto es cierto si f0 y f1 son continuas y de orden exponencial en [0, ∞). En los ejercicios 9.8.6.11 a 9.8.6.13 se esboza una prueba.

Ejemplo 9.8.5.3

Resolver el problema de valor inicial

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-157.png      (9.8.5.8)

dondeEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-158.png

Solución:

Aquí

f(t) = tu(t − 1)(t − 1),

entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-159.png         (Teorema 9.8.4.1)

Dado que transformando (9.8.5.8) se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-160.png

donde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-161.png      (9.8.5.9)

por lo tanto

h(t) = senh tt.        (9.8.5.10)

Ya que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-162.png

concluimos de (9.8.5.9), (9.8.5.10) y el Teorema 9.8.4.1 que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-163.png

o

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-164.png      (9.8.5.11)

Le dejamos a usted verificar que y e y′ son continuas y que y′′ tiene límites por la derecha y por la izquierda en t1 = 1.

Ejemplo 9.8.5.4

Resolver el problema de valor inicial

y′′ + y = f(t),  y(0) = 0, y′(0) = 0,        (9.8.5.12)

Donde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-165.png

Solución:

Aquí

f(t) = u(t − π/4) cos 2tu(t − π) cos 2t,

entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-166.png

Dado que transformando (9.8.5.12) se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-167.png

observamos que

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donde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-169.png   y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-170.png      (9.8.5.14)

Para simplificar las expansiones en fracciones parciales requeridas, primero escribimos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-171.png

Haciendo x = s2 y sustituyendo el resultado en (9.8.5.14) se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-172.png

Las transformadas inversas son

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-173.png   y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-174.png

De (9.8.5.13) y el Teorema 9.8.4.2,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-175.png      (9.8.5.15)

Ya queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-176.png

yEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-177.png

(9.8.5.15) se puede reescribir como

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o

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-179.png      (9.8.5.16)

Te dejamos a ti verificar que y y y′ son continuas y que y′′ tiene límites por la derecha y por la izquierda en t1 = π/4 y t2 = π. 

Figura 9.8.5.2 Gráfico de (9.8.5.16)

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