9.8.5 Ecuaciones de coeficientes constantes con funciones de forzamiento continuas por tramos

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9.8.5 Ecuaciones de coeficientes constantes con funciones de forzamiento continuas por tramos

Ahora consideraremos problemas de valor inicial de la forma

(9.8.5.1)

donde a, b y c son constantes (a ≠ 0) y f es continua por tramos en [0, ∞). Los problemas de este tipo ocurren en situaciones en las que la entrada a un sistema físico sufre cambios instantáneos, como cuando se enciende o apaga un interruptor o cuando las fuerzas que actúan sobre el sistema cambian abruptamente.

Puede demostrarse (Ejercicios 23 y 24) que la ecuación diferencial en (9.8.5.1) no tiene soluciones en un intervalo abierto que contiene una discontinuidad de salto de f. Por lo tanto, debemos definir qué entendemos por solución de (9.8.5.1) en [0, ∞) en el caso de que f tenga saltos discontinuos. El siguiente teorema motiva nuestra definición. Omitimos la demostración.

Teorema 9.8.5.1

suponga que a, b y c son constantes (a ≠ 0), y f es continua por tramos en [0, ∞). con discontinuidades de salto en t₁, . . . , t_n, donde

0 < t₁ < · · · < t_n.

Sean k₀ y k₁ números reales arbitrarios. Entonces existe una única función y definida en [0, ∞) con las siguientes propiedades:

(a) y(0) = k₀ y y′(0) = k₁.

(b) y y y′ son continuas en [0, ∞).

ay′′ + by′ + cy = f(t)

en cada uno de esos subintervalos.

(d) y′′ tiene límites por la derecha y por la izquierda en t₁, . . . , t_n. ♦

Definimos la función y del Teorema 9.8.5.1 como la solución del problema de valor inicial (9.8.5.1).}

Comenzamos considerando problemas de valor inicial de la forma

(9.8.5.2)

donde la función de forzamiento tiene una discontinuidad de un solo salto en t₁.

♦ Podemos resolver (9.8.5.2) siguiendo estos pasos:

Paso 1. Encuentra la solución y₀ del problema de valor inicial

Paso 2. Calcule c₀ = y₀(t₁) y c₁ = y₀′ (t₁)

Paso 3. Encuentre la solución y₁ del problema de valor inicial

Paso 4. Obtenga la solución y de (9.8.5.2) como

En el ejercicio 23 se muestra que y′ existe y es continua en t₁. El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento.

Ejemplo 9.8.5.1

Resolver el problema de valor inicial

(9.8.5.3)

donde

Solución:

El problema de valor inicial en el Paso 1 es

Te dejamos comprobar que su solución es

y₀ = 1 + cos t − sen t.

Hacer el Paso 2 produce y₀(π/2) = 0 y y₀′ (π/2) = −1, por lo que el segundo problema de valor inicial es

Te dejamos comprobar que la solución de este problema es

y₁ = −1 + cos t + sen t.

Por tanto, la solución de (9.8.5.3) es

(9.8.5.4) ♦

Figura 9.8.5.1 Gráfica de (9.8.5.4)

Si f₀ y f₁ están definidas en [0, ∞), podemos reescribir (9.8.5.2) como

y aplicar el método de las transformadas de Laplace. Ahora resolveremos el problema considerado en el Ejemplo 9.8.5.1 por este método.

Ejemplo 9.8.5.2

Utilice la transformada de Laplace para resolver el problema del valor inicial

(9.8.5.5)

donde

Solución:
Aquí

entonces el Teorema 9.8.4.1 (con g(t) = 1) implica que

Por lo tanto, transformando (9.8.5.5) se obtiene

así que

(9.8.5.6)

con

La forma para la expansión en fracciones parciales de G es

(9.8.5.7)

Multiplicando por s(s² + 1) se obtiene

Igualar coeficientes de potencias semejantes de s en los dos lados de esta ecuación muestra que A = 1, B = −A = −1 y C = 0. Por lo tanto, de (9.8.5.7),

Por lo tanto

De esto, (9.8.5.6), y el Teorema 9.8.4.2

Simplificando esto (recordando que cos(t − π/2) = sen t) se obtiene

que es el resultado obtenido en el ejemplo 9.8.5.1. ♦

COMENTARIO: No es obvio que usar la transformada de Laplace para resolver (9.8.5.2) como hicimos en el Ejemplo 9.8.5.2 produzca una función y con las propiedades establecidas en el Teorema 9.8.5.1; es decir, tales que y y y′ son continuas en [0, ∞) y y′′ tiene límites por la derecha y por la izquierda en t₁. Sin embargo, esto es cierto si f₀ y f₁ son continuas y de orden exponencial en [0, ∞). En los ejercicios 9.8.6.11 a 9.8.6.13 se esboza una prueba.