| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.7.Soluciones en serie de ecuaciones lineales de segundo orden | El método de Frobenius III |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.7.6

      En los ejercicios 1 a 40 encuentre un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius. Dar fórmulas explícitas para los coeficientes.

41. (a) Bajo los supuestos del Teorema 9.7.7.1, demuestre que

y

son linealmente independientes. AYUDA: Demuestre que si c₁ y c₂ son constantes tales que c₁y₁ + c₂y₂ ≡ 0 en un intervalo (0, ρ), entonces

Entonces sea x → 0⁺ para concluir que c₂ = 0.

(b) Use el resultado de (a) para completar la prueba del Teorema 9.7.7.1.

42. Encuentra un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de la ecuación de Bessel

x²y′′ + xy′ + (x² − ν²)y = 0

en el caso de que ν sea un número entero positivo.

43. Demuestre el Teorema 9.7.7.2.

44. Bajo los supuestos del Teorema 9.7.7.1, demuestre que C = 0 si y sólo si p₁(r₂ + ) = 0 para algún entero en {0, 1, . . ., k − 1}.

45. Bajo los supuestos del Teorema 9.7.7.2, demuestre que C = 0 si y sólo si p₂(r₂ + 2) = 0 para algún entero ℓ en {0, 1, . . ., k − 1}.

46. Sea

L_y = α₀x²y′′ + β₀xy′ + (γ₀ + γ₁x)y

y definir

p₀(r) = α₀r(r − 1) + β₀r + γ₀.

Demuestre que si

p₀(r) = α₀(r − r₁)(r − r₂)

donde r₁ − r₂ = k, es un entero positivo, entonces L_y = 0 tiene las soluciones

y

47. Tome

L_y = α₀x²y′′ + β₀xy′ + (γ₀ + γ₂x²)y

y defina

p₀(r) = α₀r(r − 1) + β₀r + γ₀.

Demuestre que si

p₀(r) = α₀(r − r₁)(r − r₂)

donde r₁ − r₂ = 2k, un entero positivo par, entonces L_y = 0 tiene las soluciones

y

48. Sea L como en los Ejercicios 9.7.5.57 y 9.7.5.58, y suponga que el polinomio indicial de L_y = 0 es

p₀(r) = α₀(r − r₁)(r − r₂),

con k = r₁ − r₂, donde k es un entero positivo. Defina a₀(r) = 1 para todo r. Si r es un número real tal que p₀(n + r) es distinto de cero para todos los enteros positivos n, defina

y sea

Defina

Y sea a_k(r₂) arbitrario.

(a) Concluya del Ejercicio 9.7.6..66 que

(b) Concluya del Ejercicio 9.7.5..57 que

donde

(c) Demuestre que y₁ y

forman un conjunto fundamental de soluciones de Frobenius de L_y = 0.

(d) Demuestre que elegir la cantidad arbitraria a_k(r₂) para que sea diferente de cero simplemente agrega un múltiplo de y₁ a y₂. Concluya que también podemos tomar a_k(r₂) = 0.