| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden | 9.2.2 Ecuaciones separables |
Ejercicios propuestos del Capítulo 9.2.2
En los ejercicios 1 a 6, encuentre todas las soluciones de la ecuación diferencial dada.
1. y′ = (3x² + 2x + 1)/(y − 2)
2. (senx) (seny) + (cosy) y′ = 0
3. xy′ + y² + y = 0
4. y′ln|y| + x²y = 0
En los Ejercicios 7 a 10, encuentre todas las soluciones. Además, trace un campo de direcciones y algunas curvas integrales en la región rectangular indicada.
7. C/G y′ = x²(1 + y²); {−1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}
8. C/G y′(1 + x²) + xy = 0; {−2 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1}
9. C/G y′ = (x − 1)(y − 1)(y − 2); {−2 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 3}
10. C/G (y − 1)²y′ = 2x + 3; {−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 5}
En los Ejercicios 11 y 12, resuelva el problema de valor inicial.
11. y′ = (x² + 3x + 2)/(y − 2), y(1) = 4
12. y′ + x(y² + y) = 0, y(2) = 1
En los Ejercicios 13 –16 resuelva el problema del valor inicial y representa gráficamente la solución.
13. C/G (3y² + 4y)y′ + 2x + cosx = 0, y(0) = 1
14. C/G y′ + (y + 1)(y − 1)(y − 2)/(x + 1) = 0, y(1) = 0
15. C/G y′ + 2x(y + 1) = 0, y(0) = 2
16. C/G y′ = 2xy(1 + y²), y(0) = 1
En los Ejercicios 17 a 23 resuelva el problema de valor inicial y encuentre el intervalo de validez de la solución.
17. y′ (x² + 2) + 4x(y² + 2y + 1) = 0, y(1) = −1
18. y′ = −2x(y² − 3y + 2), y(0) = 3
19. y′ = 2x/(1 + 2y), y(2) = 0
20. y′= 2y − y², y(0) = 1
21. x + yy′ = 0, y(3) = −4
22. y′ + x²(y + 1)(y − 2)² = 0, y(4) = 2
23. (x + 1)(x − 2)y′ + y = 0, y(1) = −3
24. Resuelva y′ = (1 + y²)/(1 + x²) explícitamente. SUGERENCIA: Utilice la identidad tan(A + B) = (tanA + tanB)/(1 − tanAtanB)
25. Resuelva y′√(1 − x²) + √(1 − y²) = 0 explícitamente. SUGERENCIA: Utilice la identidad sen(A − B) = senA cosB − cosA senB.
26. Resuelva y′ = cosx/seny, y(π) = π/2 explícitamente. SUGERENCIA: Utilice la identidad cos(x + π/2) = −senx y la periodicidad del coseno.
27. Resuelve el problema del valor inicial
y′ = ay − by², y(0) = y₀
Analice el comportamiento de la solución si (a) y₀ ≥ 0; (b) y₀ <0.
28. La población P = P(t) de una especie satisface la ecuación logística
P′ = aP(1 − αP)
y P(0) = P₀ > 0. Encuentre P para t > 0 y encuentre limt → ∞ P(t).
(Ver solución del Ejercicio 28)
29. Una epidemia se propaga a través de una población a una tasa proporcional al producto del número de personas ya infectadas y el número de personas susceptibles, pero aún no infectadas. Por lo tanto, si S denota la población total de personas susceptibles e I = I(t) denota el número de personas infectadas en el tiempo t, entonces
I′ = rI (S − I),
donde r es una constante positiva. Suponiendo que I(0) = I₀, encuentre I(t) para t > 0 y demuestre que limt → ∞ I(t) = S.
30. L El resultado del ejercicio 29 es desalentador: si algún miembro susceptible del grupo se infecta inicialmente, ¡a la larga, todos los miembros susceptibles se infectan! En una nota más esperanzadora, suponga que la enfermedad se propaga de acuerdo con el modelo del ejercicio 29, pero hay un medicamento que cura a la población infectada a un ritmo proporcional al número de individuos infectados. Ahora la ecuación para el número de personas infectadas se convierte en
I′ = rI (S − I) − qI (A)
donde q es una constante positiva.
(a) Elija r y S positivos. Trazando campos direccionales y soluciones de (A) en cuadrículas rectangulares adecuadas
R = {0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ I ≤ d}
en el plano (t, I), verifique que si I es cualquier solución de (A) tal que I(0) > 0, entonces limt → ∞ I(t) = S − q/r si q < rS y limt → ∞ I(t) = 0 si q ≥ rS.
(b) Para verificar los resultados experimentales de (a), use la separación de variables para resolver (A) con la condición inicial I(0) = I₀ > 0, y encuentre limt → ∞ I(t). SUGERENCIA: Hay tres casos a considerar: (i) q < rS; (ii) q > rS; (iii) q = rS.
31. L Considere la ecuación diferencial
y′ = ay − by² − q, (A)
donde a, b son constantes positivas y q es una constante arbitraria. Suponga que y denota una solución de esta ecuación que satisface la condición inicial y(0) = y₀.
(a) Elija a y b positivos y q < a²/4b. Trazando campos de dirección y soluciones de (A) en cuadrículas rectangulares adecuadas
R = {0 ≤ t ≤ T, c ≤ y ≤ d} (B)
en el plano (t, y), descubra que hay números y₁ e y₂ con y₁ < y₂ tales que si y₀ > y₁ entonces limt → ∞ y(t) = y₂, y si y₀ < y₁ entonces y(t) = −∞ para algún valor finito de t.
(¿Qué pasa si y₀ = y₁?)
(b) Elija a y b positivos y q = a²/4b. Al trazar campos de dirección y soluciones de (A) en cuadrículas rectangulares adecuadas de la forma (B), descubra que hay un número y₁ tal que si y₀ ≥ y₁ entonces limt → ∞ y(t) = y₁, mientras que si y₀ < y₁ entonces y(t) = −∞ para algún valor finito de t.
(c) Elija a, b positivos y q > a²/4b. Al trazar campos de dirección y soluciones de (A) en cuadrículas rectangulares adecuadas de la forma (B), descubra que no importa qué es y₀, y(t) = −∞ para algún valor finito de t.
(d) Verifique sus experimentos de resultados analíticamente. Empiece por separar las variables en (A) para obtener
Para decidir qué hacer a continuación, tendrá que usar la fórmula cuadrática. Esto debería llevarlo a ver por qué hay tres casos. ¡Tomar desde allí!
Debido a su papel en la transición entre estos tres casos, q₀ = a²/4b se denomina valor de bifurcación de q. En general, si q es un parámetro en cualquier ecuación diferencial, se dice que q₀ es un valor de bifurcación de q si la naturaleza de las soluciones de la ecuación con q < q₀ es cualitativamente diferente de la naturaleza de las soluciones con q > q₀.
32. L Trazando campos direccionales y soluciones de
y′ = qy − y³,
convéncete de que q₀ = 0 es un valor de bifurcación de q para esta ecuación. Explique qué le hace sacar esta conclusión.
33. Suponga que una enfermedad se propaga según el modelo del ejercicio 29, pero hay un medicamento que cura a la población infectada a una tasa constante de q individuos por unidad de tiempo, donde q > 0. Entonces la ecuación para el número de individuos infectados se convierte en
I′ = rI (S − I) − q.
Suponiendo que I(0) = I₀ > 0, use los resultados del ejercicio 31 para describir lo que sucede cuando t → ∞.
34. Suponiendo que p ≠ 0, establezca las condiciones bajo las cuales la ecuación lineal
y′ + p(x)y = f(x)
es separable. Si la ecuación satisface estas condiciones, resuélvala por separación de variables y por el método desarrollado en la Sección 9.2.1.
Resuelva las ecuaciones de los ejercicios 35 a 38 utilizando la variación de parámetros seguida de la separación de variables.
39. Utilice la variación de parámetros para demostrar que las soluciones de las siguientes ecuaciones son de la forma y = uy₁, donde u satisface una ecuación separable u₀ = g(x)p(u). Encuentra y₁ y g para cada ecuación.
