| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.13. Problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden | 9.13.2 Problemas de Sturm – Liouville |

Problemas propuestos para el Capítulo 9.13.2

      En los Ejercicios 1 a 7, reescriba la ecuación en forma de Sturm-Liouville (con λ = 0). Suponga que b, c, α y ν son constantes.

1. y′′ + by′ + cy = 0
2. x²y′′ + xy′ + (x² − ν²)y = 0 (ecuación de Bessel)
3. (1 − x²)y′′ − xy′ + α²y = 0 (ecuación de Chebyshev)
4. x²y′′ + bxy′ + cy = 0 (ecuación de Euler)
5. y′′ − 2xy′ + 2αy = 0 (ecuación de Hermite)
6. xy′′ + (1 − x)y′ + αy = 0 (ecuación de Laguerre)
7. (1 − x²)y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0 (ecuación de Legendre)

8. En el ejemplo 9.13.2.4 encontramos que el problema de valores propios

x²y′′ + xy′ + λy = 0,  y(1) = 0, y(2) = 0         (A)

es equivalente al problema de Sturm-Liouville

         (B)

Multiplique la ecuación diferencial en (B) por y e integre para mostrar que

Concluya de esto que los valores propios de (A) son todos positivos.

9. Resuelva el problema de valores propios

y′′ + 2y′ + y + λy = 0,  y(0) = 0, y(1) = 0.

10. Resuelva el problema de valores propios

y′′ + 2y′ + y + λy = 0,  y′(0) = 0, y′(1) = 0.

      En los Ejercicios 11 a 20:

(a) Determine si λ = 0 es un valor propio. Si es así, encuentre una función propia asociada

(b) Calcule los valores propios negativos con errores no mayores de 5×10⁻⁸. Indique la forma de las funciones propias asociadas.

(c) Calcule los primeros cuatro valores propios positivos con errores no mayores de 5×10⁻⁸. Indique la forma de las funciones propias asociadas.

21. Encuentre los primeros cinco valores propios del problema del valor en la frontera

y′′ + 2y′ + y + λy = 0,  y(0) = 0, y′(1) = 0

con errores no mayores a 5×10⁻⁸. Indique la forma de las funciones propias asociadas.

      En los Ejercicios 22 a 24 dé por sentado que {xe^kx, xe^−kx} y {x coskx, x senkx} son conjuntos fundamentales de soluciones de

x²y′′ − 2xy′ + 2y − k²x²y = 0

y

x²y′′ − 2xy′ + 2y + k²x²y = 0,

respectivamente.

22. Resuelva el problema de valores propios para

x²y′′ − 2xy′ + 2y + λx²y = 0,  y(1) = 0, y(2) = 0.

23. C Encuentra los primeros cinco valores propios de

x²y′′ − 2xy′ + 2y + λx²y = 0,  y′(1) = 0, y(2) = 0

con errores no mayores a 5×10⁻⁸. Indique la forma de las funciones propias asociadas.

24. C Encuentre los primeros cinco valores propios de

x²y′′ − 2xy′ + 2y + λx²y = 0,  y(1) = 0, y′(2) = 0

con errores no mayores a 5×10⁻⁸. Indique la forma de las funciones propias asociadas.

25. Considere el problema de Sturm-Liouville

y′′ + λy = 0, y(0) = 0,  y(L) + δy′(L) = 0.         (A)

(a) Demuestre que (A) no puede tener más de un valor propio negativo y encuentre los valores de δ para los que tiene uno.
(b) Encuentre todos los valores de δ tales que λ = 0 sea un valor propio de (A).
(c) Demuestre que λ = k² con k > 0 es un valor propio de (A) si y solo si

tankL = −δk.          (B)

(d) Para n = 1, 2, . . . , sea y_n una función propia asociada con λ_n = k_n². Del Teorema 9.13.2.4, y_m y y_n son ortogonales sobre [0, L] si m ≠ n. Verifique esto directamente. AYUDA: Integre por partes dos veces y use (B).

26. Resuelva el problema de Sturm-Liouville

y′′ + λy = 0,  y(0) + αy′(0) = 0, y(π) + αy′(π) = 0,

donde α ≠ 0.

27. L Considere el problema de Sturm-Liouville

y′′ + λy = 0, y(0) + αy′(0) = 0, y(1) + (α − 1)y′(1) = 0,         (A)

donde 0 < α < 1.

(a) Demuestre que λ = 0 es un valor propio de (A) y encuentre una función propia asociada.
(b) Demuestre que (A) tiene un valor propio negativo y encuentre la forma de una función propia asociada.
(c) Proporcione un argumento gráfico para mostrar que (A) tiene infinitos valores propios positivos λ₁ < λ₂ < · · · < λ_n < · · ·, y establezca la forma de las funciones propias asociadas.

      Los Ejercicios 28 a 30 tratan del problema de Sturm-Liouville

y′′ + λy = 0, αy(0) + βy′(0), ρy(L) + δy′(L) = 0,          (SL)

donde α² + β² > 0  y  ρ² + δ² > 0.

28. Demuestre que λ = 0 es un valor propio de (SL) si y solo si

α(ρL + δ) − βρ = 0.

29. L El punto de este ejercicio es que (SL) no puede tener más de dos valores propios negativos.

(a) Demuestre que λ es un valor propio negativo de (SL) si y solo si λ = −k², donde k es una solución positiva de

(αρ − βδk²) senhkL + k(αδ − βρ) coshkL.

(b) Suponga que αδ − βρ = 0. Demuestre que (SL) tiene un valor propio negativo si y solo si αρ y βδ son distintos de cero. Encuentre el valor propio negativo y una función propia asociada. AYUDA: Demuestre que en este caso ρ = pα y s = qβ, donde q ≠ 0.

(c) Suponga que βρ − αδ ≠ 0. Sabemos por la Sección 9.11.1 que (SL) no tiene valores propios negativos si αρ = 0 y βδ = 0. Suponga que αρ ≠ 0 o βδ ≠ 0. Entonces podemos reescribir (A) como

Al representar gráficamente ambos lados de esta ecuación en los mismos ejes (hay varias posibilidades para el lado derecho), demuestre que tiene como máximo dos soluciones positivas, por lo que (SL) tiene como máximo dos valores propios negativos.

30. L El punto de este ejercicio es que (SL) tiene infinitos valores propios positivos λ₁ < λ₂ < · · · < λn < · · ·, y que lim_n→∞ λ_n = ∞.

(a) Demuestre que λ es un valor propio positivo de (SL) si y solo si λ = k², donde k es una solución positiva de

(αρ + βδk²)senkL + k(αδ − βρ)coskL = 0.         (A)

(b) Suponga que αδ − βρ = 0. Demuestre que los valores propios positivos de (SL) son λ_n = (nπ/L)2, n = 1, 2, 3, . . . . AYUDA: Recuerde la sugerencia del Ejercicio 29(b).

Ahora suponga que αδ − βρ ≠ 0. De la Sección 9.11.1, si αρ = 0 y βδ = 0, entonces (SL) tiene los valores propios

λ_n = [(2n − 1)π/2L]2, n = 1, 2, 3, . . .

(¿por qué?), así que supongamos además que al menos uno de los productos αρ y βδ es distinto de cero. Entonces podemos reescribir (A) como

        (B)

Al graficar ambos lados de esta ecuación en los mismos ejes (hay varias posibilidades para el lado derecho), convéncete de lo siguiente:

(c) Si βδ = 0, existe un entero positivo N tal que (B) tiene una solución k_n en cada uno de los intervalos

((2n − 1)π/L,  (2n + 1)π/L)),  n = N, N + 1, N + 2, . . . . . .,         (C)

y también

  o 

(d) Si βδ ≠ 0, existe un entero positivo N tal que (B) tiene una solución k_n en cada uno de los intervalos (C) y

31. Los siguientes problemas de Sturm-Liouville son generalizaciones de los problemas 1 a 4 de la Sección 9.11.1.

Demuestre: los problemas 1 a 4 no tienen valores propios negativos. Además, λ = 0 es un valor propio del Problema 2 con función propia asociada y₀ = 1, pero λ = 0 no es un valor propio de los Problemas 1, 3 y 4. AYUDA: Vea la demostración del Teorema 9.11.1.1.

32. Muestre que los valores propios del problema de Sturm-Liouville

(p(x)y′)′ + λr(x)y = 0,  αy(a) + βy′(a) = 0, ρy(b) + δy′(b)

son todas positivas si αβ ≤ 0, ρδ ≥ 0 y (αβ)² + (ρδ)² > 0.