| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.10. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales | 9.10.7 Variación de parámetros para sistemas de ED lineales no homogéneos |
Ejercicios propuestos para la Sección 9.10.7
En los ejercicios 1 a 10 encuentre una solución particular.
En los ejercicios 11 a 20, encuentre una solución particular, dado que Y es una matriz fundamental para el sistema complementario.
21. Demuestre el Teorema 9.10.7.1.
22. (a) Convierta la ecuación escalar
P0(t)y(n) + P1(t)y(n − 1) + · · · + Pn(t)y = F(t) (A)
en un sistema equivalente n × n
y′ = A(t)y + f(t). (B)
(b) Suponga que (A) es normal en un intervalo (a, b) y {y1, y2, . . ., yn} es un conjunto fundamental de soluciones de
P0(t)y(n) + P1(t)y(n − 1) + · · · + Pn(t)y = 0 (C)
en (a, b). Encuentre una matriz fundamental Y correspondiente para
y′ = A(t)y (D)
22. (a) Convierta la ecuación escalar
P0(t)y(n) + P1(t)y(n − 1) + · · · + Pn(t)y = F(t) (A)
en un sistema equivalente n × n
y′ = A(t)y + f(t). (B)
(b) Suponga que (A) es normal en un intervalo (a, b) y {y1, y2, . . ., yn} es un conjunto fundamental de soluciones de
P0(t)y(n) + P1(t)y(n − 1) + · · · + Pn(t)y = 0 (C)
en (a, b). Encuentre una matriz fundamental Y correspondiente para
y′ = A(t)y (D)
en (a, b) tal que
y = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn
es una solución de (C) si y sólo si y = Yc con
es una solución de (D).
(c) Sea yp = u1y1 + u1y2 + · · · + unyn una solución particular de (A), obtenida por el método de variación de parámetros para ecuaciones escalares como se indica en la Sección 9.9.4, y defina
Demuestre que yp = Yu es una solución de (B).
(d) Sea yp = Yu una solución particular de (B), obtenida por el método de variación de parámetros para sistemas como se indica en esta sección. Demuestre que yp = u1y1 + u1y2 + · · · + unyn es una solución de (A).
23. Suponga que la función matricial A n × n y la n-función vectorial f son continuas en (a, b). Sea t0 en (a, b), sea k un vector constante arbitrario y sea Y una matriz fundamental para el sistema homogéneo y′ = A(t)y. Use la variación de parámetros para mostrar que la solución del problema de valor inicial
es
