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Ejercicios propuestos para el capítulo 9.10.2

1. Vuelva a escribir el sistema en forma de matriz y verifique que la función vectorial dada satisfaga el sistema para cualquier elección de las constantes c₁ y c₂

 

2. Reescriba el sistema en forma de matriz y verifique que la función vectorial dada satisfaga el sistema para cualquier elección de las constantes c₁, c₂ y c₃

 

3. Vuelva a escribir el problema de valor inicial en forma de matriz y verifique que la función vectorial dada sea una solución.

 

4. Vuelva a escribir el problema de valor inicial en forma de matriz y verifique que la función vectorial dada es una solución.

 

5. Vuelva a escribir el sistema en forma de matriz y verifique que la función vectorial dada satisfaga el sistema para cualquier elección de las constantes c₁ y c₂

 

6. Convierta la ecuación escalar lineal

en un sistema equivalente n × n 

y′ = A (t) y + f (t),

y demuestre que A y f son continuas en un intervalo (a, b) si y solo si (A) es normal en (a, b).

 

7. Una función matricial

se dice que es diferenciable si sus entradas {q_ij} son diferenciables. Entonces la derivada Q′ se define por

(a) Demuestre: si P y Q son matrices diferenciables tales que P + Q está definido y si c₁ y c₂ son constantes, entonces

(b) Demuestre: si P y Q son matrices diferenciables tales que PQ está definida, entonces

 

8. Verifique que Y′ = AY.

 

9. Suponga queson soluciones del sistema homogéneo

y′ = A(t) y,              (A)

y definir(a) Muestre que Y′ = AY.
(b) Muestre que si c es un vector constante, entonces y = Y c es una solución de (A).
(c) Enuncie las generalizaciones de (a) y (b) para sistemas n × n.

 

10. Suponga que Y es una matriz cuadrada diferenciable.
(a) Encuentre una fórmula para la derivada de Y ².
(b) Encuentre una fórmula para la derivada de Y ⁿ, donde n es cualquier número entero positivo.
(c) Indique cómo los resultados obtenidos en (a) y (b) son análogos a los resultados del cálculo con respecto a funciones escalares.

 

11. Se puede demostrar que si Y es una función de matriz cuadrada diferenciable e invertible, entonces Y ⁻¹ es diferenciable.
(a) Muestre que (Y ⁻¹)′ = −Y ⁻¹Y′Y ⁻¹. (Sugerencia: Diferenciar la identidad Y ⁻¹Y = I.)
(b) Encuentre la derivada de Y ^{− n} = (Y ⁻¹ )ⁿ, donde n es un número entero positivo.
(c) Indique cómo los resultados obtenidos en (a) y (b) son análogos a los resultados del cálculo con respecto a funciones escalares.

 

12. Demuestre que el teorema 9.10.2.1 implica el teorema 9.9.1.1.

AYUDA: Escribe la ecuación escalarcomo un sistema n × n de ecuaciones lineales.

 

13. Suponga que y es una solución, del sistema n × n,  y′ = A(t)y en (a, b), y que la matriz P de n × n es invertible y diferenciable en (a, b). Encuentre una matriz B tal que la función x = Py sea una solución de x′ = Bx en (a, b).