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11.2 Límites y continuidad de una función multivariable

Objetivos de aprendizaje

• 11.2.1 Calcular el límite de una función de dos variables.
• 11.2.2 Aprender cómo una función de dos variables puede acercarse a valores diferentes en un punto frontera, dependiendo del camino de aproximación.
• 11.2.3 Especificar las condiciones para la continuidad de una función de dos variables.
• 11.2.4 Verificar la continuidad de una función de dos variables en un punto.
• 11.2.5 Calcular el límite de una función de tres o más variables y verificar la continuidad de la función en un punto.

    Ya hemos examinado funciones de más de una variable y visto cómo graficarlas. En esta sección, veremos cómo tomar el límite de una función de más de una variable y qué significa que una función de más de una variable sea continua en un punto de su dominio. Resulta que estos conceptos tienen aspectos que simplemente no ocurren con funciones de una sola variable.

Límite de una función de dos variables

Recuerda, a partir de El límite de una función, la definición de límite de una función de una variable:

Sea \(f(x)\) definida para todo \(x \neq a\) en un intervalo abierto que contenga a \(a\). Sea \(L\) un número real. Entonces

$$ \lim_{x\to a} f(x) = L $$

si para cada \(\epsilon > 0\), existe un \(\delta > 0\), tal que si \(0 < |x - a| < \delta\) para todo \(x\) en el dominio de \(f\), entonces

$$ |f(x) – L| < \epsilon $$

Antes de poder adaptar esta definición para definir el límite de una función de dos variables, primero necesitamos ver cómo extender la idea de un intervalo abierto en una variable a un intervalo abierto en dos variables.

DEFINICIÓN

Considere un punto \((a, b) \in \mathbb{R}^2\). Un \(\delta\) disco centrado en el punto \((a, b)\) se define como un disco abierto de radio \(\delta\) centrado en el punto \((a, b)\) —esto es,

$$ \{(x, y) \in \mathbb{R}^2|(x – a)^2 + (y – b)^2 < \delta^2\} $$

como se muestra en el siguiente gráfico.

La idea de un disco δ aparece en la definición del límite de una función de dos variables. Si δ es pequeño, entonces todos los puntos (x, y) en el disco δ están cerca de (a, b). Esto es completamente análogo a que x esté cerca de a en la definición del límite de una función de una variable. En una dimensión, expresamos esta restricción como

$$.$$

En más de una dimensión, usamos un disco δ.

DEFINICIÓN

Sea \(f\) una función de dos variables, \(x\) e \(y\). El límite de \(f(x, y)\) cuando \((x, y)\) se aproxima a \((a, b)\), escrito

$$ \lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = L $$

si para cada \(\epsilon > 0\) existe un \(\delta\) lo suficientemente pequeño \(> 0\) tal que para todos los puntos \((x, y)\) en un \(\delta\) disco alrededor de \((a, b)\), excepto posiblemente para \((a, b)\) mismo, el valor de \(f(x, y)\) no está a más de \(\epsilon\) de \(L\) (Figura 11.2.2). Usando símbolos, escribimos lo siguiente: Para cualquier \(\epsilon > 0\), existe un número \(\delta > 0\) tal que

$$ |f(x, y) – L| < \epsilon \text{ siempre que } 0 < \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \delta. $$

Demostrar que un límite existe usando la definición del límite de una función de dos variables puede ser difícil. En su lugar, usamos el siguiente teorema, que nos proporciona atajos para hallar límites. Las fórmulas de este teorema son una extensión de las fórmulas del teorema de las leyes de los límites presentado en Las leyes de los límites.

TEOREMA 11.2.1: Leyes de límites para funciones de dos variables

Sean \(f(x, y)\) y \(g(x, y)\) definidas para todo \((x, y) \neq (a, b)\) en una vecindad alrededor de \((a, b)\), y asuma que la vecindad está contenida completamente dentro del dominio de \(f\). Asuma que \(L\) y \(M\) son números reales tales que

$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} f(x, y) = L \quad \text{y} \quad \lim_{(x, y)\to(a, b)} g(x, y) = M $$

y sea \(c\) una constante. Entonces, cada una de las siguientes afirmaciones se cumple:

Ley de la Constante:	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} c = c $$	(11.2.1)
Leyes de Identidad:	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} x = a $$	(11.2.2)
	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} y = b $$	(11.2.3)
Ley de la Suma:	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} (f(x, y) + g(x, y)) = L + M $$	(11.2.4)
Ley de la Diferencia:	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} (f(x, y) – g(x, y)) = L – M $$	(11.2.5)
Ley del Múltiplo Constante:	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} (c f(x, y)) = c L $$	(11.2.6)
Ley del Producto:	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} (f(x, y) g(x, y)) = L M $$	(11.2.7)
Ley del Cociente:	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{L}{M} \quad \text{para } M \neq 0 $$	(11.2.8)
Ley de la Potencia:	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} (f(x, y))^n = L^n $$	(11.2.9)
	para cualquier entero positivo \(n\).
Ley de la Raíz:	$$ \lim_{(x, y)\to(a, b)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{L} $$	(11.2.10)
para todo \(L\), si \(n\) es impar y positivo, y para \(L > 0\) si \(n\) es par y positivo, siempre que \(f(x, y) \geq 0\) para todo \((x, y) \neq (a, b)\) en una vecindad de \((a, b)\).

Las demostraciones de estas propiedades son similares a las de los límites de funciones de una variable. Podemos aplicar estas leyes para hallar límites de diversas funciones.

Ejemplo ilustrativo 11.2.1:  Encontrar el límite de una función de dos variables

Encuentre el límite de las siguientes funciones:

1. \( \lim_{(x, y)\to(2, -1)} (x^2 – 2xy + 3y^2 – 4x + 3y – 6) \)
2. \( \lim_{(x, y)\to(2, -1)} \frac{2x + 3y}{4x – 3y} \)

Solución:

a. Primero, use las leyes de la diferencia y la suma para separar los términos:

$$ \lim_{(x, y)\to(2, -1)} (x^2 – 2xy + 3y^2 – 4x + 3y – 6) $$ $$ = \left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} x^2\right) – \left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} 2xy\right) + \left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} 3y^2\right) – \left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} 4x\right) + \left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} 3y\right) – \left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} 6\right). $$

A continuación, use la ley del múltiplo constante en el segundo, tercer, cuarto y quinto límites:

$$ = \left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} x^2\right) – 2\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} xy\right) + 3\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} y^2\right) – 4\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} x\right) + 3\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} y\right) – \lim_{(x, y)\to(2, -1)} 6. $$

Ahora, use la ley de la potencia en el primero y tercer límites, y la ley del producto en el segundo límite:

$$ = \left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} x\right)^2 – 2\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} x\right)\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} y\right) + 3\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} y\right)^2 – 4\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} x\right) + 3\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} y\right) – \lim_{(x, y)\to(2, -1)} 6. $$

Por último, use las leyes de la identidad en los primeros seis límites y la ley de la constante en el último límite:

$$ \lim_{(x, y)\to(2, -1)} (x^2 – 2xy + 3y^2 – 4x + 3y – 6) = (2)^2 – 2(2)(-1) + 3(-1)^2 – 4(2) + 3(-1) – 6 $$ $$ = 4 + 4 + 3 – 8 – 3 – 6 = -6. $$

---

b. Antes de aplicar la ley del cociente, necesitamos verificar que el límite del denominador no sea cero.

Usando la ley de la diferencia, la ley del múltiplo constante, y la ley de la identidad:

$$ \lim_{(x, y)\to(2, -1)} (4x – 3y) = 4\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} x\right) – 3\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} y\right) $$ $$ = 4(2) – 3(-1) = 8 + 3 = 11. $$

Dado que el límite del denominador es no cero, ahora calculamos el límite del numerador usando la ley de la diferencia, la ley del múltiplo constante, y la ley de la identidad:

$$ \lim_{(x, y)\to(2, -1)} (2x + 3y) = 2\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} x\right) + 3\left(\lim_{(x, y)\to(2, -1)} y\right) $$ $$ = 2(2) + 3(-1) = 4 – 3 = 1. $$

Por lo tanto, de acuerdo con la ley del cociente, tenemos:

$$ \lim_{(x, y)\to(2, -1)} \frac{2x + 3y}{4x – 3y} = \frac{\lim_{(x, y)\to(2, -1)} (2x + 3y)}{\lim_{(x, y)\to(2, -1)} (4x – 3y)} = \frac{1}{11}. $$

♦

Ejercicio de control 11.2.1

       Como tomamos el límite de una función de dos variables, el punto (a, b) está en ℝ², y es posible acercarse a este punto desde un número infinito de direcciones. A veces, al calcular un límite, la respuesta varía según el camino que se siga hacia (a, b). Si este es el caso, entonces el límite no existe. En otras palabras, el límite debe ser único, independientemente del camino tomado.

Ejemplo ilustrativo 11.2.2:  Límites que no existen

Demuestre que ninguno de los siguientes límites existe:

a. \( \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy}{3x^2+y^2} \)

b. \( \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+3y^4} \)

Solución:

a. El dominio de la función \( f(x,y) = \dfrac{2xy}{3x^2+y^2} \) consiste en todos los puntos del plano \(xy\), excepto el punto \((0,0)\) (Figura 11.2.3). Para mostrar que el límite no existe cuando \((x,y)\) se aproxima a \((0,0)\), observamos que es imposible satisfacer la definición de límite de una función de dos variables, debido a que la función toma valores diferentes a lo largo de distintas rectas que pasan por el punto \((0,0)\).

Primero, considere la recta \( y = 0 \) en el plano \(xy\). Al sustituir \( y = 0 \) en \( f(x,y) \) se obtiene

para cualquier valor de \(x\). Por lo tanto, el valor de \(f\) permanece constante para cualquier punto sobre el eje \(x\), y cuando \(y\) se aproxima a cero, la función permanece fijada en cero.

A continuación, considere la recta \( y = x \). Al sustituir \( y = x \) en \( f(x,y) \) se obtiene

Esto es válido para cualquier punto sobre la recta \( y = x \). Si hacemos que \(x\) se aproxime a cero permaneciendo sobre esta recta, el valor de la función permanece fijo en \( \tfrac{1}{2} \), independientemente de cuán pequeño sea \(x\).

Elija un valor de \( \varepsilon \) que sea menor que \( \tfrac{1}{2} \) —por ejemplo, \( \tfrac{1}{4} \). Entonces, sin importar cuán pequeño sea el disco de radio \( \delta \) que tracemos alrededor de \((0,0)\), los valores de \( f(x,y) \) para puntos dentro de ese disco \( \delta \) incluirán tanto \(0\) como \( \tfrac{1}{2} \). Por lo tanto, la definición de límite en un punto nunca se satisface y el límite no existe.

Figura 11.2.3 Gráfica de la función \( f(x,y) = \dfrac{2xy}{3x^2 + y^2} \). A lo largo de la recta \( y = 0 \), la función es igual a cero; a lo largo de la recta \( y = x \), la función es igual a \( \tfrac{1}{2} \).

b. De manera similar al inciso a., podemos aproximarnos al origen a lo largo de cualquier recta que pase por el origen. Si intentamos el eje \(x\) (es decir, \( y = 0 \)), entonces la función permanece fija en cero. Lo mismo ocurre para el eje \(y\). Supongamos que nos aproximamos al origen a lo largo de una recta de pendiente \(k\). La ecuación de esta recta es \( y = kx \). Entonces el límite se convierte en

\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+3y^4} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4x(kx)^2}{x^2+3(kx)^4} \]

\[ = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4k^2x^3}{x^2+3k^4x^4} \]

\[ = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4k^2x}{1+3k^4x^2} \]

\[ = \frac{\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} (4k^2x)} {\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} (1+3k^4x^2)} = 0, \]

independientemente del valor de \(k\). Parecería que el límite es igual a cero. ¿Qué ocurre si elegimos una curva que pase por el origen? Por ejemplo, podemos considerar la parábola dada por la ecuación \( x = y^2 \). Al sustituir \( y^2 \) en lugar de \( x \) en \( f(x,y) \) se obtiene

\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+3y^4} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4(y^2)y^2}{(y^2)^2+3y^4} \]

\[ = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4y^4}{4y^4} \]

\[ = \lim_{(x,y)\to(0,0)} 1 = 1. \]

Por la misma lógica que en el inciso a., es imposible encontrar un disco de radio \( \delta \) alrededor del origen que satisfaga la definición de límite para cualquier valor de \( \varepsilon < 1 \). Por lo tanto, \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4xy^2}{x^2+3y^4} \] no existe.

Ejercicio de control 11.2.2

Demuestre que \[ \lim_{(x,y)\to(2,1)} \frac{(x-2)(y-1)}{(x-2)^2 + (y-1)^2} \] no existe. ♦

Puntos interiores y puntos en la frontera

Para estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de una función de dos o más variables, primero necesitamos aprender algo de nueva terminología.

Un ejemplo de un conjunto abierto es un disco δ (o disco abierto de radio δ). Si incluimos la frontera del disco, entonces se convierte en un conjunto cerrado. Un conjunto que contiene algunos, pero no todos, de sus puntos frontera no es ni abierto ni cerrado. Por ejemplo, si incluimos la mitad de la frontera de un disco δ pero no la otra mitad, entonces el conjunto no es ni abierto ni cerrado.

La definición de un límite de una función de dos variables requiere que el disco δ esté contenido dentro del dominio de la función. Sin embargo, si deseamos encontrar el límite de una función en un punto frontera del dominio, el disco δ no está contenido dentro del dominio. Por definición, algunos de los puntos del disco δ están dentro del dominio y otros están fuera. Por lo tanto, solo necesitamos considerar los puntos que están dentro tanto del disco δ como del dominio de la función. Esto conduce a la definición del límite de una función en un punto frontera.